B函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（文科）（高考真題+模擬新題）

B函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

Bl函數(shù)及其表示

|x2—1|

14.Bl[2012?天津卷]已知函數(shù)、=七」的圖象與函數(shù)歹=Ax的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

|x2-II[-(x+1),-

14.(0,l)U(l,2)[解析]y=—…1在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y

x-1[x+I,x<-1或x>l,

|x2-11

=kx與y=-----J的圖象如圖，

x-1

結(jié)合圖象當(dāng)直線了=履斜率從。增到1時(shí)，與y=在x軸下方的圖象有兩公共點(diǎn);

當(dāng)斜率從1增到2時(shí)，與卜=k?的圖象在x軸上、下方各有一個(gè)公共點(diǎn).

X-1

■\[x,x>0,

11.81[2012?陜西卷]設(shè)函數(shù)式貝力順一4))=________.

(力x<0,

11.4[解析]由題目所給的是一分段函數(shù)，而.4-4)=16,所以<16)=4,故答案為

4.

3.Bl[2012?山東卷]函數(shù)於尸^^短+小一」的定義域?yàn)?)

A.[-2,0)U(0,2]B.(-l,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

3.B[解析]本題考查函數(shù)的定義域，考查運(yùn)算能力，容易題.

'x+1>0,

要使函數(shù)/(x)=1(7+1)+、4-4有意義，須有<ln(x+l)W0,解之得-l〈xW2且x#0.

f+i,xWl,

3.Bl[2012?江西卷]設(shè)函數(shù)於)=(2則煩3))=()

一，x>\,

1X

A.gB.3C.1D.￡

2,2、13

3.D[解析]小)=§,加3))=團(tuán)2+1=勺，故選D.

5.Bl[2012?江蘇卷]函數(shù)段)=41-2log6r的定義域?yàn)?

5.(0,y[6][解析]本題考查函數(shù)定義域的求解.解題突破口為尋找使函數(shù)解析式有

fx>0,L

意義的限制條件.由,、八解得0<xW%.

ll-21ogfrr^0,

11.Bl［2012?廣東卷］函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

x+1>O,

11.盤k》一1且工￥0｝［解析］本題考查函數(shù)的定義域，函數(shù)有意義，滿足:

xWO.

解得{x|x》-1且xWO}.

1,x>0,

_jl,x為有理數(shù),

9.Bl[2012?福建卷]設(shè)義x)=<0,x=0,**)=［(),x為無理數(shù),則施(兀))的值為

「I,x<0,

A.1B.0C.-1D.兀

9.B［解析］解題的關(guān)鍵是求分段函數(shù)的值時(shí)，一定要認(rèn)真分析自變量所在的區(qū)間，

因?yàn)楦鞫紊锨敖馕鍪绞遣幌嗤?,二元是無理數(shù)，:.g(兀)=0,細(xì)(兀))=*0)=0,所以選擇B.

13.Bl［2012?四川卷］函數(shù)人%)=d1I2-的定義域是一.(用區(qū)間表示)

3-2xW0,

13.1一［解析］由解得

8,3.1-2x20,

即函數(shù)火X)的定義域?yàn)?-8,￡).

B2反函數(shù)

2.B2［2012?全國卷］函數(shù)不(X2一1)的反函數(shù)為()

A.y—x2—\(x^O)

B.—

C.y=f+l(x》O)

D.y=f+l(x》l)

2.A［解析］本小題主要考查求反函數(shù)的方法.解題的突破口為原函數(shù)與反函數(shù)定義

域與值域的關(guān)系和反解x的表達(dá)式.

由y=y/x+1得y2=x+1,即》=爐-1,交換x和夕得y=J?-1,又原函數(shù)的值域?yàn)閥20,

所以反函數(shù)的定義域?yàn)閤20,故選A.

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值

16.B3［2012?課標(biāo)全國卷］設(shè)函數(shù)加"?J+1_'的最大值為M,最小值為加，則M

+m=.

16.［答案］2

e、,~(x+I)2+sinx2x+sinx.2x+sinx,

［解析］因?yàn)?%)=再=j=1+2+］，令g(x)=-27lS則/(')=%)+1?由

JI人JI人x

_2x—sinx

g(-x)=—亍/—=-g(x)及函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽,得函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，故g(x)max與

+

g(x)min互為相反數(shù).故g(x)maxg(x)min=0.易知M=g(x)max+1，，"=g(x)min+1,所以M+"7

=g(X)max+1+g(X)min+1=0+2=2.

13.B3［2012?安徽卷］若函數(shù)/(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+~),則“=________.

