結構力學一一

第十四章結構動力學下冊P73§14-1概述一、結構動力計算的特點（2）研究單自由度及多自由度的自由振動、強迫振動。1、內容：（1）研究動力荷載作用下，結構的內力、位移等計算原理和計算方法。求出它們的最大值并作為結構設計的依據。2、靜荷載和動荷載（1）靜荷載：荷載的大小和方向不隨時間變化（如梁板自重）。（2）動荷載：荷載的大小和方向隨時間變化，需要考慮慣性力（與影響線不同）。

3、特點

（2）內力與荷載不能構成靜平衡。必須考據慣性力。依達朗伯原理，加慣性力后，將動力問題轉化為靜力問題。(1)必須考慮慣性力。(3)分析自由振動即求自振頻率、振型、阻尼參數等是求強迫振動動力反應的前提和準備。(4)學習循序漸進：二、動力荷載的種類

P(t)toP(t)=psint

1、簡諧周期荷載：荷載按正弦余弦規(guī)律變化（偏心轉子對結構的沖擊）。

2、沖擊荷載：荷載在短時間內急劇增加或減少（鍛錘對基礎的沖擊、爆炸等）。P(t)totdP(t)totd3、脈動風壓4、地震荷載

1、基本未知量：以質點位移作為基本未知量。結構上全部質點有幾個獨立的位移，就有幾個獨立的未知量。

2、自由度：結構運動時，確定全部質點位置所需要的獨立幾何參變量的數目（與幾何組成自由度不同）。§14-2振動體系的自由度（2）與幾何組成分析中的自由度不同。

對梁和剛架（1）略去軸向變形（2）略去慣性力矩∴只有一個自由度M=ml分布質量，有無限自由度ml

3、有關自由度的幾點說明：

（1）基本未知量數目與自由度數目是一致的。前者強調獨立位移數目，后者強調獨立坐標數目。（3）一般采用“集中質量法”，將連續(xù)分布的質量集中為幾個質點研究。（4）并非一個質量集中點一個自由度（分析下例）。

（5）結構的自由度與是否超靜定無關。2個自由度2個自由度4個自由度靜定結構6次超靜定結構3次超靜定結構

體系振動的衰減現象，阻尼力（6）可用加鏈桿的方法確定自由度。1、自由振動的衰減：結構在自由振動時的振幅隨時間逐漸減小，直至振幅為零、震動停止的現象。2、引起振幅衰減是因能量損耗，其主要原因有：（2）周圍介質對振動的阻力。（1）結構材料的內摩擦阻力。（4）地基土等的摩擦阻力。（5）建筑物基礎振動引起土體振動，振波傳播，能量擴散。（3）支座、結點等構件聯結處的摩擦力。4、粘滯阻尼理論（伏伊特理論）：

阻尼力與體系振動的變形速度成正比，方向與速度方向相反。

3、阻尼：

使能量耗散的因素，統(tǒng)稱為阻尼。(?為阻尼系數）§14-3單自由度結構的自由振動結構在沒有動荷載作用時的振動，稱為自由振動。解決：建立振動方程，計算振幅、初相角、頻率、周期…

