2021年高考數(shù)學(xué)專題13-概率(原卷版)-

專題13概率易錯點(diǎn)1忽略概率加法公式的應(yīng)用前提致錯某商店日收入(單位：元)在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：日收入[1000,1500)[1500,2000)[2000,2500)[2500,3000)概率0.12ab0.14已知日收入在[1000,3000)(元)范圍內(nèi)的概率為0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范圍內(nèi)的概率.【錯解】記這個商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000)(元)范圍內(nèi)的事件分別為A,B,C,D,則日收入在[1500,3000)(元)范圍內(nèi)的事件為B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88.【錯因分析】誤用P(B+C+D)=1-P(A).事實(shí)上,本題中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A與事件B+C+D并不是對立事件.【試題解析】因?yàn)槭录嗀,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67,所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55.在應(yīng)用概率加法公式時，一定要注意其應(yīng)用的前提是涉及的事件是互斥事件.對于事件A，B，有，只有當(dāng)事件A，B互斥時，等號才成立.1．已知射手甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率為0.56，命中8環(huán)的概率為0.22，命中7環(huán)的概率為0.12．（1）求甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率；（2）求甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率.【答案】（1）甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率是0.22．（2）甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9【解析】記“甲射擊一次，命中7環(huán)以下”為事件A，則P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，“甲射擊一次，命中7環(huán)”為事件B，則P（B）＝0.12，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是互斥事件，（1）“甲射擊一次，命中不足8環(huán)”的事件為A+B，由互斥事件的概率加法公式，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．答：甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率是0.22．（2）方法1：記“甲射擊一次，命中8環(huán)”為事件C，“甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上”為事件D，則“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”的事件為B+C+D，∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．方法2：∵“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”為事件，∴1﹣0.1＝0.9．答：甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率為0.9．【名師點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地運(yùn)用對立事件的概率的求法．易錯點(diǎn)2混淆“等可能”與“非等可能”從5名男生和3名女生中任選1人去參加演講比賽,求選中女生的概率.【錯解】從8人中選出1人的結(jié)果有“男生”“女生”兩種,則選中女生的概率為12【錯因分析】因?yàn)槟猩藬?shù)多于女生人數(shù),所以選中男生的機(jī)會大于選中女生的機(jī)會,它們不是等可能的.【試題解析】選出1人的所有可能的結(jié)果有8種,即共有8個基本事件,其中選中女生的基本事件有3個,故選中女生的概率為38利用古典概型的概率公式求解時，注意需滿足兩個條件：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）試驗(yàn)的每個基本事件是等可能發(fā)生的.2．2019年中國北京世界園藝博覽會于4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉辦．如果小明從中國館、國際館、植物館、生活體驗(yàn)館四個展館中隨機(jī)選擇一個進(jìn)行參觀，那么他選擇的展館恰為中國館的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】可能出現(xiàn)的選擇有種，滿足條件要求的種數(shù)為種，則，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型完成隨機(jī)事件的概率的求解，難度較易.古典概型的概率計算公式：（目標(biāo)事件的數(shù)量）（基本事件的總數(shù)）.錯點(diǎn)3幾何概型中測度的選取不正確在等腰直角三角形ABC中,直角頂點(diǎn)為C．（1）在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM<AC的概率;（2）在∠ACB的內(nèi)部,以C為端點(diǎn)任作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求AM<AC的概率.【錯解】（1）如圖所示,在AB上取一點(diǎn)C',使AC'=AC,連接CC'.由題意,知AB=2AC．由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的,所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上,因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB．所以.（2）在∠ACB的內(nèi)部作射線，則所求概率為.【錯因分析】第（2）問的解析中錯誤的原因在于選擇的觀察角度不正確，因?yàn)樵凇螦CB的內(nèi)部作射線是均勻分布的，所以射線作在任何位置都是等可能的，則涉及的測度應(yīng)該是角度而不是長度.【試題解析】（1）如圖所示,在AB上取一點(diǎn)C',使AC'=AC,連接CC'.由題意,知AB=2AC．由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的,所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上,因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB．所以.（2）由于在∠ACB內(nèi)作射線CM,等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示),因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是∠ACB,又，，所以.對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式．(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標(biāo)軸上即可；(2)若一個隨機(jī)事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個隨機(jī)事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型．3．如圖，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，若在直角梯形中投擲一點(diǎn)，則以，，2為三邊構(gòu)成的三角形為鈍角三角形的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，，故為三角形的最長邊長，以，，2為三邊構(gòu)成的三角形為鈍角三角形，，即以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，，故選C.