13.-6［解析］容易作出函數(shù).火對的圖像(圖略)，可知函數(shù);(X)在［-8,上單調(diào)遞

減,在［胃+8)單調(diào)遞增.又已知函數(shù)網(wǎng)的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+8),所以埒=3,

解得a=-6.

12.B2、D2［2012?四川卷］設(shè)函數(shù)段)=(、-3)3+工-1,｛劣｝是公差不為0的等差數(shù)列，

/(al)+/(^?2)^--------1-/(。7)=14,則<2］+a2H------H<27=()

A.0B.7C.14D.21

12.D［解析］記公差為d,

則加1)+加2)+…+/3)

=(0-3)3+(。2-3/+,,,+(。7-3)3+(O1+。2+"?+。7)-7

33

=(“4-3d-3)3+(。4-2d-3)3+…+伍4+2d-3)+{aA+3J-3)+1a「7

=7(a4-3/+7X3Q-3)+7a4-7.

由已知，7m4-3)3+7X3(44-3)+704-7=14,

即7(如-3)3+7X3(6Z4-3)+7(614-3)=0,

??.(44-3)3+43-3)=0.

因?yàn)?/(x)=x3+4x在R上為增函數(shù)，且膽)=0,

故-3=0,即4=3,

「?4］++…+即=7久=7X3=21.

2.B3、B4［2012?陜西卷］下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.y=x+lB.y=—xi

C-y=5D.y=x|x|

2.D［解析］本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解題的突破口為單調(diào)性的定義、

奇偶性的定義與函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系.若函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，其圖像為從左向右依次上升；

若函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.經(jīng)分析，A選項(xiàng)函數(shù)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是

奇函數(shù)，排除；B選項(xiàng)函數(shù)的圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；C選項(xiàng)函數(shù)的

圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；故選D.其實(shí)對于選項(xiàng)D,我們也可利用x>0、

x=0、x〈0討論其解析式，然后畫出圖像，經(jīng)判斷符合要求，故選D.

8.B3、B10［2012?北京卷］某棵果樹前"年的總產(chǎn)量S“與〃之間的關(guān)系如圖1—6所示.從

目前記錄的結(jié)果看，前加年的年平均產(chǎn)量最高，加的值為()

15”

d12345678910'llW

圖1—6

A.5B.7

C.9D.11

8.C［解析］本題考查利用函數(shù)圖像識別函數(shù)值的變化趨勢，也就是函數(shù)增減速度的

快慢.

法一：因?yàn)殡S著〃的增大，S“在增大，要使中取得最大值，只要讓隨著n的增大S?.,

-S,的值超過汽戶(平均變化)的加入即可，的值不超過壬戶(平均變化)的舍

去，由圖像可知，6,7,8,9這幾年的改變量較大，所以應(yīng)該加入，到第10,11年的時(shí)候，改變

量明顯變小，所以不應(yīng)該加入，故答案為C.

法二：假設(shè)當(dāng)是學(xué)取的最大值，所以只要小至哈即可，也就是邑即可

mnm777+1W-0(w+1)-0

以看作點(diǎn)Qm(m,S,“)與。(0,0)連線的斜率大于點(diǎn)&+G+LSKI)與。(0,0)連線的斜率，所

以觀察可知到第09(9)SQ與0(0,0)連線的斜率開始大于點(diǎn)0io(lO,90)與0(0,0)連線的斜

率.答案為C.

14.A2、A3、B3、E3［2012?北京卷］已知J(x)=m(x-2m)(x+m^3),g(x)=2'一2,若

Vx￡R,,/(x)<0或g(x)<0,則朋的取值范圍是.

14.(-4,0)［解析］本題考查函數(shù)圖像與性質(zhì)、不等式求解、邏輯、二次函數(shù)與指數(shù)

函數(shù)等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想、分析問題和解決問題以及綜合運(yùn)用

知識的能力.

由已知g(x)=2"-2v0,可得要使X/x€R,，(x)vO或g(x)〈O,必須使時(shí)，加)

=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立，

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，義工)=m(x-2m)(x+加+3)=0不滿足條件，所以二次函數(shù)人工)必須開口向下，

[2/?<1)

也就是m<0,要滿足條件,必須使方程兀。=0的兩根2m,-m-3都小于1,即|

[-m-3<1,

可得“7￡(-4,0).

20.B3、D4、M4[2012?北京卷]設(shè)Z是如下形式的2行3列的數(shù)表，

abc

def

滿足性質(zhì)P：a,h,c,d,e,且a+6+c+d+e十片0.

