銳角三角函數(shù)-人教版九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練

文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題28.1銳角三角函數(shù)（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；

2．會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；

3．理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.【要點梳理】要點一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．特別說明：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學(xué)符號，是一個整體，不能寫成，，，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習(xí)慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時，，，tanA＞0．要點二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°特別說明：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

要點三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

特別說明：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便．

【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)值的求解策略1．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E為AD邊上一點，沿CE將△CDE對折，使點D正好落在AB邊上，tan∠AFE等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的長．根據(jù)三角函數(shù)的定義，易得tan∠BCF的值，依據(jù)∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，∴∠BCF+∠BFC＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，∴∠AFE+∠BFC＝90°，∴∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理得：BF＝＝＝6，則tan∠BCF＝＝，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正確．故選：B．【點撥】本題主要考查了矩形的折疊問題，求三角函數(shù)值，勾股定理，余角的性質(zhì)，根據(jù)折疊和勾股定理求出，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴，設(shè)，則，在中，,在中，,∴，解得，∴，故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．【變式2】如圖，在中，，，點D是AC上一點，連接BD．若，，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過點D作于點E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過點D作于點E，如圖，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點撥】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長是解答本題的關(guān)鍵．類型二、特殊角的三角函數(shù)值的計算2．計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）0；（3）【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，代入計算即可．解：（1）原式＝，（2）原式＝（3）原式＝【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及實數(shù)的運算．掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計算：．【答案】【分析】根據(jù)實數(shù)的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪的運算法則計算即可．解：原式．【點撥】本題考查實數(shù)的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪的運算法則等．【變式2】計算：．【答案】3-3-3【分析】先計算乘方與化簡二次根，代入特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，化簡絕對值，最后計算加減即可．解：原式=1-4+4×-|-3|=1-4+2+-3=3-3-3．【點撥】本題考查實數(shù)的混合運算，熟練掌握零指數(shù)冪、負(fù)整指數(shù)冪運算法則和熟記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．類型三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系3．求證：若為銳角，則．要求：(1)如圖，銳角和線段，用尺規(guī)作出一個以線段為直角邊，為內(nèi)角，為的（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【分析】（1）作線段，過點作，作，射線，交于點，即為所求；（2）利用勾股定理，三角函數(shù)的定義證明即可．（1）解：如圖，即為所求．（2）證明：，，，，．【點撥】本題考查了作一個角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于點E．求證：ABCD；已知BC＝6，AB＝10，求的值．【答案】(1)見分析(2)【分析】（1）由角平分線定義得，．再由等腰三角形性質(zhì)得．從而得出，即可由平行線的判定定理得出結(jié)論；（2）先由勾股定理求出，再證△CDE∽△ABE，得，代入即可求得，然后由求解即可．（1）證明：∵BD平分，∴．∵，∴．∴，∴．（2）解：∵，∴．∵，，∴．∵，∴△CDE∽△ABE，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴在中，．【點撥】本題考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，直線AB與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點C在x軸上，，的面積為8．求反比例函數(shù)的解析式；求的面積；求的值．【答案】(1)(2)6(3)【分析】（1）如圖所示，過點A作AD⊥x軸于D，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出OC=8，再利用三角形面積公式求出m的值即可利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；（2）先求出點B的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出OA，OB，AB的長，過點O作OE⊥AB于E，利用等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理求出OE的長即可得到答案；（3）根據(jù)（2）所求解直角三角形即可．(1)解：如圖所示，過點A作AD⊥x軸于D，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，∵點A的坐標(biāo)為（-4，m），AC=AO，AD⊥OC，∴OC=2OD=8，AD=m，∵△AOC的面積為8，∴，∴，∴m=2，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；(2)解：∵反比例函數(shù)解析式為，點B（2，n）在反比例函數(shù)圖象上，∴即n=-4，∴點B的坐標(biāo)為（2，-4），∴，，∴OA=OB，過點O作OE⊥AB于E，∴，∴，∴；(3)解：由（2）得，∴．【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何的應(yīng)用，求正弦值，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．類型四、構(gòu)造直角三角形4．已知在中，，，為邊上的中線．