產生原因：外界的干擾（初速度，初位移）■動力計算與靜力計算的區(qū)別:達朗伯原理:動力計算可化為靜力平衡問題來處理。這是一種形式上的平衡，是一種動平衡，是在引進慣性力的條件下的平衡。注意兩個特點：（1）力系中包括慣性力；（2）瞬間的平衡，荷載、位移、內力等都是時間的函數。3.單自由度體系運動方程的建立研究質點的動平衡，共作用3個力：達朗伯原理是建立運動方程所依據的基本原理。列動力平衡方程動平衡方程：mm1）無阻尼自由振動運動方程及其解的形式令則通解:則tc2cy令cc2c1特點：(1)無能量耗散,振動一經開始永不休止：幾個術語（1）周期：振動一次所需的時間。（2）工程頻率：單位時間內的振動次數（與周期互為倒數）。（3）頻率（圓頻率）：旋轉向量的角速度，即體系在2秒內的振動次數。自由振動時的圓頻率稱為“自振頻率”。4、微分方程中各常數由初始條件確定代入：將時得：可得：進一步可確定式中的c和cc2c1頻率定義：頻率：周期：自振頻率是體系本身的固有屬性，與體系的剛度、質量有關，與激發(fā)振動的外部因素無關。二、有趨阻尼的情自由振重動1、振動嫂方程及遙其解則特征方程特征根(二階胖線性怪常系侍數齊援次微梢分方少程)特征根特征根（1）k＜ω，小阻定尼情攜況（一對忙共軛復聰根）y’t2振幅：P8羨1式14吳-1章2混凝土結構鋼結構按e-kt規(guī)律策衰減仰，k稱為衰減衡系數。圓頻率阻尼比特征根（2）k＞ω，大阻赴尼情淹況（兩菠個不那等的蓬負實貿根）通解結論唇：上宮式中不含云簡諧雁振動哪因子直，阻引尼使庫能量梢耗盡貪，故不會冊產生振艱動。yyttoo特征根（3）k=ω，臨界駛阻尼忙情況（兩釀個相遇同的爆實根稠）結論：處由振動但過渡到憲非振動醒的臨界栽狀態(tài)。通解大阻尼皇情況虜下的階振動奴曲線染：§14史-1單自暖由度勁結構耐在簡牢諧荷蛙載作震用下病的強刃迫振敵動則：通解包挑括兩部幻玉分：m動平衡方程：(二階常襪系數線急性非齊次微分攤方程)1、求齊組次解：特征浙方程毫：特征臺根：2、求嶺特解穗（待退定系需數法襲）：設：將上清式代聽入原餡方程旦后，挪可確汗定D1、D2：進一步京，可得怎：特解的另一形式:將各治量代偵入后滴，可余求出蹦特解渡：通解：利用可確定C1、C2，于是：P94透(14貫-21贏)①②兩式含內有因子,很快衰院減,最后只相剩按振包括動的純強各迫振動;①取決于初始條件的自由振動②取決于干擾力的伴生自由振動③按荷載頻率的純強迫振動

①②芽③同時存紫在的階暮段稱為過渡康階段,僅剩③的階輪段稱戰(zhàn)為平穩(wěn)階真段,后者爭更重脹要,只討疤論平穩(wěn)階濃段1、不理計阻閃尼的盤純強節(jié)迫振復動(=0)振幅Ak11=1/11

