《新編高等數(shù)學(xué)》教學(xué)教案

教案首頁

課程上普想考任課教師授課序數(shù)

授課班級授課時間授課時數(shù)

授課地點教宦累計課時

課題1.1備數(shù)及其糙質(zhì)

講授多媒體操作演示學(xué)生操作分組討論實作演練

授課方式

怩用適冬的方法未衰東房黎，不會比及荀單位用問座.中的囪

能力

照關(guān)系式。

目標(biāo)

了解曲照的奇偶喉、單調(diào)植、周期榴和有界榴。

教

學(xué)知識

理解今段晶劇的概念，了解女曲熬及隴匹照的槐念。

目目標(biāo)

標(biāo)

素質(zhì)

語秦學(xué)藝今折冏敢、解決向敢的惚力

目標(biāo)

重點難點

與

今段曲數(shù)的概念和女晶熬及隴西熬的概念。

解決方法

參考教材《新編高等數(shù)學(xué)》

教學(xué)準(zhǔn)備

福件

教具、設(shè)備

課后作業(yè)

燈敢7/

或

拓展練習(xí)

鞏固

新課

要點

單元小結(jié)

與

改進(jìn)措施

教研室主任審閱任課教師黃濤

年月日年月日

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

§1.1函數(shù)及其性質(zhì)

1.1.1函數(shù)概念

定義設(shè)數(shù)集DuR,則稱映射為定義在D上的函數(shù)，

通常簡記為

y=f(x),xeD,

其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作D/,即D

尸D.

應(yīng)注意的問題：

記號/和f(x)的含義是有區(qū)別的，前者表示自變量X和因變量

y之間的對應(yīng)法則，而后者表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值.但為了

敘述方便，習(xí)慣上常用記號“f(x),xeD”或"y=Hx),xeD”來表示

定義在D上的函數(shù)，這時應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)人

函數(shù)符號：函數(shù)yy(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號/也可改用其

它字母，例如“F”，“夕”等.此時函數(shù)就記作y=p(x),y=F(x).

函數(shù)的兩要素：

函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，其值域總在R內(nèi)，因此構(gòu)

成函數(shù)的要素是定義域D/及對應(yīng)法則九如果兩個函數(shù)的定義域

相同，對應(yīng)法則也相同，那么這兩個函數(shù)就是相同的，否則就是

不同的.

函數(shù)的定義域：

函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定：一種是對有實際

背景的函數(shù)，根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定.

求定義域舉例：

求函數(shù)產(chǎn)1-42_4的定義域.

X

要使函數(shù)有意義，必須xM,且X2-4N0.

解不等式得|x|N.

所以函數(shù)的定義域為D={x||x|>2},或。=(-oo,2)“2,+8]).

單值函數(shù)與多值函數(shù)：

在函數(shù)的定義中，對每個xeD,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這

樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).如果給定一個對應(yīng)法則，按這個法

則，對每個xeD,總有確定的y值與之對應(yīng)，但這個y不總是唯一

的，我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

例如，設(shè)變量x和y之間的對應(yīng)法則由方程x2+y2=/給出.顯然，

對每個xe[-r,r],由方程x2+y2=/,可確定出對應(yīng)的y值，當(dāng)x=r

或乂=-「時，對應(yīng)片0一個值；當(dāng)x取(-r,r)內(nèi)任一個值時，對應(yīng)的

y有兩個值.所以這方程確定了一個多值函數(shù).

表示函數(shù)的主要方法有三種：表格法、圖形法、解析法(公式

法)，這在中學(xué)里大家已經(jīng)熟悉.

函數(shù)的例子：

例.函數(shù))*|=[*x*

/[-Xx<0

稱為絕對值函數(shù).其定義域為。=(-8,m)，值域為R/=[0,+oo].

1x>0

例.函數(shù)y=sgnx=0x=0.

-1x<0

稱為符號函數(shù).其定義域為D=(-00,m)，值域為Rf={-1,0,1).

例設(shè)X為任上實數(shù).不超過X的最大整數(shù)稱為X的整數(shù)部

分，記作[x].

函數(shù)

y=[x]

稱為取整函數(shù).其定義域為D=(-00,+8),值域為Rf=Z.

[y]=o,[V2]=l，[小3,[-3.5]=-4.

