2021年高三下學期模擬考試數(shù)學試題-Word版含答案

2021年高三下學期模擬考試數(shù)學試題Word版含答案一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案直接填寫在答卷紙相應的位置）1．已知集合，，，則▲．{5}2．如果復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則等于▲3．拋物線的焦點坐標是▲（0，1）4．平面向量＝（1,1），＝（－1，m），若∥，則m等于▲－15．已知函數(shù)的最小正周期是2，則▲．6．如下圖：某單位全體成員參加安全知識競賽，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數(shù)是30，則該單位的人數(shù)是▲1007．閱讀上邊的程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實數(shù)的取值范圍是▲8．已知是不同的平面，是直線，且，則下列三個命題①②；③．其中正確的是▲②③9．在△中，所對邊分別為.若，則▲10．過點且與直線：和：都相切的所有圓的半徑之和為▲4211．若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是▲12．若則的最小值為▲213.在△AOB中，G為△AOB的重心（三角形中三邊上中線的交點叫重心），且.若，則的最小值是▲214．已知是首項為a,公差為1的等差數(shù)列,.若對任意的,都有成立,則實數(shù)a的取值范圍是▲.二、解答題：（本大題共6小題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．）15．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足.(1)求角A；(2)若，，D為BC上一點，且,求AD的長.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足.(1)求角A；(2)若，，D為BC上一點，且,求AD的長.解：(1)∵在△ABC中，滿足由正弦定理可得， ┅3分故； ┅5分∵在△ABC中∴ ┅7分(2)由題意可得， ┅9分 ┅10分∴ ┅13分從而可得 ┅14分16．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD＝EQ\F(1,2)BC.點E、F分別是棱PB、邊CD的中點.（1）求證：AB⊥面PAD；（2）求證：EF∥面PAD.證明：（1）因為PD⊥面ABCD，所以PD⊥AB.………………2分在平面ABCD中，D作DM//AB，則由AB=12得DM=12.又BC=10，AD＝EQ\F(1,2)BC，則AD=5，從而CM=5.于是在△CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，則由及勾股定理逆定理得DM⊥BC.又DM//AB，BC//AD，所以AD⊥AB.又PD∩AD＝D，所以AB⊥面PAD.………………6分（2）[證法一]取AB的中點N，連結EN、FN.因為點E是棱PB的中點，所以在△ABP中，EN//EQ\F(1,2)PA.又PA面PAD，所以EN//面PAD.………………8分因為點F分別是邊CD的中點，所以在梯形ABCD中，F(xiàn)N//AD.又AD面PAD，所以FN//面PAD.……………10分又EN∩FN＝N，PA∩DA＝A，所以面EFN//面PAD.………………12分又EF面EFN，則EF//面PAD.………………14分[證法二]延長CD，BA交于點G.連接PG，EG，EG與PA交于點Q.由題設AD∥BC，且AD＝EQ\F(1,2)BC，所以CD＝DG，BA＝AG，即點A為BG的中點.又因為點E為棱PB的中點，所以EA為△BPG的中位線，即EA∥PG，且EA:PG＝1:2，故有EA:PG＝EQ:QG＝1:2.………………10分又F是邊CD的中點，并由CD＝DG，則有FD:DG＝1:2.………………12分在△GFE中，由于EQ:QG＝1:2，F(xiàn)D:DG＝1:2，所以EF∥DQ.又EF面PAD，而DQ面PAD，所以EF∥面PAD.………………14分17．（本小題滿分14分）時下，網(wǎng)校培訓越來越受到廣大青年的喜愛，它已經(jīng)成為青年學習的一種趨勢，假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量（單位：千套）與銷售價格（單位：元/套）滿足的關系式，其中，為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套.（1）求的值；（2）假設網(wǎng)校的員工工資，辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.（保留1位小數(shù)）解：（1）因為時，，代入關系式，得，解得.（2）由（1）可知，套題每日的銷售量，所以每日銷售套題所獲得的利潤從而.令，得,且在上,，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)在內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當時，函數(shù)取得最大值.故當銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.--------------------------14分18．（本小題滿分16分）ABABPQOxy(1)求橢圓C的方程;(2)點P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,A、B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點,(i)若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;(ii)當A、B運動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.解:(1)設橢圓的方程為則.由,得∴橢圓C的方程為………………4分(2)(i)解:設,直線的方程為,代入,得由,解得由韋達定理得.………6分四邊形的面積∴當,………9分(ii)解:當,則、的斜率之和為0,設直線的斜率為則的斜率為,的直線方程為，由(1)代入(2)整理得………11分同理的直線方程為,可得∴……………14分所以的斜率為定值……16分19．（本小題滿分16分）已知函數(shù)，，(其中)，設.（1）當時,試將表示成的函數(shù),并探究函數(shù)是否有極值；(7分)（2）當時，若存在，使成立，試求的范圍.(9分)解：（1）∵,,∴…………………(3分)∴設是的兩根，則，∴在定義域內(nèi)至多有一解,欲使在定義域內(nèi)有極值，只需在內(nèi)有解，且的值在根的左右兩側異號，∴得………(6分)綜上：當時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當時在定義域內(nèi)無極值…(7分)（2）∵存在，使成立等價于的最大值大于0…(9分)∵，∴,∴得.