(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)；(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．易錯點(diǎn)4錯解隨機(jī)變量的取值概率而致錯從4名男生和2名女生中任意選擇3人參加比賽，設(shè)被選中的女生的人數(shù)為．（1）求的分布列；（2）求所選女生的人數(shù)至多為1的概率．【錯解】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2，且，，，所以的分布列為012（2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機(jī)變量的取值為，其概率為．【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是對隨機(jī)變量的取值概率求解錯誤，事實(shí)上隨機(jī)變量服從參數(shù)為，，的超幾何分布．【試題解析】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2，且，，，所以的分布列為012（2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機(jī)變量的取值為，其概率為．4．某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每件一等品都能通過檢測，每件二等品通過檢測的概率為．現(xiàn)有件產(chǎn)品，其中件是一等品，件是二等品．（1）隨機(jī)選取件產(chǎn)品，設(shè)至少有一件通過檢測為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）隨機(jī)選取件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析．【解析】（1）由題可得，所以隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測的概率為．（2）由題可知的所有可能取值為．，，，．則隨機(jī)變量的分布列為0123易錯點(diǎn)5對超幾何分布的概念理解不透徹而致錯盒中裝有12個零件，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，若取出的是次品不再放回，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列．【錯解】由題意可知，服從超幾何分布，其中，，，所以在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列為，所以已取出次品數(shù)的分布列為0123【錯因分析】錯解中未理解超幾何分布的概念．本題是不放回抽樣，“”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“”表示“前兩次都取到次品，第三次取到正品”，屬于排列問題．而超幾何分布是一次性抽取若干件產(chǎn)品，屬于組合問題．【試題解析】由題易得的可能取值為0，1，2，3．，，，，所以已取出次品數(shù)的分布列為0123求隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是熟練掌握排列、組合知識，求出隨機(jī)變量每個取值的概率，注意概率的取值范圍（非負(fù)），在由概率之和為1求參數(shù)問題中要把求出的參數(shù)代回分布列進(jìn)行檢驗(yàn)．5．某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié)，在同一時間安排《生活趣味數(shù)學(xué)》和《校園舞蹈賞析》兩場講座.已知A、B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué)，每位同學(xué)在兩場講座任意選聽一場.若A組1人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余4人選聽《校園舞蹈賞析》；B組2人選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》，其余3人選聽《校園舞蹈賞析》.（1）若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率；（2）若從A、B兩組中各任選2人，設(shè)為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學(xué)》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件，則，答：選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為.（2）可能的取值為，，，，故.所以的分布列為：X0123所以的數(shù)學(xué)期望為：.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.（1）利用相互獨(dú)立事件與古典概率計算公式即可得出；（2）X可能的取值為，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計算公式即可得出概率、分布列與數(shù)學(xué)期望.掌握離散型隨機(jī)變量的分布列，須注意：（1）分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率．看每一列，實(shí)際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．每完成一列，就相當(dāng)于求一個隨機(jī)事件發(fā)生的概率．（2）要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的分布列的正誤．易錯點(diǎn)6混淆互斥事件與相互獨(dú)立事件而致錯甲投籃命中率為，乙投籃命中率為，每人投3次，兩人都恰好投中2次的概率是多少？【錯解】設(shè)“甲恰好投中2次”為事件，“乙恰好投中2次”為事件，則“兩人都恰好投中2次”為事件，所以．【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是把相互獨(dú)立事件同時發(fā)生當(dāng)成互斥事件來考慮，將“兩人都恰好投中2次”理解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和．【試題解析】設(shè)“甲恰好投中2次”為事件，“乙恰好投中2次”為事件，且，相互獨(dú)立，則“兩人都恰好投中2次”為事件，所以．1．運(yùn)用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時，公式才成立．2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等．注意恰好與至多(少)的關(guān)系，靈活運(yùn)用對立事件．6．甲射擊時命中目標(biāo)的概率為，乙射擊時命中目標(biāo)的概率為，則甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，則該目標(biāo)被擊中的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】記事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，該目標(biāo)被擊中，則事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，兩人都未擊中目標(biāo)，由獨(dú)立事件的概率乘法公式得，，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關(guān)系，可以采用分類討論，本題采用對立事件求解，可簡化分類討論，屬于中等題.一、隨機(jī)事件與概率1.事件關(guān)系的判斷方法對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系．2．基本事件個數(shù)的計算方法(1)列舉法；(2)列表法；(3)利用樹狀圖列舉.3.求互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計算．(2)間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法往往會較簡便.二、古典概型1.求古典概型的基本步驟(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出P(A)．2．基本事件個數(shù)的確定方法(1)列舉法：此法適用于基本事件較少的古典概型．