記KA)為A的第i行各數(shù)之和(i=1,2),以4)為A的第7列各數(shù)之和(/=1,2,3)；

記處)為，i(4)|,，2(Z)|,\Cl(A)\,心⑷6(4)1中的最小值.

(1)對如下數(shù)表4求9)的值;

11-0.8

0.1一0.3-1

(2)設(shè)數(shù)表4形如

11-1-2J

d(/-1

其中一IWdWO,求任/)的最大值；

(3)對所有滿足性質(zhì)尸的2行3列的數(shù)表4求網(wǎng)⑷的最大值.

20.解：(1)因?yàn)?(4)=1.2,r2(A)=-1.2,ci(A)=l.1,c2(^)=0.7,c3(A)=-1.8,

所以A(Z)=0.7.

(2)n(N)=1-2d、r2(A)=-1+2d,

Ci(A)=C2(A)=\+d,C3(A)=-2-2d.

因?yàn)?IWdWO,

所以上(")|=|吆/)|21+d20,

|c3(J)|>l+d>0.

所以乩0=1+dWl.當(dāng)d=0時(shí)，網(wǎng)力)取得最大值1.

(3)任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表如下所示).

ahc

def

任意改變Z的行次序或列次序，或把/中的每個(gè)數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表,仍滿

足性質(zhì)P并且網(wǎng)/)="(/).

因此,不妨設(shè)八(4)20,Ci(A)^O,C2(/)20.

由人/)的定義知，

/c(A)^rt(A),/c(A)^ct(A),Jc(A)^e2(A).

從而3H4)W「i(4)+ci(A)+C2(A)

=(a+b+c)+(a+cf)+(b+e)

=(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f)

=a+b_/^3.

所以乩OWL

由(2)知，存在滿足性質(zhì)。的數(shù)表力使網(wǎng)/)=1.

故氏(/)的最大值為1.

6.B3、B4[2012?天津卷]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()

A.y=cos2x,x￡R

B.y=log2|x|,x￡R且xWO

C.尸

2

D.j^=x3+1,xGR

6.B［解析］法一：由偶函數(shù)的定義可排除C、D,又?.>=cos2r為偶函數(shù)，但在(1,2)

內(nèi)不單調(diào)遞增，故選B.

法二：由偶函數(shù)定義知y=log2|x|為偶函數(shù)，以2為底的對數(shù)函數(shù)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.

3rTt~\

22.B3、B9、B12［2012?福建卷］已知函數(shù)y(x)=arsinr一/GR),且在［0,上的最大

值為寧.

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)判斷函數(shù)加)在(0,兀)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

22.解：(1)由已知/(x)=a(sinx+xcosx),

對于任意xC(O,5有sinx+xcosx>0.

3

當(dāng)。=0時(shí)，y(x)=-1，不合題意；

當(dāng)a<0,x￡(0,時(shí)，/(x)<0,從而/(X)在(0,3內(nèi)單調(diào)遞減，

又加)在［o,外上的圖象是連續(xù)不斷的，故,危)在［。，同上的最大值為大0)=-|,不合

題意；

當(dāng)a〉0,x6(0,酮，/(x)>0,從而次x)在(0,號內(nèi)單調(diào)遞增，又火x)在［。，雪上的

圖象是連續(xù)不斷的，故")在［。，］上的最大值為啟)，即+《=三，

解得Q=1.

3

綜上所述，得人工)=4舊-3

(2貿(mào)工)在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

證明如下：

33

由⑴知，於)=解加-5，從而有<0)=-5<o.

人/儲力兀亍一>3°，

又外)在［o,當(dāng)上的圖象是連續(xù)不斷的.

0,引上單調(diào)遞增,內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)xC可時(shí)，令g(x)=f(x)=sinx+xcosx.

由4D=1>0，g(H)=-兀<0,且g(x)在［與兀上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m€

仁，兀)，使得g(⑼=0.

由g'W=2cosx-xsinx,知x￡(宗兀)時(shí)，有g(shù)'(x)<0,

從而g(x)在e，兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)xfg",時(shí)，g(x)>g(m)=0,即/(x)>0,從而/(x)在(與“J內(nèi)單調(diào)遞增,

故當(dāng)x￡去m時(shí)，<尤)>啟)=￥3>0,

Tl

故y(x)在2>m上無零點(diǎn)；

當(dāng)xE(〃?，兀)時(shí)，有g(shù)(x)<g(m)=0,即，(x)<0,從而危)在O，兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

又./(⑼>0,y(兀)<o，且小)在［，〃，用上的圖象是連續(xù)不.斷的，從而.危)在(團(tuán)，兀)內(nèi)有且

僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，兀0在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

8.B3、B10［2012?北京卷］某棵果樹前”年的總產(chǎn)量S,與〃之間的關(guān)系如圖1—6所示.從

目前記錄的結(jié)果看，前〃，年的年平均產(chǎn)量最高，〃，的值為()

Sn

01I2345678910,11n

圖1—6

A.5B.7

C.9D.11

8.C［解析］本題考查利用函數(shù)圖像識別函數(shù)值的變化趨勢，也就是函數(shù)增減速度的

快慢.