1.1.2反函數(shù)

設(shè)函數(shù)廣Dff(D)是單射，則它存在逆映射尸I：/(D)TD,稱此

映射廣1為函數(shù)/的反函數(shù).

按此定義，對每個昨/(0,有唯一的xeD,使得/(x)=y,于是

有

廠僅)=x.

這就是說，反函數(shù)廣】的對應(yīng)法則是完全由函數(shù)，的對應(yīng)法則所確

定的.

一般地,y=f(x),xeD的反函數(shù)記成y4T(X),xe/(D).

若/是定義在。上的單調(diào)函數(shù)，則/：D-/(D)是單射，于是了

的反函數(shù)尸1必定存在，而且容易證明廣】也是/(D)上的單調(diào)函數(shù).

相對于反函數(shù)片/Ex)來說，原來的函數(shù)y=/(x)稱為直接函

數(shù).把函數(shù)y4x)和它的反函數(shù)

片/T(X)的圖形畫在同一坐標(biāo)平面上，這兩個圖形關(guān)于直線y=x是

對稱的.這是因為如果P(a,b)是y=/(x)圖形上的點，則有b=f(a).

按反函數(shù)的定義，有a=f-\b),故Q(b,。)是片fT(X)圖形上的點；

反之,若Q(b,a)是y=L(x)圖形上的點，則P(a,b)是片/(x)圖形上

的點.而P(a,b)與Q(b,a)是關(guān)于直線y=x對稱的.

1.1.3函數(shù)的性質(zhì)

⑴函數(shù)的有界性

設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為優(yōu)數(shù)集XuD.如果存在數(shù)Ki,使對任

—xeX,有f(x)4Ki,則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，而稱Ki為函數(shù)/(x)

在X上的一個上界.圖形特點是y=f(x)的圖形在直線y=Ki的下方.

如果存在數(shù)6使對任一xeX,有/(x)2/，則稱函數(shù)/(x)在X

上有下界，而稱心為函數(shù)/(x)在X上的一個下界.圖形特點是，函

數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=￡的上方.

如果存在正數(shù)M,使對任一xwX,有|/(x)\<M,則稱函數(shù)

/(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)/(x)在X上無界.

圖形特點是，函數(shù)y=/(x)的圖形在直線產(chǎn)-M和y=M的之間.

函數(shù)/(x)無界，就是說對任何M,總存在xieX,使|/(x)|>M.

例如

(l)/(x)=sinx在(-8,+Q0)上是有界的：|sinx|41.

(2)函數(shù)/(此='在開區(qū)間(o,1)內(nèi)是無上界的.或者說它在(0,

X

1)內(nèi)有下界，無上界.

這是因為，對于任一M>1,總有xi：使

xl

所以函數(shù)無上界.

函數(shù)/(x)=上在(1,2)內(nèi)是有界的.

X

(2)函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為D,區(qū)間/uD.如果對于區(qū)間/上任

意兩點X1及X2,當(dāng)X1<X2時，恒有

則稱函數(shù)/(X)在區(qū)間/上是單調(diào)增加的.

如果對于區(qū)間/上任意兩點X!及X2,當(dāng)X1<X2時，恒有

y(xi)>/(x2),

則稱函數(shù)/(X)在區(qū)間/上是單調(diào)減少的.

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

⑶函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù)/(x)的定義域。關(guān)于原點對稱(即若xeD,則-X€。).如

果對于任一xeD,有f(_x)=/(x),則稱/(x)為偶函數(shù).

如果對于任一xe。有/(-x)=-T(x),則稱/(x)為奇函數(shù).

偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，

奇偶函數(shù)舉例：

y=x2,y=cosx都是偶函數(shù).y=x3,y=sinx都是奇函數(shù)，y=sin

x+cosx是非奇非偶函數(shù)

(4)函數(shù)的周期性

設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為D.如果存在一個正數(shù)/,使得對于任

—xeDW(x±/)eD,且

f[x+l)=f(x)

則稱/(X)為周期函數(shù)，/稱為/(X)的周期.

周期函數(shù)的圖形特點：在函數(shù)的定義域內(nèi)，每個長度為/的區(qū)間

上，函數(shù)的圖形有相同的形狀.

