空間點直線平面之間的位置關(guān)系練習(xí)題(高考總復(fù)習(xí))及空間點、直線平面之間的位置關(guān)系講義與例題

第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系時間：45分鐘分值：75分一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2013·安徽卷)在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析B是公理2，C是公理1，D是公理3，只有A不是公理．答案A2．已知平面外一點P和平面內(nèi)不共線三點A，B，C，A′，B′，C′分別在PA，PB，PC上，若延長A′B′，B′C′，A′C′與平面分別交于D，E，F(xiàn)三點，則D，E，F(xiàn)三點()A．成鈍角三角形 B．成銳角三角形C．成直角三角形 D．在一條直線上解析D，E，F(xiàn)為已知平面與平面A′B′C′的公共點，D，E，F(xiàn)共線．答案D3．已知空間中有不共線的三條線段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．AB∥CD B．AB與CD異面C．AB與CD相交 D．以上情況均有可能解析若三條線段共面，則直線AB與CD相交或平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線，故選D.答案D4．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交解析依題意，直線l∩α＝A(如圖)．α內(nèi)的直線若經(jīng)過點A，則與直線l相交；若不經(jīng)過點A，則與直線l是異面直線，故選B.答案B5．(2014·桂林中學(xué)上學(xué)期期中)下列四個圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的圖的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析只有第四個圖中的四點不共面．答案A6．(2013·江西卷)如下圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n＝()A．8 B．9C．10 D．11解析如下圖，∵CE?平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1，∴CE與正方體的其余四個面所在平面均相交，m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1，∴EF與正方體的其余四個面所在平面均相交，n＝4，故m＋n＝8，選答案A二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是________．①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b解析當(dāng)a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面γ，但γ經(jīng)過直線a與點P，∴γ與α重合，∴b?α，故③正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確．答案③④8．在空間中，①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線；②若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線．以上兩個命題中，逆命題為真命題的是________(把符合要求的命題序號都填上)．解析對于①可舉反例，如AB∥CD，A，B，C，D沒有三點共線，但A，B，C，D共面．對于②由異面直線定義知正確，故填②.答案②9．(2013·安徽卷)如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)①當(dāng)0<CQ<eq\f(1,2)時，S為四邊形②當(dāng)CQ＝eq\f(1,2)時，S為等腰梯形③當(dāng)CQ＝eq\f(3,4)時，S與C1D1的交點R滿足C1R＝eq\f(1,3)④當(dāng)eq\f(3,4)<CQ<1時，S為六邊形⑤當(dāng)CQ＝1時，S的面積為eq\f(\r(6),2)解析對于①②，如圖1，因為正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，當(dāng)CQ＝eq\f(1,2)時，PQ＝eq\f(\r(2),2)，這時截面S交棱DD1于D1，AP＝D1Q＝eq\f(\r(5),2)，且PQ∥AD1，截面S為等腰梯形，當(dāng)CQ<eq\f(1,2)時，截面S與棱DD1相交，截面S為四邊形，故①②正確；對于③④⑤，如圖2，延長QR交DD1的延長線于N點，連接AN交A1D1于M，取AD中點G，作GH∥PQ交DD1于H點，可得GH∥AN且GH＝eq\f(1,2)AN，設(shè)CQ＝t(0≤t≤1)，則DN＝2t，ND1＝2t－1，eq\f(ND1,C1Q)＝eq\f(D1R,C1R)＝eq\f(2t－1,1－t)，當(dāng)t＝eq\f(3,4)時，eq\f(D1R,C1R)＝eq\f(2,1)，可得C1R＝eq\f(1,3)，故③正確，當(dāng)eq\f(3,4)<t<1時，S為五邊形，故④錯誤，當(dāng)t＝1時，M為A1D1的中點，/S為菱形PC1MA，AC1＝eq\r(3)，MP＝eq\r(2)，S的面積為eq\f(1,2)·AC1·MP＝eq\f(\r(6),2)，故⑤正確．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))答案①②③⑤三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R證明(1)如圖所示，因為EF是△D1B1C1所以EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．(2)在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β則Q是α與β的公共點，同理，P點也是α與β的公共點．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．11．已知空間四邊形ABCD中，AB＝CD＝3，E，F(xiàn)分別是BC，AD上的點，并且BEEC＝AFFD＝12，EF＝eq\r(7)，求AB和CD所成角的余弦值．解如圖所示，在BD上取點G，使BGGD＝12，連接EG，F(xiàn)G.在△BCD中，∵eq\f(BE,EC)＝eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，∴EG∥CD，且GECD＝13，同理FG∥AB，且FGAB＝23，∴EG與FG所成的角即為AB與CD所成的角．在△BCD中，∵EG∥CD，CD＝3，且EGCD＝13，∴EG＝1.在△ABD中，∵FG∥AB，AB＝3，F(xiàn)GAB＝23，∴FG＝2.在△EFG中，EG＝1，F(xiàn)G＝2，EF＝eq\r(7)，由余弦定理得cos∠EGF＝eq\f(EG2＋FG2－EF2,2EG·FG)＝－eq\f(1,2)，∵異面直線所成角θ的范圍是0°<θ≤90°，∴cosθ≥0.∴AB與CD所成角的余弦值為eq\f(1,2).12．(2013·湖南卷)如圖，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA1＝3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運(yùn)動．(Ⅰ)證明：AD⊥C1E；(Ⅱ)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時，求三棱錐C1－A1B1E的體積．解(Ⅰ)證明：因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.由①，②得AD⊥平面BB1C由點E在棱BB1上運(yùn)動，得C1E?平面BB1C1C，所以AD⊥C(Ⅱ)因為AC∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，由題設(shè)，∠A1C1因為∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，從而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1故C1E＝eq\f(A1C1,cos60°)＝2eq\r(2)，又B1C1＝eq\r(A1C\o\al(2,1)＋A1B\o\al(2,1))＝2，所以B1E＝eq\r(C1E2－B1C\o\al(2,1))＝2.從而V三棱錐C1—A1B1E＝eq\f(1,3)S△A1B1E×A1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(2,3).平面1、平面含義師：以上實物都給我們以平面的印象，幾何里所說的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的。2、平面的畫法及表示師：在平面幾何中，怎樣畫直線？之后教師加以肯定，解說、類比，將知識遷移，得出平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）DDCBAα平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。