第03講圖形變換課-旋轉(zhuǎn)變換-2022年八升九數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)精講精練（蘇科版）（解析版）

圖形變換課--旋轉(zhuǎn)變換模塊一.旋轉(zhuǎn)作圖方法技巧：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，同一旋轉(zhuǎn)圖中旋轉(zhuǎn)角是相等的，根據(jù)這一性質(zhì)可以畫旋轉(zhuǎn)圖形；各對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，通過作兩對對應(yīng)點(diǎn)的中垂線，可以確定旋轉(zhuǎn)中心。01.已知旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角確定對應(yīng)點(diǎn)01.已知旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角確定對應(yīng)點(diǎn)例題精講例題精講【例1】如圖，△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)O是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，畫出△ABC旋轉(zhuǎn)后的三角形.【解析】要畫出△ABC旋轉(zhuǎn)后的三角形，應(yīng)找出三方面的關(guān)系：①旋轉(zhuǎn)中心B；②旋轉(zhuǎn)角∠ABO；③C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)C'.【例2】如圖，在下面的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線的交點(diǎn)。已知A（－2，2），C（－1，－2），將△ABC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（2，－2） B.（－5，－3） C.（2，2） D.（3，－1）答案：D.【解析】將點(diǎn)A右移2個單位，再下移2個單位到原點(diǎn)O，如圖建立直角坐標(biāo)系，取點(diǎn)D（－1，2），則△ADC為直角三角形，且AD＝1，DC＝4，將△ADC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°到RtB△A'D'C，則A'D'＝1，CD'＝4.即將點(diǎn)C右移4個單位，然后上移1個單位，得點(diǎn)A'（3，－1）.02.已知旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角度作圖02.已知旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角度作圖例題精講例題精講【例3】如圖，四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，試確定點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)的位置以及旋轉(zhuǎn)后的四邊形?！窘馕觥咳鐖D，點(diǎn)B，C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F，G，H，四邊形EFGH是四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后得到的四邊形。03.已知旋轉(zhuǎn)前后圖形作旋轉(zhuǎn)中心03.已知旋轉(zhuǎn)前后圖形作旋轉(zhuǎn)中心例題精講例題精講【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A'B'C'由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P坐標(biāo)為.答案：（1，－1）.【解析】連AM'，CC'，分別作它們的中垂線，兩中垂線的交點(diǎn)為P（1，－1）.舉一反三舉一反三1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）.（1）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）將（1）中所得△A1B1C1先向左平移4個單位，再向上平移2個單位得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2，則點(diǎn)C2的坐標(biāo)為；（3）若△A2B2C2可以看作△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得來，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為.解：（1）如圖C1（1，1）；（2）如圖C2（－3，3）；（3）如圖，作BB2的中垂線，作CC2的中垂線，兩中垂線的交點(diǎn)為（－3，－1），即旋轉(zhuǎn)中心為（－3，－1）.模塊二.直角坐標(biāo)系中畫旋轉(zhuǎn)圖形方法技巧緊扣三要素畫圖，數(shù)形結(jié)合求坐標(biāo).01.直角坐標(biāo)系中畫旋轉(zhuǎn)圖形01.直角坐標(biāo)系中畫旋轉(zhuǎn)圖形例題精講例題精講【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，OA＝2，∠AOB＝30°，∠ABO＝45°（1）畫出△ABO繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)120°后的圖形；（2）求旋轉(zhuǎn)變換后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)；【解析】（1）如圖；（2）過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，可求AC＝OA＝1，OC＝，OB＝O'B＝＋1，因∠B'OB＝120°，故點(diǎn)B'與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，BD＝OB＝＋，OD＝BD＝＋，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（＋，＋），點(diǎn)B'坐標(biāo)為（－－，＋）.02.直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)02.直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)例題精講例題精講【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（－4，0），B（0，2），點(diǎn)P（a，a）.若∠APB＝90°，請直接寫出a的值.答案：－1或0【解析】∵AP2＝（a＋4）2＋a2，BP2＝（a－2）2＋a2，AB2＝16＋4＝20，∠APB＝90°，∴AP2＋BP2＝AB2，即2a2＋8a＋16＋2a2－4a＋4＝20，a1＝－1，a2＝0.舉一反三舉一反三1.如圖，已知直線y＝2x＋2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，將該直線繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45°，求旋轉(zhuǎn)后所得直線的解析式.解：A（－1，0），B（0，2），過點(diǎn)A作AC⊥AB交旋轉(zhuǎn)后的直線于點(diǎn)C，作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∵∠ABC＝45°，∴AB＝AC，再證△AOB≌△CDA，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴C（－3，1），由B（0，2），C（－3，1），可求旋轉(zhuǎn)后直線的解析式為y＝x＋2.2.