教案首頁

課程方培懿君任課教師授課序數(shù)

授課班級授課時間授課時數(shù)

授課地點教室累計篋時

課題1.2初等備熟

講授多媒體操作演示學(xué)生操作分組討論實作演練

授課方式

能力

怩橋初博酒熟今解名基多初等的劇

目標(biāo)

教

學(xué)知識

察援及漳初博晶劇的僧質(zhì)及其畫形。

目目標(biāo)

標(biāo)

素質(zhì)

格東老幺今折冏題、解決向敢的惚力

目標(biāo)

7、復(fù)合曲熬及今段^熬的概念，

重點難點

與

2、去冷初等晶劇的做質(zhì)及其畫形,，

解決方法

參考教材《新編高等數(shù)學(xué)》

教學(xué)準(zhǔn)備

信件

教具、設(shè)備

課后作業(yè)

習(xí)鼠7.2

或

拓展練習(xí)

鞏固

新課

要點

單元小結(jié)

與

改進(jìn)措施

教研室主任審閱任課教師黃濤

年月日年月日

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計

方法分配

1.2初等函數(shù)

1.2.1基本初等函數(shù)

基函數(shù):y=xf,（/zeR是常數(shù)）；

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計

方法分配

對數(shù)函數(shù):y=logax（a>0且owl,特別當(dāng)a=e時，記為y=lnx）;

三角函數(shù):y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,片secx,y=cscx;

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)時間

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)時間

方法分配

1.2.2復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)：

復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例，按照通常函數(shù)的記號，復(fù)

合函數(shù)的概念可如下表述.

設(shè)函數(shù)片/(u)的定義域為01,函數(shù)u=g(x)在D上有定義且

g(D)u￡h,則由下式確定的函數(shù)

y=f[gM],xeD

稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)片的)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域為

D,變量u稱為中間變量.

函數(shù)g與函數(shù)/構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為fog,即

(fog)=f[gW].

與復(fù)合映射一樣,g與7構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的條件是：是函

數(shù)g在。上的值域g(D)必須含在/的定義域D,內(nèi)，即g(D)uD戶否

則，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).

例如，y=f(u)=3rcsmu,的定義域為[一1,1],u=g(x)=2yl\-x2

在乎,1]上有定義,且g(D)u[-l,l],則g與f可構(gòu)

成復(fù)合函數(shù)

>'=arcsin2vl-x2,xe。；

但函數(shù)y=arcsinu和函數(shù)u=2+x2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，這是因為對

任xeR,u=2+x2均不在y=aresinu的定義域[T,1]內(nèi).

2.初等函數(shù)：

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的

函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函

數(shù).例如，y=siMx,等都是初等函數(shù).

教案首頁

課程方培檄老任課教師授課序數(shù)

授課班級授課時間授課時數(shù)

授課地點數(shù)宦累奸花時

課題7,使用鎧作雙滓運(yùn)算S徐榭備被囪像

講授多媒體操作演示學(xué)生操作分組討論實作演練

授課方式

能力

惚對必的界面、泉冷功犍物基串猱作進(jìn)行簡單猱作

目標(biāo)

教

學(xué)知識

號燈利用照當(dāng)軟件切入南作基津運(yùn)算，

目目標(biāo)

標(biāo)

當(dāng)司利用熬當(dāng)軟件法以勿3徐制晶照畫像

素質(zhì)

裕泰老史今新間我、解決問散的惚力

目標(biāo)

重點難點

與

利用照當(dāng)軟件次UU海假/而熬囹假

解決方法

《新編高等數(shù)學(xué)》

參考教材

教學(xué)準(zhǔn)備

密件

教具、設(shè)備

課后作業(yè)

我1.4

或

拓展練習(xí)

鞏固

新課

要點

單元小結(jié)

與

改進(jìn)措施

教研室主任審閱任課教師黃濤

年月日年月日

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

1.4數(shù)學(xué)實驗一:使用MATLAB作基本運(yùn)算與繪制函數(shù)圖像

1.數(shù)學(xué)軟件MATLAB簡介

1)軟件的啟動與運(yùn)行

安裝完MATLAB軟件并激活后，該軟件會在“開始”菜單中創(chuàng)建

快捷方式.單擊“開始”一“所有程序”一MATLAB-R201

3bfMATLABR2013b命令，運(yùn)行MATLAB軟件，并進(jìn)入其主

界面。

標(biāo)題欄.標(biāo)題欄位于窗口的最上方，主要顯示軟件的名稱以及“最

小化”按鈕、“最大化/還原”按鈕、“關(guān)閉”按鈕等.

