結(jié)構(gòu)動力學(xué)講義二

第二章（續(xù)）

單自由度系統(tǒng)的振動5/27/20231

強(qiáng)迫振動：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動稱為強(qiáng)迫振動或受迫振動（forcedvibration）。由方程：可以得到單自由度體系強(qiáng)迫振動的微分方程：§1.1單自由度系統(tǒng)簡諧荷載作用下

的受迫振動5/27/20232其中,和的定義與自由振動時相同。5/27/202331、無阻尼受迫振動方程解設(shè)單自由度體系承受簡諧荷載：是簡諧荷載的圓頻率，是簡諧荷載的最大值，稱為幅值?？傻茫o阻尼）：5/27/20234方程的解由兩部分組成，即齊次解和特解。設(shè)特解的形式為：求得：特解為：5/27/20235微分方程的齊次解：全解：

振動由兩部分組成：第一部分按荷載頻率振動，為純粹的強(qiáng)迫振動；第二部分按自振頻率振動，為外力引起的自由振動。

由初始條件確定

5/27/202362、動力系數(shù)（1）實際上，由于有阻尼力存在，自由振動項將隨時間的推移而逐漸消失，該項稱為瞬態(tài)響應(yīng)（transientresponse）。（2）自由振動消失之前的這一段時間內(nèi)的響應(yīng)稱為過渡階段，這段過渡時間的長短取決于阻尼的大小。5/27/20237（3）阻尼小，過渡時間就長；阻尼大，過渡時間就短。（4）過渡時間結(jié)束后，只按荷載頻率振動的階段稱為平穩(wěn)階段，對應(yīng)的響應(yīng)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(stationaryresponse)。（5）在振動計算中，通常都不考慮自由振動部分尚未完全衰減掉時的過渡階段，而只計算在這以后系統(tǒng)按荷載頻率進(jìn)行的純強(qiáng)迫振動。5/27/20238即特解部分：令：為最大靜位移，表示將荷載最大值P當(dāng)作靜荷載作用時結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的位移；為動力放大系數(shù)或動力系數(shù)，表示最大動位移與最大靜位移的比值。則有：5/27/20239

動力系數(shù)與頻率比值的關(guān)系：動力系數(shù)是頻率比值的函數(shù)，變化規(guī)律如圖所示，其中橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為的絕對值。5/27/202310特性分析：（1）當(dāng)時，動力系數(shù)。簡諧荷載的數(shù)值雖然隨時間變化，但與結(jié)構(gòu)固有頻率相比變化得非常慢，因而可當(dāng)靜荷載處理。（2）當(dāng)時，動力系數(shù)，且隨的增大而增大。5/27/202311（3）當(dāng)時，。當(dāng)荷載頻率接近于結(jié)構(gòu)固有頻率時，振幅會無限增大。這種現(xiàn)象稱為共振。實際結(jié)構(gòu)由于有阻尼的影響，共振時不會出現(xiàn)振幅為無限大的情況，但共振時的振幅比靜位移大很多倍的情況有可能發(fā)生。（4）當(dāng)時，的絕對值隨的增大而減小。5/27/202312例1：

下圖為一無重簡支梁，在跨中有重的電機(jī)，電機(jī)偏心所產(chǎn)生的離心力為若機(jī)器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，梁的。在不計阻尼的情況下，試求梁的最大位移和彎矩。5/27/202313解：

（1）梁的自由振頻率由機(jī)器重力作用下梁的最大靜力位移則梁的自振頻率為：

（2）機(jī)器的擾力頻率為：5/27/202314（3）系統(tǒng)的動力系數(shù)（4）梁跨中截面的最大位移和彎矩5/27/202315例2：

圖示跨中帶有一質(zhì)體的無重簡支梁，動力荷載作用在距離左端l/4處，若及，試求在荷載F(t)作用下，質(zhì)體的最大動力位移。5/27/202316解：

（1）用圖乘法先求出柔度系數(shù)及。該梁的自由振頻率：5/27/202317（2）按疊加原理建立運動方程：變換得：即把非直接作用于質(zhì)體的荷載按照靜力位移等效的條件轉(zhuǎn)換成直接作用于質(zhì)體的荷載。。

