2022屆高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)

共71頁1第二十一講三角函數(shù)的性質(zhì)回歸課本共71頁21.正?余弦曲線的定義正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.共71頁32.周期函數(shù)對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.正弦函數(shù)?余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ,k∈Z都是它們的周期,最小正周期是2π.共71頁43.正弦函數(shù)?余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表共71頁5共71頁6共71頁74.y=tanx的性質(zhì)(1)定義域是{x|x≠kπ+,k∈Z}.(2)值域是R,即正切函數(shù)既無最大值,也無最小值.(3)周期性:正切函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是π.(4)奇偶性:正切函數(shù)是奇函數(shù).共71頁8

(5)單調(diào)性:正切函數(shù)在開區(qū)間k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).(6)對稱性:正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,正切曲線是中心對稱圖形,其對稱中心坐標是

(k∈Z).正切函數(shù)無對稱軸.共71頁95.y=tanx(x≠kπ+k∈Z)的圖象共71頁10考點陪練共71頁111.函數(shù)的定義域是()A.{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}B.{x|2kπ≤x≤2kπ+

,k∈Z}C.{x|2kπ-

≤x≤2kπ,k∈Z}D.x∈R答案:D共71頁122.若的最小正周期為T,且T∈(1,3),則正整數(shù)ω的最大值是()A.5 B.6 C.7 D.8答案:B共71頁13共71頁14答案:C共71頁15共71頁16答案:C5.函數(shù)x∈R是()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)共71頁17共71頁18答案:B類型一 三角函數(shù)的定義域解題準備:求函數(shù)定義域的題型,關(guān)鍵是求使式子有意義的x的取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式,此題是解三角不等式,常用的方法有:①利用單位圓中的三角函數(shù)線;②利用三角函數(shù)的圖象;③利用函數(shù)單調(diào)性,一定要與相應(yīng)三角函數(shù)的周期聯(lián)系起來.共71頁19共71頁20

[分析]先寫出使函數(shù)有意義的不等式或不等式組,再利用三角函數(shù)圖象或單位圓求解集.共71頁21共71頁22共71頁23

[反思感悟]①求三角函數(shù)的定義域,既要注意一般函數(shù)的定義域的規(guī)律,又要注意三角函數(shù)本身的特有屬性,如題中出現(xiàn)tanx,則一定有x≠kπ+,k∈Z.②求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線?三角函數(shù)圖象或單位圓.共71頁24類型二 三角函數(shù)的值域及最值問題解題準備:三角函數(shù)的值域及最值問題,實質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題,常用的方法有:化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式,再利用換元?配方等方法求解.共71頁25【典例2】求下列函數(shù)的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.[分析]先將原函數(shù)式進行等價變形,利用|sinx|≤1,|cosx|≤1,但要注意自變量的取值變化.共71頁26共71頁27共71頁28共71頁29

[反思感悟](1)將原函數(shù)式化為y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B型或化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式,利用換元法進行配方可解決問題.(2)關(guān)于y=acos2x+bcosx+c,a≠0(或y=asin2x+bsinx+c,a≠0)型或可化為此型的函數(shù)求值域,一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題,切忌忽視函數(shù)的定義域.(3)換元法,旨在三角問題代數(shù)化,要防止破壞等價性.共71頁30類型三 三角函數(shù)的單調(diào)性解題準備:與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題共71頁311.單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定,基本思想是把ωx+φ看作一個整體,比如:由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+

(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間,由2kπ+

≤ωx+φ≤2kπ+π(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.共71頁322.如何比較兩個三角函數(shù)值的大小比較三角函數(shù)值的大小,往往是利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值,再利用單調(diào)性比較.共71頁33共71頁34共71頁35共71頁36共71頁37

[反思感悟](1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以通過解不等式的方法去解答,列不等式的原則是:①把“ωx+φ(ω>0)”視為一個“整體”;②A>0(A<0)時,所列不等式的方向與y=sinx(x∈R)?y=cosx(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反).