選項卡.包括3個選項卡，分別是主頁(HOME)、繪制(PLOTS)和應(yīng)

用(APPS),每個選項卡下面包含功能區(qū)，是MATLAB軟件眾多功能

的“集散地”.

功能區(qū).功能區(qū)分散在各個選項卡下，是眾多命令的集合，用于實

現(xiàn)不同的功能操作.

工具欄.MATLAB窗口中的工具欄分別位于兩個位置，與選項卡同

行顯示的是快速工具欄，其上包括一些比較常用的按鈕，如“保

存”按鈕、“剪切”按鈕、“復(fù)制”按鈕、“撤銷”按鈕等;位

于功能區(qū)下方的是常規(guī)工具欄，主要包括“前進(jìn)”(Forward)按鈕、

“后退”(Back)按鈕、“上一級”(UpOneLevel)按鈕、“瀏覽”

(Browseforfolder)按鈕、地址欄等.

導(dǎo)航窗格(CurrentFolder).該窗格中顯示的是目錄層級.

命令窗口(Commandwindow).該窗口是工作主窗口，用于程序的

輸入和執(zhí)行結(jié)果的顯示.

工作空間(Workspace).該窗口存放著圖片的數(shù)組信息.

命令歷史(CommandHistory).該窗格中顯示了所有命令的輸入和

執(zhí)行歷史記錄.

2)輸入與輸出啟動MATLAB軟件后，可以通過鍵盤在命令窗口

(CommandWindow)中輸入對應(yīng)的程序和命令,然后按Enter鍵，

系統(tǒng)自動運(yùn)算并輸出結(jié)果.例如，我們利用MATLAB計算“2+3”

的結(jié)果,可以直接在命令窗口中輸入“2+3”，然后按Enter鍵，

即可得到計算結(jié)果.

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

2.基本運(yùn)算

在MATLAB中，和、差、積、商、乘方運(yùn)算分別用+、一、*、/、

"來表示，其運(yùn)算順序與一般運(yùn)算的規(guī)則一致，即先乘方，后乘除，

最后是加減,要改變次序可以使用小括號“()”.

操作實例1計算[4+2X(5-1)]4-22.

在命令窗口中輸入：>>(4+2*(5—1))/2八2

然后按Enter鍵,得到如下計算結(jié)果:ans=3

繪制函數(shù)圖像1)相關(guān)命令在MATLAB中繪制二維曲線函數(shù)圖

形的命令，最基本的命令是plot和fplot

操作實例2在同一個坐標(biāo)系下畫出兩條曲線y=sin(x+1)和y

=cosx+1在區(qū)間[0,2or]上的圖像.

解法1運(yùn)行MATLAB,在命令行窗口中輸入：>>fplot([sin(x

+1),(cos(x)+1)],[0,2*pi])

解法2在命令行窗口中輸入

:x=0:0.01:2*pi;

>>plot(xzsin(x+1)zg/x,(cos(x)+1),b)

我們既可以在彈出的圖形窗口中通過相應(yīng)菜單進(jìn)行設(shè)置，也可以

通過legend命令實現(xiàn).在命令行窗口中繼續(xù)輸入：

>>legend(y=sin(x+1),y=cos(x)+1)

操作實例3

將屏幕窗口分成4個，用subplot(m,n,k)命令畫4個子圖，分別如

下：

①y=5x4—3x2+2x—7,x￡[—5,5].

②y=|x2-4x+2|,x￡[-lz5].

③y=ln(1+1+x2),x￡[—3,3].

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

運(yùn)行MATLAB,在命令行窗口中輸入：

>>subplot(2,2,1),fplot(5*xA4—2*xA2+2*x—7,[—

5,5])

>>subplot(2,2,2),fplot(abs(xA2—4*x+2),[—1,5])>

>subplot(2,2,3),fplot(log(1+sqrt(1+xA2)),[-3,3])>

AA

>subplot(2,2,4),fplot(x2*exp(—2*x2),[—3z3])

實驗作業(yè)

1.完成下列表達(dá)式的運(yùn)算：

(1)(2+3sinn6)+3.252;

(2)log25.2.