法一：因?yàn)殡S著〃的增大，S,在增大，要使手取得最大值，只要讓隨著〃的增大S1T

-s?的值超過之年5(平均變化)的加入即可，S.T-S,的值不超過汽戶(平均變化)的舍

去，由圖像可知，6,7,8,9這幾年的改變量較大，所以應(yīng)該加入，到第10,11年的時(shí)候，改變

量明顯變小，所以不應(yīng)該加入，故答案為C.

法二：假設(shè)港鄉(xiāng)取的最大值，所以只要要>苴哈即可，也就是怨忌；，即可

mm+1m-0(777+1)-0

以看作點(diǎn)S,”)與0(0,0)連線的斜率大于點(diǎn)。,”.|(機(jī)+1,S?.i)與。(0,0)連線的斜率，所

以觀察可知到第09(9,S9)與。(0,0)連線的斜率開始大于點(diǎn)010(10,Sio)與0(0,0)連線的斜

率.答案為C.

16.B3、B4［2012?浙江卷］設(shè)函數(shù)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)xG［0,l］

時(shí)，y(x)=x+i,則.

3

16.［答案］

［解析］本題考查了函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查了學(xué)生的觀察、變通能力，屬于較易

題.

函數(shù)兀v)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)xC［0,1］時(shí)，/(x)=x+1,那么眉=

X-D=X2-D=XZ)=2-

B4函數(shù)的奇偶性與周期性

12.B4［2012?重慶卷］若大x)=(x+q)(x-4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

12.4［解析］因?yàn)?)=/+(a-4)x-4a,所以根據(jù)於)為偶函數(shù)得a)-x),即f

+(a-4)x-=x2+(4-a)x-4a,所以a-4=4-&,解得a=4.

9.B4［2012?上海卷］已知y=/(x)是奇函數(shù)，若g(x)=/(x)+2且g(l)=l,則g(—1)=

9.3［解析］考查函數(shù)的奇偶性和轉(zhuǎn)化思想，解此題的關(guān)就是利用y=/(x)為奇函數(shù).

已知函數(shù)y=*x)為奇函數(shù)，由已知得g(l)=/(l)+2=1,-1,

則--1)=-/1)=1)所以虱-1)=/(_1)+2=1+2=3.

4.B4［2012?廣東卷］下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=x^

C.y=exD.y=\ir\lx2+\

4.D［解析］根據(jù)奇偶性的定義知A、B都為奇函數(shù)，C非奇非偶函數(shù)，D是偶函數(shù)，

所以選擇D.

6.B3、B4［2012?天津卷］下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()

A.y=cos2x,x￡R

B.y=log2kI，且xWO

C.~e,xeR

D.y=j?+l,xGR

6.B［解析］法一：由偶函數(shù)的定義可排除C、D,又..J=cos2t為偶函數(shù)，但在(1,2)

內(nèi)不單調(diào)遞增，故選B.

法二：由偶函數(shù)定義知y=log2|x|為偶函數(shù)，以2為底的對數(shù)函數(shù)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.

2.B3、B4［2012?陜西卷］下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.y=x+lB.y=—x3

C.尸土D.y^x\x\

2.D［解析］本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解題的突破口為單調(diào)性的定義、

奇偶性的定義與函數(shù)圖像的對應(yīng)關(guān)系.若函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，其圖像為從左向右依次上升；

若函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.經(jīng)分析，A選項(xiàng)函數(shù)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是

奇函數(shù)，排除；B選項(xiàng)函數(shù)的圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；C選項(xiàng)函數(shù)的

圖像從左向右依次下降，為單調(diào)減函數(shù)，排除；故選D.其實(shí)對于選項(xiàng)D,我們也可利用x>0、

x=O、x<0討論其解析式，然后畫出圖像，經(jīng)判斷符合要求，故選D.

16.B3、B4［2012?浙江卷］設(shè)函數(shù)兀0是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x￡［O,l］

時(shí),/(x)=x+l,則0=.

3

16.［答案］1

［解析］本題考查了函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查了學(xué)生的觀察、變通能力，屬于較易

題.