（1）求的長；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求出AB，故可得到AC的長；（2）過點F作FG⊥BD，利用中位線的性質(zhì)得到FG，CG，再根據(jù)正切的定義即可求解．解：（1）∵，∴∴AB=10∴=；（2）過點F作FG⊥BD，∵為邊上的中線．∴F是AD中點∵FG⊥BD，∴∴FG是△ACD的中位線∴FG=3CG=∴在Rt△BFG中，=．【點撥】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義．舉一反三：【變式1】如圖，已知:在△ABC中，∠A=60°,∠B=45°,AB=8.求△ABC的面積（結(jié)果可保留根號）．【答案】48-16解：過C作CD⊥AB于D，利用直角三角形的性質(zhì)求得CD的長．已知AB的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求得其面積．解：過C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠CDA=90°，∴=cot∠DAC=cot60°=，即AD=CD×．在Rt△BDC中，∵∠B=45°，∴∠BCD=45°，∴CD=BD．∵AB=DB+DA=CD+CD×=8，∴CD=12-4．∴S△ABC=AB×CD=×8×（12-4）=48-16．答：△ABC的面積為48-16．【變式2】如圖，某攔河壩橫截面原設(shè)計方案為梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，為了提高攔河壩的安全性，現(xiàn)將壩頂寬度水平縮短10m，壩底寬度水平增加4m，使∠EFC=45°，請你計算這個攔河大壩的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）【答案】攔河大壩的高度為24m．【分析】過點A作AM⊥CF于點M，過點E作EN垂直CF于點N，設(shè)攔河大壩的高度為xm，在Rt△ABM和Rt△EFN中分別求出BM和FN的長度，然后根據(jù)已知AE=10m，BF=4m，EN-AE=BF+BM，列方程求出x的值即可．解：過點A作AM⊥CF于點M，過點E作EN垂直CF于點N，設(shè)攔河大壩的高度為xm，在Rt△ABM和Rt△EFN中，∵∠ABM=72°，∠EFC=45°，∴BM===，F(xiàn)N=x，∵AE=10m，BF=4m，F(xiàn)N-AE=BF+BM，∴x-10=4+，解得：x=24，答：攔河大壩的高度為24m．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)坡度和坡角構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中利用三角函數(shù)求解，難度一般．類型五、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用5．由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達(dá)處時，測得小島位于它的北偏東方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達(dá)B處，測得小島位于它的北偏東方向．如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處，求還需航行的距離的長．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】還需要航行的距離的長為20.4海里．【分析】根據(jù)題意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函數(shù)得出CD=27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．解：由題知：，，．在中，，，（海里）．在中，，，（海里）．答：還需要航行的距離的長為20.4海里．【點撥】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，三角函數(shù)的應(yīng)用；求出CD的長度是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°．沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比）（1）求點B距水平面AE的高度BH；（2）求廣告牌CD的高度．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）【答案】（1）點B距水平面AE的高度BH為5米.（2）宣傳牌CD高約2.7米.【分析】（1）過B作DE的垂線，設(shè)垂足為G．分別在Rt△ABH中，通過解直角三角形求出BH、AH.（2）在△ADE解直角三角形求出DE的長，進而可求出EH即BG的長，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，則CG=BG，由此可求出CG的長然后根據(jù)CD=CG+GE﹣DE即可求出宣傳牌的高度.解：（1）過B作BG⊥DE于G，在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，∴∠BAH=30°∴BH=AB=5（米）.答：點B距水平面AE的高度BH為5米.（2）由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15.在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15.∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.答：宣傳牌CD高約2.7米.【變式2】某校數(shù)學(xué)社團開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準(zhǔn)備測量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡的長是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測得路燈項端處的俯角是．試求大樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】96米【分析】延長AE交CD延長線于M，過A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長，即可求解．解：延長交于點，過點作，交于點，由題意得，，∴四邊形為矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大樓的高度約為96米.【點撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．類型四、銳角三角函數(shù)的綜合6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB＝cos∠DAC．（1）求證：AC＝BD；（2）若sinC＝，BC＝12，求△ABC的面積．【答案】（1）證明見分析；（2）△ABC的面積為48.【分析】（1）在直角三角形中，表示，根據(jù)它們相等，即可得出結(jié)論（2）利用和勾股定理表示出線段長，根據(jù)，求出長解：(1)∵AD是BC上的高∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵=，=又已知∴=．∴AC=BD．(2)在Rt△ADC中，，故可設(shè)AD=12k，AC=13k．∴CD==5k．∵BC=BD+CD，又AC=BD，∴BC=13k+5k=18k由已知BC=12，∴18k=12．∴k=．∴AD=12k=12=8．舉一反三：【變式1】如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，且AO＝BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分線DE交AB于點E，當(dāng)AD＝3，tan∠CAB＝時，求AE的長．【答案】（1）見分析；（2）.【分析】(1)由平行四邊形性質(zhì)和已知條件得出AC＝BD，即可得出結(jié)論；(2)過點E作EG⊥BD于點G，由角平分線的性質(zhì)得出EG＝EA．由三角函數(shù)定義得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，設(shè)AE＝EG＝x，則BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函數(shù)定義得出，即可得出答案．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝2AO，BD＝2BO．∵AO＝BO，∴AC＝BD．∴平行四邊形ABCD為矩形．(2)過點E作EG⊥BD于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴EA⊥AD，∵DE為∠ADB的角平分線，∴EG＝EA．∵AO＝BO，∴∠CAB＝∠ABD．∵AD＝3，tan∠CAB＝，∴tan∠CAB＝ta