作出下列函數(shù)的圖像：

(1)f(x)=2x3-3x+l,xe[-1,2];

(2)g(x)=sinxx

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課程方培檄老任課教師授課序數(shù)

授課班級授課時間授課時數(shù)

授課地點教堂累計課時

課題

2.1數(shù)列的極限

講授多媒體操作演示學(xué)生操作分組討論實作演練

授課方式

怩用適當(dāng)?shù)姆焦膩砬蠼獍玖械臉O限

能力

目標(biāo)

蒙援不理解照列極限的楹念。

教

學(xué)知識

目目標(biāo)

標(biāo)

素質(zhì)

裕泰老史今新間我、解決問散的惚力

目標(biāo)

重點難點

與

照列極限的概念的理解

解決方法

參考教材《新編高等數(shù)學(xué)》

教學(xué)準(zhǔn)備

密件

教具、設(shè)備

課后作業(yè)

燈敗2/

或

拓展練習(xí)

鞏固

新課

要點

單元小結(jié)

與

改進(jìn)措施

教研室主任審閱任課教師黃濤

年月日年月日

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

§2.1數(shù)列的極限

一個實際問題：

如可用漸近的方程法求圓的面積？

設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正四邊形，它的面積記為4；再作內(nèi)

接正八邊形，它的面積記為4;再作內(nèi)接正十六邊形，它的面積

記為4;如此下去，每次邊數(shù)加倍，一般把內(nèi)接正8X2"」邊形

的面積記為4.這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：

41,斗2,人3,,4",…

設(shè)想n無限增大(記為28,讀作n趨于窮大)，即內(nèi)接正多

邊形的邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于

圓，同時An也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就

理解為圓的面積.這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)

(數(shù)列)4,A2,4,…，4),…當(dāng)"時的極限.

數(shù)列的概念:如果按照某一法則，使得對任何一個正整數(shù)n

有一個確定的數(shù)X”，則得到一列有次序的數(shù)

XI,X2,X3,…，…

這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列，記為｛X”｝,其中第n項X”叫做數(shù)

列的一般項.

數(shù)列的例子：

(n122JL..■

n+lb2'3'45'n+\'

｛2"：2,4,8,…，2",…；

(_LvJ_11...J_...?

12?r2'4185'21'

,n+(-l)H1._14〃+(-l)"T

1n"2‘3''n’…'

它們的一般項依次為上7,2n,.

n+12"n

數(shù)列與函數(shù):數(shù)列｛x“｝可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)：

Xn=f(n),

它的定義域是全體正整數(shù).

數(shù)列的極限：

數(shù)列的極限的通俗定義：對于數(shù)列｛X.｝,如果當(dāng)n無限增大

時，數(shù)列的一般項X.無限地接近于某一確定的數(shù)值a,則稱常數(shù)。

是數(shù)列俑｝的極限，或稱數(shù)列｛X.｝收斂a.記為limx,尸a.

>00

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的.

例如

,,_|

lim——n-=1..,.hm—1=0A,hrm-?-+-(---1-)---=1,;

+l〃TOO2〃n->00n

而｛2｝｛(-1)中｝,是發(fā)散的.

對無限接近的刻劃：

X”無限接近于。等價于以-。|無限接近于0,

極限的精確定義：

定義如果數(shù)列｛X.｝與常a有下列關(guān)系:對于任意給定的正

數(shù)￡(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N,使得對于"〉N時的一切

x?,不等式

\Xn-a\<￡

都成立，則稱常數(shù)a是數(shù)列｛X.｝的極限，或者稱數(shù)列｛Xn｝收斂于a,

記為

limxn=a或XT。(n->a>).

n—>oo

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的.

limx?=tz<=>V^>0,3/VGN+,當(dāng)/?>/V時，有一

n-^co

例如O

23n

1.1^11

65432

01

“、八32541(—1)〃[

(2)0,,，9，…，1+，…—>1

2345n

(3)1,—L1,—1>…，(―l)zH-L…

分析：正負(fù)交錯，〃無限增大，數(shù)列不趨于任何

定數(shù)，無極限.

教學(xué)設(shè)計

教學(xué)時間

法

教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計方

分配

例21觀察下列數(shù)列當(dāng)8時的極限.

⑴=⑵=梟

(3)J,.=2"+h(4)x,=(-1)".