函數(shù)段)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)x￡［O,l］時(shí)，〃)=x+l,那么婚=

X-2)=X2-D=Xl)=i

B5二次函數(shù)

12.B5［2012?山東卷］設(shè)函數(shù)大x)=%g(x)=-x2+bx.若的圖象與y=g(x)的圖象

有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)%)，8(X2,%)，則下列判斷正確的是()

A.修+工2>°，為+次>。

B.修+工2>0,y+y2Vo

C.Xj+x2<0,為+”>。

D.X|+x2<0,為+y2Vo

12.B［解析］本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查推理論證能力，偏難.

當(dāng)y=危)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，其圖象為

作出點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)C,則C(-X1，-乃)，由圖象知-為42，-%?2,故X1+

X2>0,y\+y2<0,故選B.

6.B5、B6［2012?上海卷］方程4'-2"|—3=0的解是.

6.log,3［解析］考查指數(shù)方程和二次方程的求解，以及函數(shù)與方程的思想和轉(zhuǎn)化思想,

關(guān)鍵是把指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為二次方程求解.

把原方程轉(zhuǎn)化為(2*)2-22-3=0,化為⑵-3)(2*+1)=0,

所以2、=3,或2*=-1(舍去)，兩邊取對數(shù)解得x=log23.

B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

15.B6、B8［2012?山東卷］若函數(shù)次》)=儲(。>0,破勺)在［-1,2］上的最大值為4,最小

值為m，且函數(shù)g(x)=(l—在［0,+8)上是增函數(shù)，貝I」“=________.

15.1［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)與嘉函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想及推理論證能

力，中檔題._

：g(x)=(l-4機(jī)班在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1

.,?吟

當(dāng)”>1時(shí)，段)的最大值為/=4,即4=2,OT=2'=與相矛盾，舍去；

當(dāng)時(shí)，義x)的最大值為a"=4,即5=(；〉』成立.

4.B6、B7［2012?天津卷］已知〃=2"，從；)。*,c=2iog52,則a,b,c的大小關(guān)系為

()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c〈a

4.A［解析］???a=2L2>2,l=g)S=(})°W，T=2,c=21og52=log54<l,

?二c<b<a.

6.B5、B6［2012?上海卷］方程4'-2"|-3=0的解是.

6.log23［解析］考查指數(shù)方程和二次方程的求解，以及函數(shù)與方程的思想和轉(zhuǎn)化思想,

關(guān)鍵是把指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為二次方程求解.

把原方程轉(zhuǎn)化為⑵>-2-2'-3=0,化為⑵-3)(2'+1)=0,

所以2、=3,或2、=-1(舍去)，兩邊取對數(shù)解得x=log23.

11.B6、B7［2012?課標(biāo)全國卷］當(dāng)0<xW；時(shí)，4yo&戶，則。的取值范圍是()

A.(0,啕B.停1)

C.(1,y［2］D.(V2,2)

11.B［解析］當(dāng)<7>1時(shí)，因?yàn)?<xW；,所以lo&x<0.不滿足4yog?x,故舍去；當(dāng)0<。<1

時(shí)，因?yàn)镺VxW^,數(shù)形結(jié)合易得，需滿足4310&3，得2<唾盤，則斗解得Q坐或

-坐結(jié)合前提條件得當(dāng)31.綜上，六停1).故選B.

5.B6、B8、B9［2012?北京卷］9的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

A.0B.1

C.2D.3

5.B［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)和早函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

Tg(x)=e>，

2=o,可得所以函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)就是函數(shù)〃&)與g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，所以函數(shù)次外的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為1.答案為B.

7.El、B6、B7［2012?湖南卷］設(shè)a>b>l,c<0,給出下列三個(gè)結(jié)論：

@^>1；②/</；?log*(a—c)>loga(Z>—c).

其中所有的正確結(jié)論的序號是()

A.①B.①②

C.②③D.①②③

7.D［解析］本題考查不等式性質(zhì)、指數(shù)式和對數(shù)式的大小比較，意在考查考生對不

等式性質(zhì)、型函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用能力；解題思路：轉(zhuǎn)化為嘉函數(shù)比較大小，利用

換底公式比較對數(shù)式的大小.由不等式的基本性質(zhì)可知①對；嘉函數(shù)y=x，(cvO)在(0,+8)

上單調(diào)遞減，又<7>6>1,所以②對；由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log6(4-c)>log從b-c),又

由對數(shù)的換底公式可知log/,(6-c)>loga(Z>-c),所以log從a-c)>log“(b-c),故選項(xiàng)D正

確.