位移協(xié)調(diào)等效5/27/202318則運動方程的解為：由此式代入及相應(yīng)的便可求得質(zhì)體的最大動力位移。a）當(dāng)時b）當(dāng)時5/27/2023193、有阻尼受迫振動方程解在外力作用下，并且考慮阻尼。

則方程變?yōu)椋荷鲜酵ń鉃椋糊R次解特解5/27/202320其中底，設(shè)鉆，將僻微分方未程變?yōu)榉写鷶?shù)方喜程。過程年推倒其解為往，，并令痰，則，僅考齊慮低瞇阻尼預(yù)的情糖況：5/6牙/20悲2321待定系鉆數(shù)法求卸出特解況：設(shè)方噸程的爐特解紐奉為：代入方速程得，5/6銅/20跳2322使上式跡為零，培則：求得唯：有阻震尼單盜自由梁度體酷系運插動方凳程的匙全解夏為：5/6符/20畢2323第一牲部分頻率：（1）對葡外載先的瞬倒態(tài)響筑應(yīng)，烘常數(shù)A1和A2由初始肝條件確嫂定。但巧是，由音于阻尼顛的存在白，頻率作為旱的第伍一部分?jǐn)R含有因繭子腹，鳥因此會跌逐漸衰謙減直至闊消失。第二影部分頻率：瞬態(tài)嘴響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響鉆應(yīng)自由葛振動強(qiáng)迫療振動5/田6/訂20碎2324（2）頻率卷為鹿的威第二部梢分由于培受到荷角載的周脖期影響縮慧而不衰總減，這肚部分振琴動稱為罰穩(wěn)態(tài)響女應(yīng)。（3）體雖系從林開始預(yù)振動瞞到穩(wěn)裝態(tài)振蹲動的括那一擊階段躺處于嶺過渡朋狀態(tài)災(zāi)，振霉幅和需周期技都在辦變化紛，因脫此稱妖為非穩(wěn)定逼振動或蜓過渡態(tài)皇振動。過綢渡態(tài)波的振鴉幅的濕最大癥值會旨大于我穩(wěn)態(tài)托振幅趙，但堵它會留逐漸嘉被衰許減，從衰減拿的快世慢程養(yǎng)度隨隔的或大小業(yè)而定個。（4）僅分怠析純受如迫振動浩項（第鴨二部分獄穩(wěn)態(tài)響懇應(yīng)）。5/魂6/史20身2325任一何時刻蕉的穩(wěn)砌態(tài)振資動響現(xiàn)應(yīng)：或：得：表示辯振幅——荷載供最大給值P作用下充的靜力砍位移。5/向6/浪20桂2326動力系院數(shù)對于混有阻仔尼強(qiáng)軌迫振葬動，凈動力穴系數(shù)群不僅屑與頻樓率比酒值座有關(guān)失，而吩且與滔阻尼甲比脆有塔關(guān)。絡(luò)對于含不同醫(yī)的踐值漸，軋和余與哪之討間的腹關(guān)系闊曲線曉如圖辛。5/奔6/滅20寫2327圖厘有似阻尼毛振動靜體系掃的響法應(yīng)特仆征參濃數(shù)幅頻曲喚線相頻驢曲線5/6撞/20繞2328結(jié)論添：（1）在鎮(zhèn)范圍內(nèi)勺，隨著斑阻尼比減的姐增大，肯動力系蹄數(shù)第的變困化漸趨蘆平緩，暫特別是房誠在附近型，森的峰媽值顯喬著下貌降。（2）在園的共跳振情稠況下核，動避力系按數(shù)為止：5/終6/揮20犁2329忽略譯阻尼柳的影攪響，閉即掏時，煤無阻獄尼體棍系共劃振時越動力故系數(shù)劃趨于岔無窮耗大。隱但是南如果識考慮毛阻尼報的影貪響，紡則共堆振時澆動力分系數(shù)翻總是籮一個擺有限瓣值。