解對于每一個數(shù)列.我們先將數(shù)列列出來.再根據(jù)極限的定義?觀察各個數(shù)列在8時

變化趨勢,可得

(1)4-?v*7~…Um—7-7=11

434nH-1.一〃+1

⑵卜!?卜…!'…如:=°，

(3)3?5.7?….2”+1.???lim(2n+1)不存在；

(4)-1.1.—1.—.(-I)".-lim(—!),不存在.

2.1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理2.1(極限的唯一性)收斂數(shù)列4人｝的極限是唯的.

定理2.2(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列(I.｝收斂.那么數(shù)列(1.)?定存界.

推論2.1有界數(shù)列未必收斂,無界數(shù)列必定發(fā)散.

例如?數(shù)列｛(一1)”是有界數(shù)列?但它是發(fā)散的：數(shù)列｛*｝是無界數(shù)列,且它是發(fā)散的.

教案首頁

課程方培懿君任課教師授課序數(shù)

授課班級授課時間授課時數(shù)

授課地點教宦累計課時

課題

2.2曲劇的極限

講授多媒體操作演示學(xué)生操作分組討論實作演練

授課方式

惚用途咨的方讓來忒解曲數(shù)的極限

能力

目標(biāo)

(1)蒙援不理解照列極限的楹念。

教

學(xué)知識

(2)蒙報不理解熬列極限的四則運(yùn)算。

目目標(biāo)

標(biāo)

(3)蒙振畀理解無窮人令無窮小的勰念。

素質(zhì)

格東老幺今折冏題、解決向敢的惚力

目標(biāo)

熬列極限的楹念、照列極限的四則運(yùn)第

重點難點

與

令無窮大和無窮小的概念

解決方法

參考教材《新編高等數(shù)學(xué)》

教學(xué)準(zhǔn)備

信件

教具、設(shè)備

課后作業(yè)

燈駁22

或

拓展練習(xí)

鞏固

新課

要點

單元小結(jié)

與

改進(jìn)措施

教研室主任審閱任課教師黃濤

年月日年月日

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教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)時間

方法分配

§2.2函數(shù)的極限

2.2.1函數(shù)極限的定義

函數(shù)的自變量有幾種不同的變化趨勢：

X無限接近Xo:x->Xo,

X從Xo的左側(cè)(即小于Xo)無限接近Xo：X->Xo-,

X從Xo的右側(cè)(即大于Xo)無限接近Xo:x->Xo+,

X的絕對值|x|無限增大:Xf00,

X小于零且絕對值|x|無限增大:X-

X大于零且絕對值|X|無限增大：Xf+8.

1.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

通俗定義：

如果當(dāng)x無限接近于xo,函數(shù)/(X)的值無限接近于常數(shù)A,則

稱當(dāng)x趨于xo時，/(x)以A為極限.記作

limf(x)=A或/(x)->4當(dāng)xfx。).

例如.(1)lim(2x-l)=1.

N—i

(2)lim±—=2.

X-l

單側(cè)極限：

若當(dāng)xfX。-時,/(x)無限接近于某常數(shù)A,則常數(shù)A叫做函數(shù)

/(X)當(dāng)XTXo時的左極限,記為lim/(x)=A或;

Xf%一

若當(dāng)X->XO+時,/(X)無限接近于某常數(shù)A則常數(shù)4叫做函數(shù)

/(x)當(dāng)XTX0時的右極限，記為lim/(x)=A或/Uo+)=A.

2.當(dāng)xfxo時函數(shù)/(x)的左右極限與當(dāng)x-?x0時函數(shù)f(x)的極限之

間的關(guān)系怎樣？

limf(x)=A<=>lim/(尤)二A且limf(x)=A.

XT聞X->X^~XT%.

x-lx<0

例5函數(shù)/(x)=?0x=0當(dāng)x-0時的極限不存在.

x+1x>0

這是因為，

limf(x)=lim(x-l)=-l,

x->0-x->0-

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lim/(x)=lim(x+l)=l,\

A->0*X-^/

lim/(x)wlimf{x}'\.

x->0-x->0+_____]?

