第04講-奇數(shù)與偶數(shù)w

nnnn第4講

奇數(shù)與偶數(shù)能被2除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2除的整數(shù)叫做奇。要注意運(yùn)用奇數(shù)與偶數(shù)的下列性質(zhì)解題：1．兩個(gè)整的和與差有相同的奇偶性；2．奇數(shù)個(gè)數(shù)的和還是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；3．當(dāng)為n偶數(shù)時(shí)，=1;當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=4．兩個(gè)整相加，若加數(shù)的奇偶性相同，那么它們的和是偶數(shù)；加數(shù)的奇偶性不同，那么它們的和是奇數(shù)。5．兩個(gè)整相乘，若乘數(shù)中有一個(gè)是偶數(shù)，那么乘積是偶數(shù)；如果乘數(shù)都是奇數(shù)，那么乘積是奇數(shù)。6．奇數(shù)≠數(shù)。例1（年天津中華少杯”初中數(shù)邀請(qǐng)賽題）撲克牌中的A，，，K分別表示，11，。甲取張紅桃，乙取13張黑桃，分別洗和后甲、乙依次各取個(gè)各一張牌，使紅、黑牌配成對(duì)。證明這13數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。證法：由于13張牌中的點(diǎn)數(shù)有7個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，所以當(dāng)紅、黑牌配成對(duì)后，至少有一對(duì)數(shù)的奇偶性相同，這對(duì)數(shù)的差是偶數(shù)，于是這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。證法2由于13數(shù)的和是0所以不可能每對(duì)數(shù)得差都是奇數(shù)否則它們的和為一個(gè)奇數(shù)。于是至少有一對(duì)數(shù)的差為偶數(shù)，即這13對(duì)數(shù)的差的積必為一個(gè)偶數(shù)。例2（1985年北京市初中數(shù)競(jìng)賽試）某電影院共有1985個(gè)座位。某天，這家電影院上下午各演一場(chǎng)電影，看電影的是甲乙兩所中學(xué)的各1985名學(xué)生（同一個(gè)學(xué)校的學(xué)生有的看上午場(chǎng)，有的看下午場(chǎng)試證明：電影院一定有這樣的座位，這天看電影時(shí)上，下午在這個(gè)座位上坐的是兩個(gè)不同學(xué)校的學(xué)生。證明：甲，乙兩?？措娪暗膶W(xué)生都是1985人，電影院的座位也恰是1985.作如下統(tǒng)計(jì)：上午場(chǎng)下午場(chǎng)甲校n座位(1985-n)個(gè)座位乙校(1985-n)個(gè)座位n座位假設(shè)每個(gè)座位上下午坐的都是同一學(xué)校的學(xué)生對(duì)每個(gè)學(xué)生上午場(chǎng)與下午場(chǎng)人數(shù)應(yīng)相等，則n=1985-n.即2n=1985.等式的左邊是偶數(shù)，而右邊是奇數(shù)，這個(gè)等式不可能成立。所以，至少存在這樣一個(gè)座位，上，下午坐的是甲，乙不同學(xué)校的學(xué)生。

例3（年福州中數(shù)學(xué)賽試題）設(shè)沿江有A，A，A，A，A．A六個(gè)碼頭，相鄰兩碼頭間的距離相等．早晨1有甲、乙兩船從A出發(fā)，各自在這些碼頭間多次往返運(yùn)貨．傍晚，甲船停泊在1A碼頭，乙船停泊A碼頭．求證：無(wú)論如何，兩船的航程總不相假定船在6相鄰兩碼頭航行時(shí)，中途不改變航向)．證明六個(gè)碼頭把A到A這段水路分成5個(gè)小段，設(shè)每段水路的長(zhǎng)為a，由于1船在任意一個(gè)碼頭出發(fā)，又返回碼頭時(shí)，往返每小段的水路總是相同的，因此，乙船的航程是a的偶倍甲船的航程是從A到A再加上各碼頭之間的往返路16程，偶數(shù)倍=a的奇數(shù)倍的偶數(shù)倍≠a的奇數(shù)倍，故甲、乙船的航程總不相等．例4（第屆希望杯”數(shù)學(xué)請(qǐng)賽試）你能找到三個(gè)整數(shù)bc使得關(guān)系式(成立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例，如果找不到，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：找不到滿足條件的三個(gè)整數(shù)理由如下：如果存在整數(shù)，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立．因?yàn)?388是偶數(shù)，則左邊四個(gè)因子中至少有一個(gè)是偶數(shù)．不妨設(shè)a+b+c為偶數(shù)，則為偶數(shù)，同理為偶數(shù)．為偶數(shù)．因此(能被整除而3不能被整除得矛盾．故不存在三個(gè)整數(shù)，，c滿足關(guān)系式例5（第10屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)賽試題在3×3的表格（）和（2）中，每格填有“+”號(hào)或“-號(hào)，然后每次將表格中的任意一行或任意一列的各格全部變號(hào)試問(wèn)重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后能否從一張表變?yōu)榱硪粡埍恚?+--