［易錯(cuò)點(diǎn)］本題易錯(cuò)一：不等式基本性質(zhì)不了解，以為①錯(cuò)；易錯(cuò)二：指數(shù)式大小比較,

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，容易出錯(cuò)：易錯(cuò)三：對換底公式不了解，無法比較，錯(cuò)以為③錯(cuò).

10.Al、E3、B6［2012?重慶卷］設(shè)函數(shù)4r)=f-4x+3,g(x)=3A-2,集合M={xe

R|/(g(x))>0|，則2=^^W蛉)<2},則〃。%為()

A.(1,+°°)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(一8,1)

10.D［解析］因?yàn)?/(g(x))=［g(x)］2-4g(x)+3,所以解關(guān)于g(x)不等式［g(x)f-4g(x)+3

>0,得g(x)<l或g(x)>3,即3*-2<1或3*-2>3,解得x<1或》>1。段5,所以迷=(-

°0,l)U(log35,+8),又由g(x)<2,即3*-2<2,3*<4,解得x<log34,所以N=(-8,

log34),&MCN=(-8,1),選D.

B7對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

7.B7［2012?重慶卷］已知a=log23+log2小,b—log29—log2V3?c=log32>則a,b,c

的大小關(guān)系是（）

A.a=b<cB.a=b>c

C.a<b<cD.d>b>c

o

7.B［解析］因?yàn)椋?log235>1,6=bg2萬=log235>1,又=0=log3l<log32<log33

=1,?".a=b〉c,選B.

11.B7[2012?全國卷]已知x=lrm,y=log52,z=e—?jiǎng)t()

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

11.D[解析]本小題主要考查對數(shù)與指數(shù)的大小比較，解題的突破口為尋找中間量作

比較.

<z<x

x=lnit>lne=1,0<log52<Iog42=b取苗=；,1=e0>e-g-"-y>故選D.

12.B7［2012?北京卷］已知函數(shù)兒:)=1耿，若幾力)=1,貝力火/)+加2)=.

12.2［解析］本題考查函數(shù)解析式與對數(shù)運(yùn)算性質(zhì).因?yàn)樘幦?=lg(a析=1,所以知左)

+犬戶)=］g/+lg/>2=他(")2=2\g(ab)=2.

3.B7［2012?安徽卷］(Iog29>(log34)=()

A-4B2

C.2D.4

3.D［解析］(解法一)由換底公式，得(1哂9)-(晦4)=瞿瞿=猾?猾=4.

22

(解法二乂bg29>(log34)=(log23).(log32)=2(log23)'2(log32)=4.

B6、87［2012?天津卷］已知a=2「2,/)|r0-8,c=21og2,則a,b,c的大小關(guān)系為

4.(1)5

)

A.c〈b<aB.c<a〈b

C.b<a<cD.b<.c<a

A［解析］,.,a=2L2>2,li=2,c=21og2=log4<l,

4.=0°幼?嗯55

「?c<h<a.

7.El、B6、B7[2012?湖南卷]設(shè)a>b>l,c<0,給出下列三個(gè)結(jié)論：

余②/<加；(3)log/,(a—c)>loga(6—c).

其中所有的正確結(jié)論的序號是()

A.①B.①②

C.②③D.①②③

7.D[解析]本題考查不等式性質(zhì)、指數(shù)式和對數(shù)式的大小比較，意在考查考生對不

等式性質(zhì)、寡函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用能力；解題思路：轉(zhuǎn)化為嘉函數(shù)比較大小，利用

換底公式比較對數(shù)式的大小.由不等式的基本性質(zhì)可知①對；嘉函數(shù)>=/匕<0)在(0,+8)

上單調(diào)遞減，又。>6>1,所以②對；由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log/Xa-cOAlogAb-c),又

由對數(shù)的換底公式可知k?g/1(b-c)>loga(Z>-c),所以log/>(a-c)>k>g〃S-c),故選項(xiàng)D正

確

[易錯(cuò)點(diǎn)]本題易錯(cuò)不等式基本性質(zhì)不了解，以為①錯(cuò)；易錯(cuò)二：指數(shù)式大小比較,

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，容易出錯(cuò)；易錯(cuò)三：對換底公式不了解，無法比較，錯(cuò)以為③錯(cuò).

2.Al、B7[2012?安徽卷]設(shè)集合Z={x|-3W2x-lW3},集合2為函數(shù)y=lg(x-1)的

定義域，貝iJZC8=()

A.(1,2)B.[1,2]

C.[1,2)D.(1,2]

2.D[解析]根據(jù)已知條件，可求得N=[-l,2],8=(1,+8),所以/n8=[-l,2]

n(1,+°°)=(1)2].