2.考慮錫阻尼豪的純吳受迫掩振動同理觀可得,動力識系數:①/質<庸<1，1，P(t)可視為徒靜荷載;特點:越大,庫曲線啊越平侍緩,特別宜是在/=納1附近,峰值下索降最顯稠著;②/1肆(0.繩75胡</刺<1測.3共振嘴區(qū))，對影響抹很大粥，阻廢尼使峰值下收降;/=1時，共振:眨0，州；≠0，有限挺。③/>>1時,0，與阻設尼無稈關，荷載變滅化很快溝，結構饞來不及客反應,不動勝或只目做微乓小顫蘆動。共振區(qū)設計時照應避免職共振。魔由于阻汁尼，振盆幅不會欠無限大繞。受迫沒振動烘實驗兇演示共振利視頻旱：塔姿科瑪浴大橋永的震究蕩和系坍塌P8竹9例14冷-2重量G=3敞5kN的發(fā)忙電機泉置于紛簡支配梁的其中點汁上，，E=2鑒10G撈Pa，發(fā)電誓機轉動巾時其，且F=限10壘kN。若多不考下慮阻纏尼，特試求并知梁喝的慣性次矩離心分力的鑼垂直譽分量餡為當發(fā)釘電機舌每分旋鐘的天轉數傷為n=域50冠0r參/m糟in時，梁遠的最大聰彎矩和寄撓度（援梁的自泳重可治略去符不計恒）。解：在發(fā)電尤機重量享作用下寄，梁中糊點的最速大靜力穿位移為自振兄頻率:干擾僵力的拒頻率:動力系熊數:梁中點玩的最大漆彎矩:梁中點城的最大鏡撓度:§1老4-5多自薄由度叫結構友的自升由振桐動很多誕結構仰的振窄動問罩題必滾須簡刑化為倡多自封由度蝕結構蛙的計尸算,如:1).多層建開筑的水屬平振動,質量瀉集中渾到樓宴層上;2).不等貨高排階架的草水平鞭振動,質量集嘉中到屋筑蓋處;多個躲自由雙度體廚系的濟自振司頻率豪和振適動形要式如帽何?先研爭究兩迫個自晨由度藝體系外的自肆由振驚動,然后復推廣項到多堤個自廉由度仿的情爐況.建立振緩動方程(柔度溪法或腳剛度慘法).1.振動微桃分方程滲的建立（1）列鋒位移細方程單（柔度法）任一瞬時動位移y1、y2應等于體系在慣性力共同作用下產生的靜力位移，按疊加原理：整理缺，得坡：2.運動保方程鄙的求讀解和纏頻率恥方程由單碰自由戶度結暑構的示振動肆規(guī)律,設兩逆質點耗按同乓一頻滴率、同相稀位振動代入上式，消去公因子,化簡后得：關于振騰幅A1，A2的齊次線線性方程啦組振型方巧程振幅A1，A2有非炒零解趁，舍則系辱數行番列式占：頻率批方程令,展開，得：解得坡，兩個自振頻隱率：3、特定燈初始條捧件下的卵簡諧振勝動主振坑型當=2時：第一掘頻率套、鑰基頻第二緞頻率因1，2均使振型方程的系數行列式：因此，振型謠方程際中兩偏式線性馳相關，即書兩式拔相互不獨立，只能羞用其中梢一式求乒得振幅A1，A2的比值：當=1時：4、任意符初始條四件下，差體系的遙自由振寫動振動在一尸般條圍件下泛，質銜點的預位移廈是由竟不同衰頻率崖的簡挖諧分先量疊炕加而講成，泰不再醋是簡普諧振產動。例題：諒求圖示棵體系的倆自振頻州率和主未振型。解：（1）求冒頻率代入（2）求振忍型5.多自由萌度體系千的自由忘振動運動摸方程鴿的建績立移項后烏，寫成秩矩陣的腔形式：運動方賊程的求皆解和頻鞋率方程設方滔程的拳特解訴（同夕頻率犯、同咬相位截、質范點位佩移之糧比為觸常量短）：將方程竟的特解衡及其二么階導數馬代入式掏（1），穿化簡鋒后得坡：令該郵齊次兩方程疲組系稍數行截列式突等于員零，伍可得于頻率跳方程個：(1)(2)(3)振型矩紅陣的概幻玉念例題1：三層慢剛架斗。質笛量、研側移挎剛度帥如圖鋪所示毯。略洽去橫穿梁變茄形。曲試求爭該剛怕架的念自振較頻率畝和主幸振型殖。解：（1）求順頻率（2）求盛振型例題2：對稱剛煙架。梁蘭抗彎剛昌度EI忙=∞，柱的抗邊彎剛度EIC=6豎.0籠M帽N.姥m2,橫梁嬌的總裹質量160當0kg業(yè),兩柱社中點驗處的趕集中哈質量友為300仙kg。求剛架瓣的自屠振頻漆率和再主振衰型。解：（一）捧正對稱綠形式的感自由振京動例題2：對稱剛刪架。梁撓抗彎剛撤度EI而=∞，柱的抗晶彎剛度EIC=6.湖0M踐N.m2,橫梁宮的總紋質量160寫0kg代,兩柱中腦點處的熊集中質灘量為300江kg。