因此：在研究晌共振時合的動力當(dāng)響應(yīng)，嘩阻尼的望影響不很容忽視吩。5/成6/襲20權(quán)2330（3）在阻尼拌體系中餅，共振慨時的動岸力系數(shù)甜雖然接獲近于最食大的動哲力系數(shù)單，但蒼并不等詞于這個閘最大值鉆。求最大寺響應(yīng)時壞的輪值：可求劃對刻的向?qū)?shù)并鬼令其等趣于零。誰對于阻剩尼比至的實際搏結(jié)構(gòu)，榨響應(yīng)峰絹值頻率披為：相應(yīng)的眼響應(yīng)值新：5/6皂/20疊2331對于扎的阻逗尼體輩系在通常您情況下苗，州值很小販，可以即近似認(rèn)貝為：5/6孔/20上2332（4）阻尼濾體系愿的位重移比喚荷載百滯后叢一個莖相位喇角值由撿下式穴決定撫。5/6嚴(yán)/20尺23331）當(dāng)0時，荷載頻碎率很小妹，體系流振動很沸慢，因易此慣性孩力和阻番尼力都濕很小，動荷載馳主要與吃彈性力剖平衡。由于揪彈性力侄與位移關(guān)成正比唇，但方備向相反藥，因此荷載與儲位移基也本上是卵同步的。5/6透/20榨23342）當(dāng)1時，當(dāng)荷遞載頻拜率接靈近結(jié)裝構(gòu)固典有頻雕率時蕉，位創(chuàng)移帖與外附載舉相轎差的類相位爆角接瞞近90°。因此哭當(dāng)荷載拘為最大煉時，位擁移和加帖速接近州于零，懷因而彈策性力和知慣性力盡都接近襪于零，蝴這時動荷載掠主要由頃阻尼力賣相平衡。5/6速/20聾23353）當(dāng)哪時爪，荷載頻夸率很大面，體系咸振動很豪快，因羨此慣性帆力很大施，彈性泳力和阻委尼力相倒對來說區(qū)比較小置，動荷營載主謹(jǐn)要與款慣性局力平暮衡。由僻于慣禾性力另與位寇移是子同相根位的兵，因汪此荷怒載與健位移消的相退位角營相差妥約18態(tài)0°，即型兩者候方向技相反驗。5/6滔/20踢2336體系上手各個力罵的平衡:（進(jìn)一略步說培明）由已弱知的劈燕荷載抖，居以及遺求得仆位移,可以求遼得1)慣性力塊：2)彈簧效力：5/6鏟/20謠23373）阻瀉尼力腥：1）當(dāng)荷遍載頻率時，腳因頻遍率比這時膛慣性瘋力Fi(t)阻尼Fd(t)都很狐小，炕荷載F(t)主要由喝彈簧Fs(t)平衡討論：5/殃6/慨20神23383）當(dāng)卸荷載車頻率黨時，棚頻率賺比毯，，夠，其中油阻尼彎力項熊：2）當(dāng)荷幕載頻率仙時，因答頻率比隱很大何，這時們荷載主必要由慣港性力Fi(t)平衡即荷仙載主哭要由牙阻尼傻力平庸衡。5/盈6/命20蚊2339一般稱來這種狀旨態(tài)為共振，通顯常將的范纖圍定銅為共母振區(qū)治，在供共振食區(qū)內(nèi)權(quán)阻尼居力的輔影響奔不能抱忽略恰。而槐在共嚼振區(qū)沉外，膝有時籃為了丈簡化戚，可遵以不劣計阻取尼力構(gòu)的影估響。5/6藍(lán)/20羞2340下圖企為體岸系上醬四個喘力在桃任意詞時刻辱的旋泊轉(zhuǎn)向偶量平父衡圖報。各掠個力藏在水籠平軸好的投左影分誤量之局和即嗽為動孟力平坐衡方來程。關(guān)從圖襖中可挺以明兄顯地陰看出汁各個逝力之營間的刮相互允關(guān)系廉。5/6暫/20黨2341半功秘率法確定阻礎(chǔ)尼比類：簡諧荷閱載受迫屋振動的折