常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六第三章常微分方程的差分方法1．教學內容：

Euler方法：Euler公式，單步顯式公式極其局部截斷誤差；后退Euler公式，單步隱式公式極其局部截斷誤差；梯形公式，預測校正公式與改進Euler公式。2．重點難點：

Euler公式，預測校正公式與改進Euler公式3．教學目標：

了解歐拉方法的幾何意義、對給出的初值問題，能利用Euler公式，改進Euler公式進行數值求解第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六科學技術當中常常需要求解常微分方程的定解問題。這類問題的最簡單的形式，是本章著重要考察的一階方程的初值問題：（1）（2）本章中我們假定右函數適當光滑以保證初值問題解的存在唯一。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但求解從實際問題中歸結出來的微分方程要靠數值解法。初值問題（1）、（2）局部解的唯一存在條件：若連續(xù)且滿足Lipschitz條件，即存在常數L，對一切有第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六差分法是一類重要的數值方法，這類方法是要尋求離散節(jié)點上的近似解，相鄰節(jié)點間距稱為步長。初值問題的各種差分方法都采用“步進式”，即求解過程順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進。描述這類算法，只要給出從已知信息計算的遞推公式，這類計算格式統(tǒng)稱為差分格式。微分方程初值問題（1）、（2）的數值解法，就是求它的解y(x)在一系列節(jié)點上的近似值，用。稱為步長，一般總取h為常數。第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六3、1歐拉方法1、歐拉格式

微分方程的本質特征是方程中含有導數項，這也是它難于求解的癥結所在。數值解法的第一步就是設法消除其導數項，這項手續(xù)稱為離散化。實現離散化的基本途徑就用差商代替導數。譬如，若在點處列出方程并用差商代替，結果有

第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六設用的近似值代入上式右端，記所求結果為，這樣導出的計算公式（3）已先期算出已知節(jié)點步長這就是眾所周知的歐拉（Euler）格式，若初值是已知的，則依據上式即可逐步算出數值解第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六yx0仿此不斷地作下去……歐拉方法的幾何解釋Y1第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例1求解初值問題（其解析解為）解：設步長h=0.1，由歐拉公式（3）有：所以，……第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六計算結果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.10001.09450.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六解析解數值解第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六

為簡化分析，人們常假設在第n步求得的為準確即的前提下估計誤差

這種誤差稱為局部截斷誤差。誤差估計為：y(xn+1)-[y(xn)+hf（xn,y(xn)）]

如果不作這一假定，累積了n步的誤差，稱為整體截斷誤差。其表達式為y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-［yn+hf(xn,yn)］第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六如果一種數值方法的局部截斷誤差為

則稱它的的精度是p階的，或稱之為p階方法。對于歐拉格式（3），假定則有：第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六由此我們可知歐拉格式僅為一階方法。將在點泰勒展開：因此有：

雖然歐拉公式（3）的精確度很差，但卻體現了數值方法的基本思想。第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六2、隱式歐拉格式設改用向后差商替代方程中的導數項再離散化，即可導出下列格式（5）該格式右端含有未知的它實際上是個關于的函數方程。故稱該格式為隱式歐拉格式。由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隱式歐拉格式也是一階方法，精度與歐拉格式相當。但計算遠比顯式格式困難得多。第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六3、兩步歐拉格式設改用中心差商替代方程中的導數項，再離散化，即可導出下列格式

設用的近似值，的近似值代入上式右端，記所求結果為，這樣導出的計算公式（6）第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六無論是顯式歐拉格式還是隱式歐拉格式，它們都是單步法，其特點是計算時只用到前一步的信息，而該格式卻調用了前面兩步的信息，兩步歐拉格式因此而得名。

兩步歐拉格式具有更高的精度，可以驗證它是二階方法。事實上，由泰勒展開式知所以：第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六故有：假設則：故兩步歐拉格式是二階方法。第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六3、2改進的歐拉方法為了改進歐拉方法的精度，我們將微分方程（1）兩邊從x0到x對x積分，于是得到與初值問題（1）、（2）等價的積分方程因此，求解y(x)就轉化為計算上式右端的積分。1、梯形格式第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六一般地有：（7）為了求得的近似值，只要用數值積分方法求出積分的近似值就可以了，而選用不同的積分方法，便導出不同的差分格式。例如用矩形公式計算，得代入（7）式得第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六若用分別近似代替則得計算公式此式正是歐拉格式為了提高精度，改用梯形公式計算積分，即代入（7）式得第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六用分別近似代替則得計算公式（8）與梯形求積公式相呼應的這一差分格式稱為梯形格式。它實際上是顯式歐拉格式與隱式歐拉格式的算術平均。第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例：用梯形法求解

解析解解：設步長h=0.1，由梯形格式（8）有：得：整理得：所以：第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六2、改進的歐拉格式歐拉方法（3）是一種顯式算法，計算量小，但精度低；梯形方法（8）雖然提高了精度，但它是一種隱式算法，必須通過解方程或者迭代過程求解，計算量大。我們綜合這兩種方法，先用歐拉法求得一個初步的近似值，記為，稱之為預報值，然后用它替代梯形法右端的再直接計算，得到校正值。這樣建立的預報－校正系統(tǒng)稱為改進的歐拉格式：預報校正（9）第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六把預報代入校正中，便可表為或表為下列平均化形式：可以驗證改進的歐拉格式與梯形格式具有同等的精度，但梯形格式是隱式的，而改進的歐拉格式卻是顯式的，便于計算。（10）第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例2用改進的歐拉格式求解初值問題（其解析解為）解：設步長h=0.1，由改進的歐拉格式（10）有：第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六n=0時n=1時第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六計算結果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.09591.09450.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61651.61250.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321改進的歐拉格式明顯地改善了精度第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六解析解歐拉格式改進的歐拉格式第