11.B6、B7[2012?課標(biāo)全國卷]當(dāng)寸，4yo則。的取值范圍是()

A(0,由B.隹,1

C.(1,A/2)D.(V2,2)

11.B［解析］當(dāng)<7>i時(shí)，因?yàn)?<xW；,所以lo&x<0.不滿足4yog?x,故舍去；當(dāng)0<。<1

時(shí)，因?yàn)镺VxW^,數(shù)形結(jié)合易得，需滿足得2<唾盤，則斗解得Q坐或

-坐結(jié)合前提條件得孚31.綜上，?！晖?，1)故選B.

B8塞函數(shù)與函數(shù)的圖像象

15.B6、B8［2012?山東卷］若函數(shù).危)=，(心0,aWl)在［-1,2］上的最大值為4,最小

值為〃?，且函數(shù)g(x)=(l—4〃7m在［0,+8)上是增函數(shù)，貝lja=________.

15.；［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)與早函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想及推理論證能

力，中檔題.

?-％)=(1一4加人/^在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1

???吟

當(dāng)a>\時(shí)，危)的最大值為/=4,即。=2,24

14

21

-成立

當(dāng)0<7<1時(shí)，,危)的最大值為々7=4,即。=-5

4?

5.B6、B8、B9［2012?北京卷］函數(shù)<x)=g-g)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

5.B［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

由左)=弓一(3)'=0,可得g=(T)，令人(x)=g，g(x)=C所以函數(shù)外)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)就是函數(shù)〃(x)與g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有?個(gè)，所以函數(shù)7(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為1,答案為B.

6.B8［2012?湖北卷］已知定義在區(qū)間［0,2］上的函數(shù)y=〃)的圖象如圖1―1所示，貝IJy

=一義2—x)的圖象為()

-?H/2V

ABCD

圖1一2

6.B

［解析］y=7(x)fy=7(-x)fy=/［-(x-2)］-*y=-/2-x),即將y=義工)的圖象關(guān)于y軸對

稱，再向右平移2個(gè)單位長度，然后關(guān)于x軸對稱，即為B圖象.

B9函數(shù)與方程

21.B9、B12、E5［2012?陜西卷］設(shè)函數(shù)/(x)=x"+6x+c(〃eN+,h,cGR).

(1)設(shè)〃》2,6=1,c=~\,證明：<x)在區(qū)間g,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；

(2)設(shè)〃為偶數(shù)，叭—求b+3c的最小值和最大值；

(3)設(shè)〃=2,若對任意不，應(yīng)右［-1,1］有|/(X|)-/(X2)|W4,求6的取值范圍.

21.解：(1)當(dāng)6=1,c=-1,"22時(shí)，危)=/+工-1.

??碘l)=d)xi<0.

??.加)在6，1)內(nèi)存在零點(diǎn).

又當(dāng)xeg1)時(shí)，/"(丫)=加'"+1>0,

???/(X)在(；，1)上是單調(diào)遞增的，

二段)在(3，1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

0W6-CW2,

(2)解法一：由題意知

-2W/cW0.

由圖像知，6+3<?在點(diǎn)(0,-2)取到最小值-6,

在點(diǎn)(0,0)取到最大值O

??.6+3c的最小值為-6,最大值為0.

解法二：由題意知

-1硒)=1+b+cWl,即-2W6+cW0,①

-1(/(-1)=1-6+cWl,即-2W-6+cW0,②

①X2+②得

-6W2(6+c)+(-b+c)=b+3cW0,

當(dāng)6=0,c=-2時(shí)，b+3c=-6;當(dāng)Z)=c=0時(shí)，b+3c=0,

所以b+3c的最小值為-6,最大值為0.

伏-1)=]_/>+c,

解法三：由題意知,

區(qū)1)=\+b+c,

人1)-火-1)Xl)+X-l)-2

解得6

.??/)+3c=2/(1)+/-1)-3.

又-1力-i)〈i,-iwy(i)wi,

-6Wb+3cW0,

所以6+3c的最小值為-6,最大值為0.

(3)當(dāng)n=2時(shí)，fix)=x2+bx+c.

對任意X1,X2e［-1,1］都有1/(X|)-HX2)|W4等價(jià)于外)在［-1,1］上的最大值與最小值之差

A/W4.據(jù)此分類討論如下：

①當(dāng)與>1,即向>2時(shí)，M=陽)-人-1)|=2血>4,與題設(shè)矛盾.

②當(dāng)-1W-^<O,即0<bW2時(shí)，

"/⑴1)&恒成立.

