第一章空間向量與立體幾何（單元測試卷）（解析版）

第一章空間向量與立體幾何（單元測試卷）第I卷（選擇題）一、單選題（本大題8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標系中，點與點（）A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于x軸對稱 C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于z軸對稱【答案】D【分析】根據(jù)空間中點的對稱關(guān)系的坐標特征分析判斷即可【詳解】點，的豎坐標相同，它們的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標也互為相反數(shù)，所以關(guān)于軸對稱.故選：D【點睛】方法點睛：點是空間直角坐標系中的一點，則（1）關(guān)于平面的對稱點坐標為；關(guān)于平面的對稱點坐標為；關(guān)于平面的對稱點坐標為.（2）關(guān)于軸的對稱點坐標為；關(guān)于軸的對稱點坐標為；關(guān)于軸的對稱點坐標為.（3）關(guān)于原點的對稱點坐標為.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體，中，點是的中點，點在上，且，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運算，以及相等向量的轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】易知，，，，，，所以.故選：D3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若{，，}構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】由平面向量基本定理逐項判斷可得答案．【詳解】由平面向量基本定理得：對于A選項，，所以，，三個向量共面；對于B選項，，，，三個向量共面；對于C選項，則存在實數(shù)使得，則共面，與已知矛盾，因此C選項中向量不共面；對于D選項，，所以三個向量共面；故選：C．4．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末（理））如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點，P為所在棱的中點，則滿足直線的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，再對每一個選項逐一分析，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.【詳解】在正方體中，對各選項建立相應(yīng)的空間直角坐標系，令正方體棱長為2，點，對于A，，，，與不垂直，A不是；對于B，，，，，B是；對于C，，，，與不垂直，C不是；對于D，，，，與不垂直，D不是.故選：B5．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知長方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當四邊形ADD1A1為正方形時，可證AD1⊥B1C可判斷A；當四邊形ABCD為正方形時，可證AC⊥BD1可判斷B；由長方體的性質(zhì)可證AB⊥AD1，分別可得數(shù)量積為0，可判斷C；可推在△BCD1中，∠BCD1為直角，可判BC與BD1不可能垂直，可得結(jié)論可判斷D.【詳解】選項A，當四邊形ADD1A1為正方形時，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時有，故正確；選項B，當四邊形ABCD為正方形時，可得AC⊥BD，，，平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時有，故正確；選項C，由長方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時必有0，故正確；選項D，由長方體的性質(zhì)可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即，故錯誤.故選：D.6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合題意可證得，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別表示出，，再由異面直線所成角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】取的中點，連接，，因為，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．又，所以，可得，，兩兩垂直，所以以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，，，所以，，所以，又異面直線所成角的取值范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：B.7．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為a，E是棱的動點，則下列說法正確的（）個．①若E為的中點，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點時，直線與平面所成的角正切值為④過點，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】如圖,以A為原點,AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,對于①、③、④利用向量法計算證明；對于②利用等體積法計算即可判斷.【詳解】如圖,以A為原點,AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，，.所以，.對于①：當E為的中點時，.設(shè)平面的一個法向量為,則，不妨令x=1,則，所以平面A1BD的一個法向量為.又因為，所以與不垂直，所以直線平面不成立.故①錯誤；對于②：三棱錐的體積等于三棱錐的體積.又，高為a,所以.故②錯誤；對于③：當E為的中點時，.平面的一個法向量為,而.設(shè)直線B1E與平面所成的角為，所以.所以，所以，即直線與平面所成的角正切值為.故③正確；對于④：設(shè).因為，，所以在上得到投影為.所以點E到直線的距離為.當z=0，即D、E重合時，截面為矩形，其面積為.當時，截面為等腰梯形.設(shè)截面交于F.所以，高，所以其面積為.