三角形五心定律

數(shù)學(xué)定理三角形五心定律01重心定理垂心定理旁心定理外心定理內(nèi)心定理特殊目錄0305020406基本信息三角形五心定理，是指三角形重心定理、外心定理、垂心定理、內(nèi)心定理，以及旁心定理的總稱。三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。重心定理重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心。重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2︰1。2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為5.以重心為起點(diǎn)，以三角形三頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。外心定理外心定理三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質(zhì)：1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形的外心。2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。4、外心到三頂點(diǎn)的距離相等垂心定理垂心定理三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。垂心的性質(zhì)：1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））（除正三角形）3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等內(nèi)心定理內(nèi)心定理三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心的性質(zhì)：1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。3、P為ΔABC所在空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)0是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．6、（內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系）△ABC中，0為內(nèi)心，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，則BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.旁心定理旁心定理三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。旁心的性質(zhì)：1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。3、旁心到三邊的距離相等。點(diǎn)M就是△ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一