當時，得；當時，得…………(12分)當時，不成立……(13分)當時，得；當時，得；綜上得：或…………(16分)20．（本小題滿分16分）設數(shù)列{bn}滿足bn＋2＝－bn＋1－bn(n∈N*)，b2＝2b1.(1)若b3＝3，求b1的值；(2)求證數(shù)列{bnbn＋1bn＋2＋n}是等差數(shù)列；(3)設數(shù)列{Tn}滿足：Tn＋1＝Tnbn＋1(n∈N*)，且T1＝b1＝－eq\f(1,2)，若存在實數(shù)p，q，對任意n∈N*都有p≤T1＋T2＋T3＋…＋Tn＜q成立，試求q－p的最小值．(1)解∵bn＋2＝－bn＋1－bn，∴b3＝－b2－b1＝－3b1＝3，∴b1＝－1；(3分)(2)證明∵bn＋2＝－bn＋1－bn①，∴bn＋3＝－bn＋2－bn＋1②，②－①得bn＋3＝bn，(5分)∴(bn＋1bn＋2bn＋3＋n＋1)－(bnbn＋1bn＋2＋n)＝bn＋1bn＋2(bn＋3－bn)＋1＝1為常數(shù)，∴數(shù)列{bnbn＋1bn＋2＋n}是等差數(shù)列．(7分)(3)解∵Tn＋1＝Tn·bn＋1＝Tn－1bnbn＋1＝Tn－2bn－1bnbn＋1＝…＝b1b2b3…bn＋1當n≥2時Tn＝b1b2b2…bn(*)，當n＝1時，T1＝b1適合(*)式∴Tn＝b1b2b3…bn(n∈N*)．(9分)∵b1＝－eq\f(1,2)，b2＝2b1＝－1，b3＝－3b1＝eq\f(3,2)，bn＋3＝bn，∴T1＝b1＝－eq\f(1,2)，T2＝T1b2＝eq\f(1,2)，T3＝T2b3＝eq\f(3,4)，T4＝T3b4＝T3b1＝eq\f(3,4)T1，T5＝T4b5＝T2b3b4b5＝T2b1b2b3＝eq\f(3,4)T2，T6＝T5b6＝T3b4b5b6＝T3b1b2b3＝eq\f(3,4)T3，……T3n＋1＋T3n＋2＋T3n＋3＝T3n－2b3n－1b3nb3n＋1＋T3n－1b3nb3n＋1b3n＋2＋T3nb3n＋1b3n＋2b3n＋3＝T3n－2b1b2b3＋T3n－1b1b2b3＋T3nb1b2b3＝eq\f(3,4)(T3n－2＋T3n－1＋T3n)，∴數(shù)列{T3n－2＋T3n－1＋T3n)(n∈N*)是等比數(shù)列，首項T1＋T2＋T3＝eq\f(3,4)且公比q＝eq\f(3,4)，(11分)記Sn＝T1＋T2＋T3＋…＋Tn，①當n＝3k(k∈N*)時，Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)＝eq\f(\f(3,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k)),1－\f(3,4))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k))，∴eq\f(3,4)≤Sn＜3；(13分)②當n＝3k－1(k∈N*)時Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)＋…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)－T3k＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k))－(b1b2b3)k＝3－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k∴0≤Sn＜3；(14分)③當n＝3k－2(k∈N*)時Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)＋…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)－T3k－1－T3k＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k))－(b1b2b3)k－1b1b2－(b1b2b3)k＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k＝3－eq\f(14,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k，∴－eq\f(1,2)≤Sn＜3.(15分)綜上得－eq\f(1,2)≤Sn＜3則p≤－eq\f(1,2)且q≥3，∴q－p的最小值為eq\f(7,2).(16分)附加題姓名解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．21．B．選修4—2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知曲線：，對它先作矩陣對應的變換，再作矩陣對應的變換，得到曲線：，求實數(shù)的值．解：…………………2分設P是曲線上的任一點，它在矩陣BA變換作用下變成點，則………5分，則即…………8分又點在曲線上，則，，所以，………………10分C．選修4—4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，直線m的參數(shù)方程為EQ\b\lc\{(\a\al(x＝3＋EQ\F(EQ\r(,2),2)t,y＝－3＋EQ\F(EQ\r(,2),2)t))（t為參數(shù)）；在以O為極點、射線Ox為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρsinEQ\s\up4(2)θ＝8cosθ．若直線m與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長．解：直線m的普通方程為.………………2分曲線C的普通方程為.………………4分由題設直線m與曲線C交于A、B兩點，可令,.聯(lián)立方程，解得，則有，.………………7分于是.故.………………10分22．（本小題滿分10分）已知△ABC的三邊長為有理數(shù)．(1)求證：cosA是有理數(shù)；(2)求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．[證明](1)由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)是有理數(shù)．(2)用數(shù)學歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)．①當n＝1時，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinA·sinA＝1－cos2A②假設當n＝k(k≥1)時，coskA和sinA·sinkA都是有理數(shù)．當n＝k＋1時，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·si