記，所以，所以在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即.因為，所以當z=a，即D1、E重合時，截面為邊長為的正三角形，其面積為.綜上所述：.故④正確.故選：B8．（2021·北京·北大附中高二期中）如圖，正方體中，M，N分別是線段上的動點（不含端點），則下列各項中會隨著M，N的運動而變化的是（）A．異面直線與直線所成的角的大小 B．平面與平面所成的角的大小C．直線到平面距離的大小 D．異面直線，之間的距離的大小【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量把異面直線與直線所成的角，平面與平面所成的角，直線到平面距離，異面直線，之間的距離均求出來，看是否隨著M，N的運動而變化【詳解】以點D為原點，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方形邊長為1，則，，，，，，，因為M，N分別是線段上的動點（不含端點），故設(shè)，，所以，會隨著M，N的運動而變化，故A選項正確；設(shè)平面的法向量為，則，解得：設(shè)平面的法向量為，則，解得：所以，故平面與平面所成的角的大小為，不隨著M，N的運動而變化；設(shè)平面的法向量為，則，解得：，則，即與平面平行，故直線到平面距離不變，不隨著M，N的運動而變化.設(shè)異面直線，的公共法向量為，則，解得：，設(shè)異面直線，之間的距離為，夾角為，則，所以異面直線，之間的距離的不隨著M，N的運動而變化.故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．9．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，平面，下列說法正確的是（）A．與所成的角是B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是C．三棱錐的體積是D．與平面所成的角的正弦值是【答案】ACD【分析】由題意以分別為軸建立空間直角坐標系，利用向量法判斷選項A，B，D，直接由錐體的體積公式求出三棱錐的體積，判斷選項C.【詳解】由,可得,又平面故以分別為軸建立空間直角坐標系.則選項A.由則,所以所以與所成的角是，故選項A正確.選項B.由題意為平面的一個法向量.設(shè)為平面的一個法向量，由，即，則取所以所以平面與平面所成的銳二面角余弦值是，故選項B不正確.選項C.,故選項C正確.選項D.,設(shè)與平面所成的角為則，故選項D正確.故選：ACD10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，分別是正方體的棱和的中點，則（）A．與是異面直線B．與所成角的大小為C．與平面所成角的正弦值為D．二面角的余弦值為【答案】AD【分析】根據(jù)異面直線的判定定理可判斷A；建立空間直角坐標系，用向量方法可計算B，C，D是否正確【詳解】根據(jù)異面直線的判定定理，及正方體的結(jié)構(gòu)特征，易知：A正確；以為原點，，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長2，則，，，，,,所以,,設(shè)與所成角的大小為,則所以，故B錯誤;由題意可知,平面的法向量為,,設(shè)與平面所成角為,則,故C錯誤;,設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，設(shè)平面的一個法向量為，，則，令，得，設(shè)二面角為，由題圖知為銳角，則，故D正確．故選:AD．11．（2022·江蘇省濱海中學(xué)高二期中）已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且,是的中點，則下列正確的有（）A．平面平面B．與平面所成的角的余弦值為C．點到平面的距離為D．平面與平面所成二面角的余弦值為【答案】AC【分析】對于A選項，可由面面垂直的判定定理直接證明，對于B，C，D選項可建立空間直角坐標系，用空間向量的坐標運算即可判斷正確與否【詳解】對于A，由題意,底面,可得,又四棱錐的底面為直角梯形,且，則,又平面，平面所以平面,又平面，所以平面平面,故A正確建立如圖所示的坐標系,可得,,可得，，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以又，設(shè)與平面所成的角大小為則，所以，故B錯誤點到平面的距離，故C正確設(shè)平面AMC的法向量,平面BMC的法向量,由得令,得,所以,同理可求,設(shè)平面AMC與平面BMC所成二面角的大小為，為鈍角所以所以平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值為.故D錯誤故選：AC12．（2022·浙江舟山·高二期末）如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動點（不含端點），下列結(jié)論中正確的是（）A．三棱錐的體積為定值B．平面與平面所成銳二面角為，則C．直線與所成的角可能是D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】AC【分析】對于A選項，利用等體積法求解即可判斷；對于B選項，建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角的余弦值公式及正方體的對稱性求解；對于C選項，建立空間直角坐標系，利用空間向量線線角余弦公式求解；對于D選項，分別討論所成的截面圖形即可判斷.【詳解】對于A選項，三棱雉的體積，是定值，故A選項正確；對于B選項，如圖1，建立空間直角坐標系，則，，當P為的中點時，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，，同理可得平面的法向量，，當P為重合時，，同理當P為重合時，，由對稱性知，故B選項錯誤；對于C選項，，所以，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，所以，即直線與所成的角滿足，又因為，故，故直線與所成的角可能是，故C選項正確；對于D選項，設(shè)的中點為，當點在線段（不包含端點）上時，此時平面截正方體所得的截面為梯形，如圖2；當點在點時，此時平面截正方體所得的截面正三角形；當點在線段（不包含端點）上時，此時平面截正方體所得的截面為等腰三角形，該三角形不可能為直角三角形，故D選項錯誤；故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．13．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知向量，若，則實數(shù)________．【答案】【分析】利用列方程，即可求解.