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)M（m，0）順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C.若點(diǎn)C恰好落在坐標(biāo)軸上，則m＝.答案：2或－4解：當(dāng)m＞2時，點(diǎn)C在第一象限，不合；當(dāng)m＝2時，若點(diǎn)C在x軸上，AM⊥MC，故△AMC為等腰直角三角形，符合，∴m＝2；當(dāng)m＜2時，點(diǎn)C只可能在y軸負(fù)半軸上，此時△AM2C2為等腰直角三角形，△AM1M2≌△M2OC2，M2O＝AM1＝4，m＝－4，故m＝2或－4.模塊三.用無刻度的直尺畫旋轉(zhuǎn)圖形方法技巧格點(diǎn)多邊形繞格點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍后，各格點(diǎn)仍落在格點(diǎn)上，所以常構(gòu)造“K型”全等尋找旋轉(zhuǎn)后多邊形的頂點(diǎn)。01.確定旋轉(zhuǎn)中心或旋轉(zhuǎn)角度，再畫圖01.確定旋轉(zhuǎn)中心或旋轉(zhuǎn)角度，再畫圖例題精講例題精講【例1】如圖，在下列10×10的網(wǎng)格中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，例如A（－1，－1），B（－3，3），C（－4，1）都是格點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B1；（1）描出點(diǎn)B1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)。（2）畫出△ABC繞某格點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）后得到△A1B1C1，且A，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，C1都在圖中的格點(diǎn)上，寫旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)及n的值；（3）寫出線段BC與B1C1的關(guān)系?！窘馕觥浚?）畫圖略，B1（3，3）；（2）旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（0，0），n＝90；（3）BC⊥B1C1且BC＝B1C1.02.按題中所給步驟畫圖02.按題中所給步驟畫圖例題精講例題精講【例2】如圖，在下列10×10的網(wǎng)格中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，例如A（2，1），B（5，4），C（1，8）都是格點(diǎn)。（1）直接寫出△ABC的形狀；（2）要求在下圖中僅用無刻度的直尺作圖：將△ABC統(tǒng)點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B1，C1，操作如下：第一步：找一個格點(diǎn)D，連接AD，使∠DAB＝∠CAB；第二步：找兩個格點(diǎn)C1，E，連接C1E交AD于B1；第三步：連接AC1，則△AB1C1即為所作出的圖形；請你按步驟完成作圖，并直接寫出D，C1，E三點(diǎn)的坐標(biāo)?！窘馕觥浚?）△ABC為直角三角形；（2）D（9，0），C1（7，6），E（6，－1）.模塊四.利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)求角度方法技巧1．利用等腰求角度；2．通過旋轉(zhuǎn)“化散為聚”求角度．01.利用旋轉(zhuǎn)的位置關(guān)系求角度01.利用旋轉(zhuǎn)的位置關(guān)系求角度例題精講例題精講【例1】如圖，把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)40°，得到Rt△，點(diǎn)恰好落在邊AB上，連接，則∠＝．答案：【解析】＝AB，∠＝＝70°，∠＝90°－∠＝20°．【例2】一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點(diǎn)B，C，D在一條直線上，點(diǎn)C，F(xiàn)重合），將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按順時針方向旋轉(zhuǎn)n°后得到△（0＜n＜180），如果//AB，那么n的值為．答案：【解析】當(dāng)//AB時，∠＝∠BAC＝45°，n＝45．02.利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造02.利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等求角度例題精講例題精講【例1】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A，B和D的距離分別為1，，，求∠BPQ的度數(shù)．答案：【解析】將△APD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△；結(jié)合邊的隱含關(guān)系()＋()＝()，利用勾股定理逆定理可得到△是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°．【例2】如圖，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中點(diǎn)，連接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度數(shù)．答案：【解析】將△CDM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得△FEM，則△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，證△AEF≌△ABC，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，又MF＝MC＝AM，∴△ACF為等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，又∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．【點(diǎn)評】這一類題型具有的特點(diǎn)是：等線段、共端點(diǎn)以及特殊角．通過旋轉(zhuǎn)“使相等的邊重合，得出特殊圖形”．【例3】如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數(shù)．答案：【解析】將△APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得△ADB，連接DP，得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°，從而可證△ADP為等邊三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°，在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°，從而可得∠APB＝120°．舉一反三舉一反三1．如圖，點(diǎn)P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△．（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)之間的距離；（2）求∠APB的度數(shù)．答案：解：（1）連接，由題意可知＝AP，∠PAC＝∠，PC＝，又∵∠PAC＋∠BAP＝60°，∴∠＝60°．∴△為等邊三角形，∴＝AP＝＝6．（2）∵＋BP＝，∴△為直角三角形，且∠＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°．2．如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝113°，∠APC＝123°，求證：以AP，BP，CP為邊可以構(gòu)成一個三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)．