③當(dāng)OW-gwi,即-2<bW0時(shí)，

M=/（_11W4恒成立.

綜上可知，-2W6W2.

注：②，③也可合并證明如下：

用max｛〃，6｝表示4,6中的較大者.

當(dāng)-1W-1<1,即-2W6W2時(shí)，

M=max伏1）,義-1）｝

_22"A2）

=1+c+網(wǎng)-（4+c）

=（1+?恒成立.

3.B9、Cl［2012?湖北卷］函數(shù)負(fù)x）=xcos2x在區(qū)間［0,2可上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

3.D

兀

［解析］要使y（x）=xcos2x=0,則x=0或cos2x=0,而cos2x=0（x￡［0,2兀］）的解有匯=不

爭冬季所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.故選D.

22.B3、B9、B12［2012?福建卷］已知函數(shù)<x）=orsinr一3GR）,且在0,上的最大

、，兀一3

值為六一.

（1）求函數(shù)加）的解析式；

（2）判斷函數(shù).危）在（0,九）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.

22.解：（1）由已知解（x）=a（sinx+xcosx）,

對于任意x￡（0,3,有sinx+xcosx>0.

3

當(dāng)。=0時(shí)，-）=-2>不合題意；

當(dāng)a<0,x￡（0,習(xí)時(shí)，/（x）<0,從而y（x）在（0,?內(nèi)單調(diào)遞減，

又危）在0,I上的圖象是連續(xù)不斷的，故兀v）在0,I上的最大值為/（0）=-|,不合

題意；

當(dāng)?！?,x￡（0,習(xí)時(shí)，/（x）>0,從而九0在（0,珈單調(diào)遞增，又大x）在0,T上的

圖象是連續(xù)不斷的，故外）在［。，外上的最大值為局，即自-|=等，

解得a=1.

3

綜上所述，得/（X）=xsinx-

（2股）在（0,兀）內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

證明如下：

33

由⑴知，/W=xsinx-］,從而有<0）=-'<0.

兀一3

>0,

2

又危)在［o,當(dāng)上的圖象是連續(xù)不斷的.

所以人動(dòng)在(o,內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

又由(1)知兀0在［o,I上單調(diào)遞增，故兀0在(o,§內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x6［，，兀］時(shí)，令g(x)=/(x)=sinx+xcosx.

由g(f)=l>°，g5)=一兀<°，且蛉)在多兀］上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在機(jī)￡

&兀)，使得g(⑼=0.

由g'(x)=2cosx-xsiar,知時(shí)，有g(shù)'(x)<0,

從而g(x)在(去兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)x￡《，相)時(shí)，g(x)>g(w)=O,即/(x)>0,從而外)在住〃，內(nèi)單調(diào)遞增，

故當(dāng)xeT，機(jī)時(shí)，.危)為6)=〉°，

rTI

故y(x)在［爹，"7」上無零點(diǎn)；

當(dāng)xE(〃?，兀)時(shí)，有g(shù)(x)<g(m)=0,即/(x)<0,從而/(x)在(怙兀)內(nèi)單調(diào)遞減.

又./(⑼>o，y(兀)<o，且外)在［小，兀］上的圖象是連續(xù)不?斷的，從而.危)在(〃?，兀)內(nèi)有且

僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，./(x)在(0,兀)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

5.B6、B8、B9［2012?北京卷］函數(shù)<x)=g一6)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

5.B［解析］本題考查指數(shù)函數(shù)和早函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

由/(x)=g—&=0,可得g=(；)，令"(x)=g,g(x)=&,所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)就是函數(shù)〃(x)與g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，所以函數(shù)；(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為1,答案為B.

B10函數(shù)模型及其應(yīng)用

21.BIO,Bll、B12［2012?浙江卷］已知“GR,函數(shù)人工)=4/一2方+〃.

(1)求加0的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)OWxWl時(shí)，/(x)+|2-a|>0.

21.解：⑴由題意得/(x)=12x2-2a.

當(dāng)aWO時(shí)，,(x)與0恒成立，此時(shí)應(yīng)Y)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8).

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)=此時(shí)

函數(shù)大x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

單調(diào)遞減區(qū)間為-\JI,、詞.

(2)由于OWxWl,故

當(dāng)aW2時(shí)，fix)+|a-2|=4x3-2ax+224f-4x+2.

當(dāng)2時(shí)，義x)+|a-2|=4x3+2Q(1-x)-224/+4(1-x)-2=4x3-4x+2.

設(shè)g(x)=2?-2x+1,O?,則

于是

X0迫