(2)列表法：此法適用于從多個元素中選定兩個元素的試驗(yàn)，也可看成是坐標(biāo)法．3．求與古典概型有關(guān)的交匯問題的方法解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算.三、幾何概型1.求解與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)．然后求解，要特別注意“長度型”與“角度型”的不同．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度、角度)．2．求解與體積有關(guān)的幾何概型的方法對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求．3．求解與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．四、離散型隨機(jī)變量分布列的常見類型及解題策略(1)與排列組合有關(guān)分布列的求法．可由排列組合、概率知識求出概率，再求出分布列．(2)與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計概率，再求出分布列．(3)與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．(4)與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個概率，再列出分布列．(5)超幾何分布的特點(diǎn)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．五、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1.條件概率的兩種解法(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A).，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).2．求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算．3．古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)＝是一種重要的求條件概率的方法．4．相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．5．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次可看作是個互斥事件的和，其中每一個事件都可看作是k個A事件與n－k個事件同時發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.1．（2019年高考浙江卷）設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時，A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大2．（2018年全國卷II理）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B．C． D．3．一個盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.754．在一項(xiàng)自“一帶一路”沿線20國青年參與的評選中“高鐵”、“支付寶”、“共享單車”和“網(wǎng)購”被稱作中國“新四大發(fā)明”，曾以古代“四大發(fā)明”推動世界進(jìn)步的中國，正再次以科技創(chuàng)新向世界展示自己的發(fā)展理念．某班假期分為四個社會實(shí)踐活動小組，分別對“新四大發(fā)明”對人們生活的影響進(jìn)行調(diào)查．于開學(xué)進(jìn)行交流報告,四個小組隨機(jī)排序，則“支付寶”小組和“網(wǎng)購”小組不相鄰的概率為A． B． C． D．5．袋中有形狀、大小都相同且編號分別為1，2，3，4，5的5個球，其中1個白球，2個紅球，2個黃球．從中一次隨機(jī)取出2個球，則這2個球顏色不同的概率為A． B． C． D．6．在某項(xiàng)測試中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若，則A． B．C． D．7．已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965據(jù)此估計，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率為A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.408．傳說戰(zhàn)國時期,齊王與田忌各有上等,中等,下等三匹馬,且同等級的馬中,齊王的馬比田忌的馬強(qiáng),但田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng).有一天,齊王要與田忌賽馬,雙方約定:比賽三局,每局各出一匹馬,每匹馬賽一次,贏得兩局者為勝.如果齊王將馬按上,中,下等馬的順序出陣,而田忌的馬隨機(jī)出陣比賽,則田忌獲勝的概率是A．12 B．1C．16 D．9．有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為圓柱下底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于l的概率為A． B．C． D．10．某學(xué)生用隨機(jī)模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發(fā)現(xiàn)有粒芝麻落入圓內(nèi)，則該學(xué)生得到圓周率的近似值為A． B． C． D．11．運(yùn)行如圖所示的程序框圖,設(shè)輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為A,從集合A中任取一個元素a,則函數(shù)y=A．37 B．4C．35 D．12．設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是A． B．1﹣ C． D．13．（2018新課標(biāo)I卷理）下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p314．（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是______________．15．（2018上海卷）有編號互不相同的五個砝碼，其中克、克、克砝碼各一個，克砝碼兩個，從中隨機(jī)選取三個，則這三個砝碼的總質(zhì)量為克的概率是_____．16．已知向量若，則向量的概率為_______.17．（1）一個盒子中有6個白球、4個黑球，每次從中不放回地任取1個，連取兩次，求在第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率為____________；（2）有一批種子的發(fā)芽率為，出芽后的幼苗成活率為，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，這粒種子能成長為幼苗的概率為____________．18．設(shè)集合,,從集合中任取一個元素,則這個元素也是集合中元素的概率是__________．19．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X123P11a則a=

；E(X)=

．20．（2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率．21．（2019年高考天津卷理數(shù)）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．22．（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．23．據(jù)統(tǒng)計，僅在北京地區(qū)每天就有500萬單快遞等待派送，近5萬多名快遞員奔跑在一線，快遞網(wǎng)點(diǎn)人員流動性也較強(qiáng)，各快遞公司需要經(jīng)常招聘快遞員，保證業(yè)務(wù)的正常開展．下面是50天內(nèi)甲、乙兩家快遞公司的“快遞員”的每天送貨單數(shù)統(tǒng)計表：送貨單數(shù)30405060天數(shù)甲10102010乙515255已知這兩家快遞公司的“快遞員”的日工資方案分別為：甲公司規(guī)定底薪元，每單抽成元；乙公司規(guī)定底薪元，每日前單無抽成，超過單的部分每單抽成元．（1）分別求甲、乙快遞公司的“快遞員”的日工資（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若將頻率視為概率，回答下列