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+--+表（1）表（）解考察兩張表中位于左上角的的小正方形，如下圖中的黑框所示：++--

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+--+表（1）

表（2）

kkkkkk表（1）中小正方形中有個(gè)“+號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍然是偶數(shù)；表（2中的小正方形中有1個(gè)“+號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍然是奇數(shù)。故它們不能從一個(gè)變到另外一個(gè)。顯然的小正方形互變無(wú)法實(shí)現(xiàn)，所以3×3的大正方形的互變也無(wú)法實(shí)現(xiàn)。例6（2007年第18屆希望杯”全數(shù)學(xué)邀賽初一試題小明在平面上標(biāo)出了2007個(gè)點(diǎn)并畫(huà)了一條直線l,他發(fā)現(xiàn)：這2007個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)仍然在這2007個(gè)點(diǎn)中請(qǐng)你說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在直線l上。解假設(shè)這2007點(diǎn)都不在直線l上。由于其中每個(gè)點(diǎn)A(i=1,2?關(guān)于直線l稱點(diǎn)A’仍在這點(diǎn)ii中，所以也都不在直線l上。i也就是說(shuō)，不在直線l上的A(i,?與A關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)’成iii對(duì)出現(xiàn)，即平面上標(biāo)出的點(diǎn)的總數(shù)應(yīng)是偶數(shù)個(gè)，與點(diǎn)的總數(shù)相矛盾。因此這2007個(gè)點(diǎn)都不在直線l上”的假設(shè)不能成立，即這個(gè)點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在直線l上。例7年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)設(shè)有n實(shí)數(shù)：x,x,…,x，其中每一個(gè)不是+，就是-，1xx且n，求證：是的倍數(shù)。xx23n證明首先證n偶數(shù)：因n實(shí)數(shù)：x,x,…,x，其中每一個(gè)不是+，就是-，1xx所以n分?jǐn)?shù)：，2，…，n，中的每一個(gè)不是+，就是-。xx23n而這n分?jǐn)?shù)和為0，所以n為偶數(shù)，設(shè)(k為整數(shù))，則個(gè)分?jǐn)?shù)中有k個(gè)+，k個(gè)-。其次證k為偶數(shù)：xxx因n分?jǐn)?shù)的積為??…??=1即(+1)(-1)=1,所以k為xxx231偶數(shù)，從而為4的倍數(shù)。例8（2000世界城間數(shù)學(xué)賽初中組試）在5×15棋盤(pán)上放置著15個(gè)“車(chē)彼此互不攻擊，它們像“馬”一樣，各行一步。求證：現(xiàn)在有兩個(gè)互相攻擊。證明：記下每個(gè)車(chē)的行號(hào)和列號(hào)因?yàn)楸舜嘶ゲ还粜刑?hào)像列號(hào)那樣都是各不相同的，所以，在這30個(gè)號(hào)中，有16個(gè)奇數(shù)個(gè)偶數(shù)，當(dāng)車(chē)移動(dòng)一馬步時(shí)它的行號(hào)改變1列號(hào)改變2或行號(hào)改變列號(hào)改變1這樣各行一步后，30個(gè)號(hào)中的15個(gè)保持奇偶性，而剩余的15改變它們的奇偶性．因此移動(dòng)后，它們之中有16個(gè)奇號(hào)個(gè)偶號(hào)是不可能的．這就意味著一定有兩個(gè)車(chē)互相攻

232232擊一選擇題1．(2001年國(guó)初數(shù)學(xué)聯(lián)試題)ab如果是三個(gè)任意的整數(shù)，那么22

（）(A)都不是整數(shù)