共71頁38(2)對于y=Atan(ωx+φ)(A?ω?φ為常數(shù)),其周期單調(diào)區(qū)間利用ωx+φ∈

(k∈Z),解出x的取值范圍,即為其單調(diào)區(qū)間,對于復(fù)合函數(shù)y=f(v),v=φ(x),其單調(diào)性的判定方法是:若y=f(v)和v=φ(x)同為增(減)函數(shù)時,y=f(φ(x))為增函數(shù);若y=f(v)和v=φ(x)一增一減時,y=f(φ(x))為減函數(shù).共71頁39類型四 三角函數(shù)的奇偶性解題準備:1.當φ=kπ時,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)(k∈Z).2.當φ=kπ+時,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)(k∈Z).共71頁403.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件,因此在判斷函數(shù)奇偶性時,應(yīng)首先判斷函數(shù)定義域的對稱性.4.當函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱時,只需分析f(-x)與f(x)的關(guān)系即可.共71頁41【典例4】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=|sinx|+cosx(2)y=lg(sinx+)[分析]先確定定義域,再用函數(shù)奇偶性的定義.共71頁42

[解](1)f(x)的定義域為R,f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函數(shù)是偶函數(shù).共71頁43[反思感悟]判斷函數(shù)奇偶性時應(yīng)注意“定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件”的應(yīng)用.確定定義域是研究函數(shù)問題的前提,因此解函數(shù)問題的步驟是:①先研究函數(shù)的定義域.②再用相關(guān)定義加以判斷.共71頁44類型五 三角函數(shù)的周期解題準備:三角函數(shù)周期的求法有三種:(1)定義法:即直接利用周期函數(shù)的定義求周期;共71頁45

(2)公式法:三角函數(shù)y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期分別為2π?2π和π.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期 函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的周期為 函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期為(A,ω,φ為常數(shù),A≠0);(3)轉(zhuǎn)化法:對于較為復(fù)雜的三角函數(shù),可通過恒等變形轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k,y=Atan(ωx+φ)+k的類型,再利用公式法求得.共71頁46共71頁47共71頁48共71頁49

[反思感悟]求三角函數(shù)最小正周期的基本方法有兩種:一是將所給函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形式;二是利用圖象的基本特征求.共71頁50錯源一 沒注意三角函數(shù)的有界性出錯【典例1】求函數(shù)y=-3sin2x+9sinx+ 的最大值.[錯解]配方得,故函數(shù)的最大值是ymax=8.共71頁51

[剖析]上述解法的錯誤在于把題中函數(shù)與通常的二次函數(shù)等同起來了,它們雖有相似之處但也有嚴格的區(qū)分.忽視了-1≤sinx≤1的隱含條件.共71頁52[正解]事實上,二次函數(shù)在t∈[-1,1]上遞增.故原函數(shù)當sinx=1時取最大值,即ymax=共71頁53[評析]正?余弦的值域是固定在某一個確定的范圍內(nèi),在解三角題時,一定要深入挖掘條件中由正?余弦函數(shù)有界性產(chǎn)生的隱含因素,否則就會擴大解集,造成解題的失誤.共71頁54錯源二 確定單調(diào)性時不注意復(fù)合規(guī)律而致錯【典例2】求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.共71頁55共71頁56

[剖析]上述解法忽視了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律.因為構(gòu)成原函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)在(x∈R)上為減函數(shù),因此所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為外層函數(shù)y=cosu的減區(qū)間.共71頁57共71頁58錯源三確定函數(shù)的周期時不注意體現(xiàn)最小而致錯【典例3】求y=|sinx|+|cosx|的周期.[錯解]設(shè)f(x)=|sinx|+|cosx|,因為f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)最小正周期為π.[剖析]三角函數(shù)周期是指最小正周期,而上述解法沒有體現(xiàn)出所求周期為最小正周期.共71頁59

[正解]因為y=|sinx|+|cosx|>0,所以函數(shù)y的周期與函數(shù)y2=1+|sin2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期為所以函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的周期為共71頁60[評析]求三角函數(shù)的最小正周期主要有三種方法:一是根據(jù)定義,但要注意體現(xiàn)最小;二是利用三角函數(shù)的圖象;三是公式法,即函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B,y=Atan(ωx+φ)+B(ω≠0)的最小正周期分別為共71頁61錯源四利用正切函數(shù)圖象求解方程根作圖有誤而致錯共71頁62共71頁63

[剖析]產(chǎn)生錯解的原因是對y=sinx與y=tanx的圖象的性質(zhì)認識不清.共71頁64[答案]A技法 求函數(shù)周期的若干策略一?數(shù)形結(jié)合當一個函數(shù)的周期不容易求得時,畫出它的圖象是行之有效的好方法.共71頁65【典例1】已知函數(shù)指出函數(shù)的最小正周期.共71頁66共71頁67顯然函數(shù)的最小正周期為T=2π.二?轉(zhuǎn)化與化歸形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”類型的正切函數(shù)可以通過化簡轉(zhuǎn)換成單一函數(shù)名稱的三角函數(shù),然后再求周期.共71頁68【典例2】求函數(shù)y=tanx+cotx的周期.[解]