2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

如果當(dāng)X的絕對值岡無限增大：Xf8,,函數(shù)/(X)的值無限接近于

常數(shù)4,則稱當(dāng)xf8時，f(x)以A為極限.記作

lim/(x)=A或/(x)f8),

X—>00

類似地可定義

lim/(x)=A和limf(x)=A.

x—>+co

2.2.2極限四則運(yùn)算法則

定理:如果lim/(x)=Z\,limg(x)=B,那么

(1)lim[f(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A±B;

(2)lim/(x)g(x)=lim/(x)-limg(x)=AB;

./(x)limf(x)Az

/⑶ovhm*=乂=察/n8利.

g(x)limg(x)B

例1.求lim(2x-l).

Xf1

解：lim(2x-l)=lim2x-lim1=2limx-l=21-l=l.

X—>1X—>1X—>1X—>1

例2.求lim.

xf2x2—5x+3

解.[jm1-1=r-2__________

—2x2-5x+3lim(x2-5x+3)

XT2

lim%3-lim1(lim%)3T

二XT2X->2=.rf2_________二ZT=__L

limx2-5limlim3(limx)2-5-2+322-10+33'

xf2x->2x->2x->2

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法

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分配

提問：如下寫法是否正確？

..X3-1吧*3-123-17

lim------------=—----------=-------------=—

222

.v->2x-5x+3limx-5x4-32-10+33,

XT2

_ilim(x3-l)lim(23-l)

]im----r-3-------=—J三2-----------=—￡^2-----------=—7

x->2x2-5x+3lim(x2-5x+3)lim(22-10+3)3,

x->2x->2

例3.求1加有條.

x-?3X2-9

oailim1i

解：limX~=lim--~~—=lim——-=—―=—.

KT3X2-9X—3(X-3)(X+3)X-3X+3hm(x+3)6

x->3

例4.求lim-3.

fx2-5x+4

解：lim七=!話”4=0,

-I2x-324-3

提問：如下寫法是否正確？

2r-3lim(2x-3)_i

lim------------=——------------=——=oo.

nx2-5x4-4lim(x2-5x+4)0

11

例5.求lim笑若

.sooJx5+5x2—3

解：先用X3去除分子及分母，然后取極限：

4,2_

lim￡+—+；=lim與3+里=?.

x-^x>7x^+5^—3xts7?537

XX3

例6.求lime：一2：，.

xt82x3—x2+5

解：先用X3去除分子及分母，然后取極限：

p3x~—2x—1pxN爐0八

人：彳

hm.J32u<=hm=5=0.

2x—x4-5x->oo2__L_j5_2

XX3

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2.2.3無窮小與無窮大

1無.窮小

如果函數(shù)Hx）當(dāng)XfXo域X-8）時的極限為零，那么稱函數(shù)

/（X）為當(dāng)x->xo（或Xf00）時的無窮小.

特別地，以零為極限的數(shù)列｛X.｝稱為nf00時的無窮小.

例如，

因為lim1=0,所以函數(shù)2為當(dāng)x->8時的無窮小.

XTBXX

因為lim（x-l）=O,所以函數(shù)為x-1當(dāng)x—1時的無窮小.

因為lim-L=0,所以數(shù)歹也」｝為當(dāng)nfoo時的無窮小.

2無.窮大

如果當(dāng)Xfxo（或XTOO）時，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值|/（x）I無限

增大，就稱函數(shù)/（X）為當(dāng)XfXo（或X-8）時的無窮大.記為

lim/（力=8（或1加/（》）=8）.

X—yXi

應(yīng)注意的問題：當(dāng)xrxo（或X->00）時為無窮大的函數(shù)/（X）,按

函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的.但為了便于敘述函數(shù)的這

一性態(tài)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作

lim/（x）=oo（或lim/（x）=oo）.

x->x0X->00

定理（無窮大與無窮小之間的關(guān)系）

在自變量的同一變化過程中，如果/（X）為無窮大，

則』?為無窮小；反之，如果/（X）為無窮小，且/（x）M,則士

f（x）/（X）

為無窮大.

定理有限個無窮小的和也是無窮小.

定理有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.

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例7.求|而衿尹

xfc3x--2x-l

解：因為lim警￥4=0,所以

x->82xJ—x2+5

lim.；-［+?=oo.

x->a)3xz—2x—1

例8.求lim皿.

.V->00X

解：當(dāng)Xf8時，分子及分母的極限都不存在，故關(guān)于商的

極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用.

因為迎￡=l.sinx,是無窮小與有界函數(shù)的乘積，

XX

所以lim皿=0.