(B)至少有兩個(gè)整數(shù)至少有一個(gè)整數(shù)(D)都是整數(shù)1．2（1994澳洲中數(shù)學(xué)賽AMC試題）如果n整數(shù)，那么下列各數(shù)中一定為奇數(shù)的一個(gè)是（）（A）5n（B）n+5（）n（D）（E）+52．E3（年16屆江蘇中數(shù)競(jìng)賽試）已知三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)n整數(shù)。如(b+2n+2)(c+3n+3)，那么（）（A）S是偶數(shù)（B奇數(shù)（C）S的奇偶性與奇偶性相同（D）奇偶性不能確定3.A因中有兩個(gè)奇數(shù)，一偶，故為數(shù)，于(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)=為偶數(shù)，從(、(b+2n+2)、(c+3n+3)三數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù)（否則其和為奇數(shù)）所以偶數(shù)。4（1994-1995學(xué)年度武漢等五初一數(shù)聯(lián)賽試題）如果都是正整數(shù)，且a,b是奇數(shù)，b2（（A）只當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)（B只當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)（C）只為3倍數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)（D）無(wú)為任意整數(shù)，其值為奇數(shù)4．D5（年京市初中數(shù)競(jìng)賽）四個(gè)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算比賽，程序是：19，2021，?，這76個(gè)自數(shù)相鄰兩個(gè)數(shù)之間任意添加“+”?”號(hào)，然后，求其代數(shù)和，四個(gè)人得到的結(jié)果分別是，1534106，老師檢查后指出，只有一個(gè)結(jié)果是正確的，則這個(gè)結(jié)果是（）（A）1（B）153（）4（D）2605．?

229(2557共，每對(duì)之和為1494可見(jiàn)這76個(gè)自然數(shù)相鄰兩數(shù)之間都添“號(hào)時(shí)其和為294偶數(shù)，由于這76個(gè)自然數(shù)相鄰兩數(shù)之間任意添加“+”號(hào)，其代數(shù)和的奇偶性不變，均應(yīng)是偶數(shù)，所以不能得1也不能得最接近4294“和數(shù)”是1920間填入“－”號(hào)，其余均填+號(hào)，其代數(shù)和為4294－＝4254因此，可能是這個(gè)自然數(shù)經(jīng)過(guò)添加+”號(hào)后所取到的“和數(shù)因此，正確結(jié)果只能是4事實(shí)上，只有，之間添加“－”號(hào)，其余均添加“+”號(hào)，有?－94＝4即4106可以取到的“和數(shù)故選C。二填空6．(1987年國(guó)部省市初數(shù)學(xué)訊賽題若7連續(xù)偶數(shù)之和為，則此個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)是_6.2907（年?duì)枮I第26屆中數(shù)學(xué)賽試題）已知均為小于1000質(zhì)數(shù)是奇數(shù)x的最大值是。7.a,b中必然有一個(gè)是偶質(zhì)數(shù)2另外一個(gè)應(yīng)是小于1000的最大質(zhì)數(shù)，x=2×99×7+9=2003.8（年5屆新杯學(xué)邀請(qǐng)初一試題）47不同的自然數(shù)的和是，這個(gè)自然數(shù)中三最多有個(gè)奇數(shù)。8.44設(shè)有a個(gè)奇數(shù)，47-a偶數(shù)，顯然必為偶數(shù)。下面討論最多有多少個(gè)奇數(shù)：若a=46，則…+91=46不合題意；若a=44，則…+87=44

2

因2006-1936=，故另外三個(gè)偶數(shù)的和為70（如2，4，符合題意。所以奇數(shù)最多為44。9.北京市初數(shù)學(xué)競(jìng)）在一次象棋比賽中，每個(gè)選手恰好比賽一局，每局贏者記分，輸者記分，平局每個(gè)選手各記1分有4人統(tǒng)計(jì)了這次比賽中全部得分總數(shù)由于有的人粗心，其數(shù)據(jù)各不相同，分別為，1980，，1985，經(jīng)核實(shí)，其中有一人統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，則這次比賽共有_名選手參加．9.45