【詳解】因為向量，且，所以，解得：.故答案為：.14．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二期中）已知四棱柱的底面是正方形，底面邊長和側(cè)棱長均為2，，則對角線的長為________．【答案】【分析】由向量的方法計算，將表示成，平方即可.【詳解】由題可知四棱柱為平行六面體，，所以，所以.故答案為：.15．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在長方體中，，，則點到平面的距離等于_____.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求距離.【詳解】如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，點到平面的距離：．故答案為：.16．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））一個正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號）①；②平面；③與是異面直線且夾角為；④與平面所成的角為；⑤二面角的大小為.【答案】①②③⑤【分析】由正方體的平面展開圖可得正方體，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】解：由正方體的平面展開圖可得正方體（其中與重合），如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，，，，，，，所以，，所以，所以，故①正確；，，所以，，即，，，平面，所以平面，即②正確；，顯然與是異面直線，設(shè)與所成角為，則，因為，所以，故③正確；，平面的法向量可以為，設(shè)與平面所成的角為，所以，故④錯誤；，，設(shè)平面的法向量為，則，令，所以，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳二面角，則，所以，故⑤正確；故答案為：①②③⑤四、解答題：本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2022·福建福州·高二期末）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點B到平面ACF的距離．【答案】(1)證明見詳解.(2).【分析】（1）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系通過證明與平面的一個法向量重合來證明平面.（2）利用點面距離公式即可計算出點到平面的距離.（1）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則,設(shè)面的一個法向量為，，可得，即，不妨令則,平面.（2），則點到平面的距離為.18．（2022·江西·豐城九中高二期末）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，是的中點，點滿足.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)二面角的余弦值為【分析】（1）證明平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，以為原點，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.（1）由題意得，，，在中，由余弦定理可得，，則，，，平面，平面，平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，平面，，又，，平面，所以平面，以為原點，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，連接，在平行四邊形中，由余弦定理可得，在直角三角形中，，于是、、，由得，設(shè)平面的法向量，則，取得，，易知平面的一個法向量，則，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，所以，二面角的余弦值為.19．（2022·全國·長垣市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））在如圖所示的直三棱柱中，為正三角形，且，點分別為的中點.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）分別取的中點，連接，以為原點，分別以和所在直線為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，由空間向量法求線面角的正弦值；（2）由空間向量法求二面角．（1）在直三棱柱中，因為為正三角形，分別取的中點，連接，，于是平面，平面，則.如圖，以為原點，分別以和所在直線為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系.因為為的中點，所以，.因為點分別為的中點，所以.所以.設(shè)為平面的法向量，由得不妨取，可得.則.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）因為，所以.設(shè)為平面的法向量，由得不妨取，可得，則.由（1）知為平面的一個法向量，所以.由圖知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.20．（2022·山東·濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，點M為的中點．(1)證明：平面；(2)AC上是否存在點N，使二面角的大小為，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）連接與交于點O，連接OM，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，設(shè)，，利用向量法求出，從而可得出的結(jié)論.（1）解：連接與交于點O，則O為的中點，連接OM，因為點M為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）解：因為，所以，所以，如圖建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，設(shè)，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，取，得，設(shè)平面的一個法向量為，則有，取得，因為，解得或（舍），此時，所以AC上存在點N，當時，二面角的大小為.21．（2022·黑龍江·哈師大附中高一期末）四棱錐平面，底面為直角梯形