答案：解：將△APC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得△BCP1，∴AP＝BP1，∠BP1C＝∠APC＝123°，由CP＝CP1，∠PCP1＝60°得△PCP1為等邊三角形，∴PP1＝CP，∠CPP1＝∠CP1P＝60°，這時，△BPP1就是以BP，AP，CP為三邊構(gòu)成的三角形，∠BP1P＝∠BP1C－∠CP1P＝∠APC－60°＝63°，又∠BPC＝360°－113°－123°＝124°，∴∠BPP1＝∠BPC－∠CPP1＝64°，∠PBP1＝180°－63°－64°＝53°．模塊五.利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)求線段長或面積01.利用旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)求線段長01.利用旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)求線段長例題精講例題精講【例1】如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，把△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至△ADE，AE，DC交于點(diǎn)F，當(dāng)F為CD的中點(diǎn)時，求AF的長．答案：【解析】過點(diǎn)D作DM⊥AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，DM＝AE＝4，由△DMF≌△CNF得CN＝DM＝4，在Rt△ANC中，AN＝＝，AM＝DM＝4，MN＝－4，MF＝MN＝－2，故AF＝AM＋MF＝4＋－2＝＋2．02.利用旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)求面積02.利用旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)求面積例題精講例題精講【例2】如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點(diǎn)O，求四邊形AB1OD的面積．答案：【解析】AC＝，AB1＝1，故B1C＝－1，在Rt△OB1C中，∠OCB1＝45°，故OB1＝CB1＝－1，＝OB1·B1C＝，S△ADC＝DA·DC＝，故S＝S△ADC－＝－＝＝－1．【例3】在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上一點(diǎn)，連接DP，將DP繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段DE，連接PE，點(diǎn)C關(guān)于直線PE的對稱點(diǎn)是，連接，，，若四邊形是平行四邊形，PC＝2，則平行四邊形的面積是．答案：【解析】過點(diǎn)P作PQ⊥CD于點(diǎn)Q，延長交AD于點(diǎn)G，設(shè)交DC于點(diǎn)H，則△PQD≌△DHE，∵PC＝2，∴PQ＝GD＝DH＝＝，∵點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于PE對稱，∴＝PC＝QH＝2，∴CD＝AD＝2＋2，∴＝AD·DH＝4＋2．舉一反三舉一反三1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△是由△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，連接，且點(diǎn)A，，在同一條直線上，則的長為（）A．6 B．4 C．3 D．3答案：解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝2，故AB＝4，AC＝＝2，＝AC，∠＝∠＝30°，故∠＝120°，過點(diǎn)C作CH⊥于點(diǎn)H，則HC＝AC＝，＝＝3，＝2＝6，故選A．2．如圖．在△ABC中，∠BAC＝150°，D，E為線段BC上的兩點(diǎn)，∠DAE＝60°，且AD＝AE，若DE＝3，CE＝5，則BD的長為．答案：解：將△ABC沿BA向上翻折至△BAF，連接AF，EF，F(xiàn)C，可得∠BAF＝∠BAC＝150°，∠FAC＝60°，△AFC為等邊三角形，可證△ADC≌△AEF，∠AFE＝∠ACD，可得∠FEC＝∠FAC＝60°，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，EH＝EF＝8×＝4，HC＝1，F(xiàn)H＝4，設(shè)BD＝x，則BF＝BC＝x＋8，在Rt△BFH中，BF2－BH2＝FH2即(x＋8)2－(x＋7)2＝48，x＝，故BD＝．課后鞏固課后鞏固1.如圖，點(diǎn)A（0，2），B（1，2），C（2，4）.將△ABC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1.（1）畫出點(diǎn)D的位置并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）六個點(diǎn)A，B，C，A1，B1，C1中，取三點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形的個數(shù)有___個。解：（1）D（2，1）；（2）4.2．橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，如圖，點(diǎn)A（1，3），B（2，0），C（0，1）都是格點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1（點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B1，C1）．（1）作出△AB1C1；（2）找一個格點(diǎn)D，使直線BD平分四邊形ACBB1的周長，畫出該直線并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．答案：（1）B1（4，4），C1（3，2）；（2）D（3，7）．3．如圖，在下列14×14的網(wǎng)格中，橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，例如：A（1，3），B（7，－5），C（12，5）都是格點(diǎn)．（1）直接寫出△ABC的形狀是；（2）愛思考的小明探究出一種在網(wǎng)格中通過作圖求△ABC的面積的方法：①作出AB的中點(diǎn)E；②將△ABC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)銳角，使//y軸，并且點(diǎn)也是格點(diǎn)，請畫出△，直接寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：（，），（，），（，）；③求△ABC的面積．答案：（1）等腰三角形；（2）①作圖略；②（4，4），（4，－6），（14，－1）；③50．4．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上．（1）△ABC的面積是；（2）要求在下圖中僅用無刻度的直尺作圖：將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a°得到△DEC（其中0＜a＜180），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E落在AC所在的網(wǎng)格線上，操作步驟如下：第一步：取格點(diǎn)E，使CE＝CB＝5；第二步：取格點(diǎn)F，使∠FCE＝∠ACB，且CF＝5，連接EF；第三步：在射線AC上取一點(diǎn)N，使CN＝6，另取一點(diǎn)格點(diǎn)M，MN//EF；第四步：延長CF交MN于點(diǎn)D，則△DEC為所作．請你按步驟完成作圖，并直接寫出AD的長．答案：（1）12；（2）圖略，AD＝．5．如圖，在每個小