223每局比賽不管勝負(fù)如何，雙方得分的和2，從而全部得分總數(shù)應(yīng)偶數(shù)，于是只有1980，中的一個(gè)正確，設(shè)有人參加比賽，則共比賽了

x2

場(chǎng)，總得分為x分xx是整數(shù)合題意1980,得，符合題意．102007上海市中學(xué)業(yè)余數(shù)學(xué)校預(yù)備年招生試）從13，?2006，至少要取出個(gè)奇數(shù)才能保證存在兩個(gè)數(shù)，它們的和為200810將1，2，3，，2006中所有的奇數(shù)按和為的兩個(gè)一組配成503組1，2007（10031005是至少要取出504個(gè)奇數(shù)才一定有兩個(gè)數(shù)同組，它們的和為。三解答11第36屆美國(guó)學(xué)生數(shù)競(jìng)賽試題）將奇正數(shù)135，…排成五列，按下表的格式排下去，所在的那列，從左數(shù)起是第幾列？135151117192123312725…………11由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而1985=4×496+1，因此是第行的第一個(gè)數(shù)奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起，1985第二列.121984全蘇數(shù)學(xué)奧匹克試）若n正整數(shù)（1）有n個(gè)整數(shù)它們的積等于n和等0求證：n4倍數(shù)（2）設(shè)n是4倍數(shù)，求證：可以找到n個(gè)整數(shù)，它們的積等于和等于0。121證明：設(shè)n個(gè)整數(shù)x,x,x,?根據(jù)題意得1xx

①②如果為正奇數(shù)，由方程①可知x,x,x?都只能是奇數(shù)，而奇數(shù)個(gè)奇數(shù)1的和必是奇數(shù)，這不適合方程②右邊的0，所以一定是偶數(shù)；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，方程①左邊的x,x,x?中，至少有一個(gè)是偶數(shù)，而要1滿足方程②右邊的0左邊的奇數(shù)必須是偶數(shù)個(gè)，偶數(shù)至少有2個(gè)。所以n的倍數(shù)。（2）當(dāng)n=4k時(shí)，若k為奇數(shù)，xx=2k,=x=?x=x?=-112343k3k+14k其中有一個(gè)為2，一個(gè)為2k,個(gè)為，k個(gè)為1

積等于2（-2k3k-2

×(-1)

k

=4k=n等于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=若k為偶數(shù),xxx=x=?=1,x=x?12343k+33k+k4k其中有一個(gè)為-2，一個(gè)為-k個(gè)為，3k-2個(gè)為-，積等于(-2)k

×(-1)

3k-2

=4k=n于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=0131981斯拉夫數(shù)學(xué)林匹克一只老鼠偷吃梭長(zhǎng)為3并切成27塊單位立方體的立方體奶酪．當(dāng)老鼠吃完了某一小立方塊后，就再吃相鄰的（有公共側(cè)面）另一個(gè)小立方塊．問(wèn)，這只老鼠能吃遍除正中央那個(gè)立方塊之外的全部小立方塊嗎？13除中央那個(gè)小立方體外的26個(gè)小立方體接國(guó)際象棋棋盤(pán)方式用白色兩色染色使得恰有2個(gè)側(cè)面在大立方體表面的l2小立方體為白色而余下14個(gè)小立方體為黑色，注意，在任意兩個(gè)具有公共表面的小立方體中必有一個(gè)為白色，另一個(gè)為黑色，如果老鼠能吃完所說(shuō)的26個(gè)小立方體，則這些小立方體可以分為13對(duì)，每一對(duì)有一個(gè)白色小立方體，一個(gè)黑色小立方體，于是白色與黑色小立方體一樣多，不可能，因此老鼠不能吃完所給的小立方體．142005河南省初二學(xué)競(jìng)賽題)環(huán)行跑道的一周插了若干紅兩種顏色的彩旗已知一共變色了（一個(gè)紅旗與一個(gè)黃旗相鄰或一個(gè)黃旗與一個(gè)紅旗相鄰，稱為一次變色現(xiàn)可將相鄰的旗子對(duì)調(diào)，如果若干次對(duì)調(diào)后，變色次數(shù)減少為次。試說(shuō)明：在對(duì)調(diào)過(guò)程中，必有一個(gè)時(shí)刻，彩旗的變色次數(shù)恰好為次。14．們首先說(shuō)明，將相鄰的旗子對(duì)調(diào)一次，