如果幾個平面畫在一起，當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)畫成虛線或不畫（打出投影片）αβαβαβ··B·B·A·B·Aα平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可以看成點的集合。α點A在平面α內(nèi)，記作：A∈α點B在平面α外，記作：Bα2.1-43、平面的基本性質(zhì)教師引導(dǎo)學(xué)生思考教材P41的思考題，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的見解。師：把一把直尺邊緣上的任意兩點放在桌邊，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上，用事實引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材P42前幾行相關(guān)內(nèi)容，并加以解析）符號表示為LA·αALA·αB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)師：生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測量用的平板儀等等……引導(dǎo)學(xué)生歸納出公理2C·C·B·A·α符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。教師用正（長）方形模型，讓學(xué)生理解兩個平面的交線的含義。引導(dǎo)學(xué)生閱讀P42的思考題，從而歸納出公理3P·P·αLβ符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系2、師：那么，空間兩條直線有多少種位置關(guān)系？（板書課題）（二）講授新課1、教師給出長方體模型，引導(dǎo)學(xué)生得出空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。教師再次強(qiáng)調(diào)異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如下圖：2、（1）師：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？組織學(xué)生思考：長方體ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'與DD'平行嗎？生：平行再聯(lián)系其他相應(yīng)實例歸納出公理4公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>a∥ca=>a∥cc∥b強(qiáng)調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（投影）讓學(xué)生觀察、思考：∠ADC與A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？生：∠ADC=A'D'C'，∠ADC+∠A'B'C'=1800教師畫出更具一般性的圖形，師生共同歸納出如下定理等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)。教師強(qiáng)調(diào)：并非所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間中來。4、以教師講授為主，師生共同交流，導(dǎo)出異面直線所成的角的概念。（1）師：如圖，已知異面直線a、b，經(jīng)過空間中任一點O作直線a'∥a、b'∥b，我們把a(bǔ)'與b'所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。（2）強(qiáng)調(diào)：①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。1、判斷題：（1）a∥bc⊥a=>c⊥b（）（1）a⊥cb⊥c=>a⊥b（）2、填空題：在正方體ABCD-A'B'C'D'中，與BD'成異面直線的有________條?？臻g中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（二）研探新知1、引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考身邊的實物，從而直觀、準(zhǔn)確地歸納出直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點（3）直線在平面平行——沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示aαa∩α=Aa∥α2、引導(dǎo)學(xué)生對生活實例以及對長方體模型的觀察、思考，準(zhǔn)確歸納出兩個平面之間有兩種位置關(guān)系：（1）兩個平面平行——沒有公共點（2）兩個平面相交——有且只有一條公共直線用類比的方法，學(xué)生很快地理解與掌握了新內(nèi)容，這兩種位置關(guān)系用圖形表示為αβαβLαβα∥βα∩β=L教師指出：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行。 空間點、直線平面之間的位置關(guān)系單元測試一、選擇題1.a,b是兩條異面直線，（）A．若P為不在a、b上的一點，則過P點有且只有一個平面與a，b都平行B．過直線a且垂直于直線b的平面有且只有一個C．若P為不在a、b上的一點，則過P點有且只有一條直線與a，b都平行D．若P為不在a、b上的一點，則過P點有且只有一條直線與a，b都垂直2.a、b是異面直線，下面四個命題：①過a至少有一個平面平行于b；②過a至少有一個平面垂直于b；③至少有一條直線與a、b都垂直；④至少有一個平面分別與a、b都平行，其中正確命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．33.把正方形ABCD沿對角線AC折起,當(dāng)以A、B、C、D四點為頂點的正棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A.90°B.60°C.45°D.30°4、下面四個命題：①空間中如果有兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等②一個平面內(nèi)兩條直線與另外一個平面平行，則這兩個面平行③一條直線與一個平面的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直④兩個平面垂直于交線的直線與另一個平面垂直其中，正確命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3二、填空題1.已知直線m，n，平面，給出下列命題：①若；②若；③若；④若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直.其中正確的命題的題號為_______2.設(shè)是三條不同的直線，是三個不同的平面，下面有四個命題： ① ② ③④ENAFCBDENAFCBDM3.在右圖所示的是一個正方體的展開圖，在原來的正方體中，有下列命題：

①AB與EF所在的直線平行；②AB與CD所在的直線異面；③MN與BF所在的直線成60°角；④MN與CD所在的直線互相垂直.其中正確的命題是_____________三、解答題1.下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號)2.如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長線上一點，且BD=BC.（Ⅰ）求證：直線BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大??；（Ⅲ）求三棱錐C1—ABB1的體積.3.ABCDES如圖，已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一點.

(1)求證：平面EBD⊥平面SAC；

(2)設(shè)SA＝4，AB＝2，求點ABCDES答案：一、1.D2.A3.C4.B二、1.③、④2.①、③3.②、④三、1.為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進(jìn)行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進(jìn)行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設(shè)圖形對比討論．在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對角線l(即AC1)的垂面．對比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應(yīng)在面CBlDl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對角線l所在的對角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內(nèi)點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又