求剛架的醒自振頻陪率和主哄振型。（二帝）反救對稱燃形式多的自芹由振景動（三）原剛架他的頻率歉和變形第七秒節(jié)浴多嗎自由腫度體恢系主弟振型誤的正央交性一、撇定義所謂項主振鮮型的路正交亂性是狐指不肌同頻徹率相躍應的蝦主振鉗型之祥間存旦在著碧相互擇正交咸的性澇質。二、證陵明：Xi(1)Xi(2)Xi(n)Xj(1)Xj(2)Xj(n)振型櫻正交欣性應寸用：（1）簡化嫌多自由受度體系傳的動力眠計算；（2）檢驗埋所得主確振型是柄否正確帳。例題陵（13-贈11）1、列占位移臣方程累（柔炸度法稅）：移項包后，常寫成銳矩陣際的形兼式：第八更節(jié)植多自舌由度壇體系猾的強幕迫振鼠動簡諧劈燕荷載與作用蓬下的活直接被解法一、運脹動方程連的建嚴立2、列福動力探平衡涌方程賣方程餡（剛賢度法?。阂祈椇鬂O，寫成驕矩陣的財形式：二、簡經諧荷載莫作用下遷的強迫陽振動設達到塊穩(wěn)態(tài)后華，各質撇點按干葵擾力頻雖率作簡待諧振動薪：柔度系盲數易求斧時，將薦式（3）代業(yè)入式并（1），并袍化簡：1、運動圈方程2、動位稿移幅值良的計算剛度系伶數易求喇時，將溫式（3）代倘入式逗（2），鮮并化鋒簡：將慣性跳力幅值饅和動荷共載幅值慈同時加姿在體系蹤蝶上，而斯后按靜妨力方法慘計算即職可。（為齡什么繼？）3、動扣內任力幅蝴值計乘算（銅無阻輪尼）三、兩貴個自由堡度體系遙在簡諧拳荷載作萌用下的能強迫振描動（無嗎阻尼）（1）柔賣度系甘數易膝求1、動位倒移幅值游的計算（2）剛諒度系濾數易席求2、動沒內力幅煎值計算蒼（無阻書尼）將慣址性力劣幅值格和動阻荷載鑄幅值趴同時講加在菌體系露上，壯而后劈燕按靜圖力方微法計鏈算即膛可。3、注叛意點（1）由于項強迫振起動的動兆荷載為嬌已知（渡幅值和可頻率）安，故可只直接求些出動位席移幅值A1、A2。（2）在簡諧終荷載作款用下，絕體系達胞到穩(wěn)態(tài)波后，兩士質點也繳都作簡少諧振動擋，其頻享率與干鼻擾力頻獅率相同規(guī)。（3）干擾力炸頻率與揭振幅的請關系：a)當θ→疏0時；臉動力潑作用去很小礙，動倚位移拆幅值喝相當臂于將圖干擾證力幅維值當宗作靜云荷載艘所產沉生的組位移仁。b)當θ→伶∽時；A1→0，A2→0。c)當θ→柳ω1或θ→ω2時；剖產生走共振底，A1→∽，A2→∽。(4躬)當不羞計阻來尼時添，位懇移與是慣性盒力隨康干擾捧力作重同樣益變化拿，并巨同時料達到嫁幅值匪。與撈位移箭相應脈的慣旬性力畫幅值轉為：例題12-辭13：三層剛騾架。質岡量、側昏移剛度庸及動荷期載如圖擁所示，p(胞t)紅=1修00化si掌ntkN。每分鐘類振動200次。略拐去橫梁待變形。漠試求該護剛架各陜層振幅院值及各猛層柱的御剪力幅叢值。解：（一滲）求穿各樓是層的辨振幅默：（二）符求動內匠力值：44.5947.61617.492Q圖（kN)位移（cm.)動M圖（kN.m)1、正則圾坐標應媽滿足的啞條件第奸九節(jié)鈔多自教由度監(jiān)體系賴的強辟迫振幻玉動接振皇型疊階加法紹法一、正跨則坐標(1獲)以質胞點位位移作醬為坐藝標（卻幾何秀坐標蓬）建施立的疫運動父方程幕，必允須聯盈立求洽解。(2售)以正則冶坐標耕代替尊幾何念坐標絕，可候將聯上立方議程變毒為若朽干個尸獨立載方程業(yè)求解大。(3)正則滑坐標殊的建前立2、正候則坐航標的就幾何料意義1(1)2(2)2(1)2(2)a)體系的侄實際位開移可以牽看作是反由固有須振型乘便以對應恭的組合膀系數v1、v2之后疊元加而成緒。b)組合系關數v1、v2稱為“聯正則坐袖標”。挨上述作儀法相當述于將實馬際位移益按振型懂分解，鮮固稱“盤振型分勒解法”爬；反之而，“振桌型疊加監(jiān)法”。c)對n個自自棋由度體洞系，有騾：c)對n個自自序由度體泡系，有屋：1(1)2(n)2(1)2(2)n(1)n(2)1(n)1(2)n(n)1、正武則坐壟標方彈程的貸推導二、按炊振型疊荒加法計斑算強迫瘡振動2、正嘗則坐塵標微萌