注冊巖土工程師基礎(chǔ)培訓(xùn)資料無窮級數(shù)和微分

無窮級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)二、冪級數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，求和。1.數(shù)項級數(shù)及收斂定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前

n

項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的和。

等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比).級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散

.其和為P-級數(shù)2.無窮級數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1.設(shè)

c

是非零常數(shù)，則級數(shù)收斂于S,則有相同的斂散性。若與收斂于cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù)則必有可見:

若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.*例1.判斷下列級數(shù)的斂散性:(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),

(常數(shù)k>0),3.正項級數(shù)審斂法

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0(3)當(dāng)

l=∞設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,的斂散性.例3.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知發(fā)散比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散

..

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)

為正項級數(shù),且則因此級數(shù)收斂.解:4.交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)

.

(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂。5.絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知:交錯級數(shù)例5.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:

而收斂,收斂因此絕對收斂.判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項級數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散

1.Abel定理

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式二、求冪級數(shù)收斂域*例6.已知冪級數(shù)在處收斂，則該級數(shù)在處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？解：由Abel定理，該冪級數(shù)在處絕對收斂，故在絕對收斂。例7.已知處條件犧收斂,問該嘉級數(shù)慌收斂半徑架是多象少?答:根據(jù)Ab執(zhí)el定理可摸知,級數(shù)在收斂,時發(fā)乖散.故收斂商半徑為若的系數(shù)溉滿足1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時,則的收框斂半懂徑為2.求收播斂半軍徑對端點(diǎn)x=－1,的收斂艦半徑及馬收斂域.解:對端炒點(diǎn)x=1,級數(shù)為旁交錯級盯數(shù)收斂;級數(shù)為發(fā)散.故收勉斂域話為例8..求冪漢級數(shù)例9.的收成斂域.解:令級數(shù)皮變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為此級數(shù)樹發(fā)散;當(dāng)t=段–巾2時,級數(shù)為此級陵數(shù)條紗件收虎斂;因此津級數(shù)嚷的收犬?dāng)坑蚩酁楣试峒墧?shù)模的收合斂域陜?yōu)榧慈?、求派函?shù)的潔冪級數(shù)線展開式1、對函殼數(shù)作恒居等變形垂（如果扶需要的額話）2、利甩用已驚知結(jié)黨論，慎用變笨量代緊換或佩求導(dǎo)配積分?jǐn)U得所底求函傳數(shù)的奴冪級自數(shù)3、寫價出收編斂范蜻圍的冪睬級數(shù)盈展開路式展開罰成解：例10盛.求函剛數(shù)四、求抬冪級數(shù)走的和函踢數(shù)這是冪秋級數(shù)展多開問題顯的逆問見題，利村用已知園結(jié)論或丑求導(dǎo)積汗分，求突冪級數(shù)繳在收斂榴域內(nèi)的積和函數(shù)正。微分知方程一、懸微分鮮方程載的基鬼本概陰念二、程解微另分方登程含未歷知函漸數(shù)及汪其導(dǎo)磁數(shù)的代方程脅叫做微分任方程.方程中窗所含未舟知函數(shù)策導(dǎo)數(shù)的辛最高階躲數(shù)叫做很微分方午程一、微吹分方程拉的基本黎概念的階.例如泰：一階玩微分耍方程二階奇微分裹方程—使方榴程成狼為恒暢等式狗的函思數(shù).通解—解中所痛含獨(dú)立唉的任意輪常數(shù)的匠個數(shù)與資方程—確定通萬解中任例意常數(shù)舍的條件.初始條雖件(或邊宜值條屯件):的階斧數(shù)相凍同.特解微分呢方程嶺的解—不含任和意常數(shù)漁的解,定解條顫件其圖餃形稱爸為積分糟曲線.例1.驗證泊函數(shù)是微分魔方程的解.解:是方計程的鑰解.二、鑄解微補(bǔ)分方漁程1.一階微零分方程可分離態(tài)變量，肺一階線么性2.高階裙微分葛方程可降申階微升分方醉程，價二階器線性蘿微分永方程根解的抓結(jié)構(gòu)圾，二晚階線迷性常懇系數(shù)故齊次都微分尋方程中求解謝。分離變醬量方程懸的解法:(2儲)兩邊畝積分①②(3)得到通賢解稱②為達(dá)方程①陰的隱式通談解,或通積分.(1)分離前變量*例2.求微珍分方洲程的通解.解:分離慕變量慕得兩邊積相分得即(C為任意是常數(shù))因此可微能增、減解.一階悲線性薯微分割方程一階早線性度微分繳方程爛標(biāo)準(zhǔn)想形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次缺方程.稱為齊次住方程;解*例3.利用一繡階線性待方程的辦通解公絞式得：令因此即同理碰可得依次憐通過n次積分,可得含n個任意爭常數(shù)的得通解.型的微申分方程例5.求解解:型的微里分方程設(shè)原方程翻化為一渣階方程設(shè)其胞通解打為則得再一次注積分,得原方切程的通總解例6.求解解:代入時方程花得分離撓變量積分批得利用于是風(fēng)有兩端欺再積塔分得利用因此痛所求短特解百為型的終微分糠方程令故方程帖化為設(shè)其通西解為即得分離變畏量后積海分,得原趴方程葵的通肯解例7.求解代入疑方程茫得兩端彎積分值得故所求萌通解為解:定理1.是二陶階線痛性齊危次方慶程的絹兩個茂線性無關(guān)曾特解,則數(shù))是該方銅程的通挑解.例如,方程有特勞解且常數(shù),故方程拔的通解熟為二階線兔性齊次乳方程解走的結(jié)構(gòu)特征懸方程:實根特征根通解二階第線性剩常系促數(shù)齊釀次微說分方汁程求蒜解例9.的通辨解.解:特征權(quán)方程特征根:因此原海方程的撇通解為例10.求解初膀值問題解:特征方肥程有重似根因此宵原方桂程的勉通解遙為利用初駁始條件妖得于是所頁求初值敏問題的慶解為*例11鋸.的通解.解:特征思方程特征根:因此撐原方