線性代數(shù)教案第一章行列式

1/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式目的要求理解二階與三階行列式,了解全排列及其逆序數(shù)。重點二階與三階行列式計算，行列式的性質(zhì)，克拉默法則難點n階行列式的計算，克拉默法則行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發(fā)展起來的，是線性代數(shù)中的一個基本概念，它在線性代數(shù)、其他數(shù)學(xué)分支以及在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中上都有著廣泛的應(yīng)用．在本章里我們主要討論下面幾個問題：(3)利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則)．本章的重點是行列式的計算，要求在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的往先利用行列式性質(zhì)通過對行列式的恒等變形，使行列式中出現(xiàn)較多的零和公因式，行列式在本章的應(yīng)用是求解線性方程組(克萊姆法則)．要掌握克萊姆法則并注意克萊姆法則應(yīng)用的條件．、二元線性方程組與二階行列式解方程是代數(shù)中一個基本的問題，行列式的概念起源于解線性方程組，它是從二下面考察二元一次方程組(ax+ax=b2112222 x2122ab-abx=1122112aa-aa(1.2)可見，方程組的解完全可由方程組中的未知數(shù)系數(shù)a,a,a,a以及常數(shù)項(2)線性代數(shù)教案_第一章(2)b,b表示出來，這就是一般二元線性方程組的解公式。但這個公式很不好記憶，應(yīng)用時十分不方便。由此可想而知，多元線性方程組的解公式肯定更為復(fù)雜。因此，我們引進新的符號來表示上述解公式，這就是行列式的1、二階行列式：由4個數(shù)a,a,a,a及雙豎線aa組成的符號1112稱aa2122。行列式中的數(shù)a(i1,2;j1,2)稱為行列式的元素。行列式中的元素用小寫英文ijij122122右下的兩元素之積aa，減去右上至左下的兩元素之積aa。其中每個積中的兩11221221個數(shù)均來自不同的行和不同的列?；蛘哒f：二階行列式是這樣的兩項的代數(shù)和，一項是從左上角到右下角的對角線aa這就是對角線法則。aa 341【解】(1)3 202 214234120022/293/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式2(3)013如果令DaaaaaaaaD1b1b2aaab，D2aab1b2ab112則當(dāng)D0時，二元一次方程組(1.1)的唯一解(1.2)可表示為DDDx=22D注x的分子行列式D是將系數(shù)行列式D中的第1列換成方程組的常數(shù)項而得11到；x的分子行列式D則是把系數(shù)行列式D中的第2列換成方程組的常數(shù)項而得到。22這樣用行列式來表示方程組的解，就得到簡便、整齊，便于記憶與運算的形式(亦稱克萊姆法則)。5【解】由于系數(shù)行列式D=84165即得方程組的解為Dx=1D4=2516=90，知該方程組有解，56D=2416D2=x=2=92D94/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式似乎這樣表示線性方程組的解比原來更為煩瑣，但這創(chuàng)造了多元線性方程組的解的公式及其規(guī)律性的解法，并為用電腦程序解多元線性方程組打下了良好的基礎(chǔ)。更為下一步學(xué)習(xí)矩陣知識，為學(xué)習(xí)高級、大型的管理知識做好了準備。與二階行列式相仿，對于三元一次線性方程組作類似的討論，我們得到三階行列aaaaaaaaa注(1)構(gòu)成：三階行列式含有三行，三列。橫排的數(shù)構(gòu)成行，縱排的數(shù)構(gòu)成列。行列式中的數(shù)稱為行列式的元素，相等的行數(shù)和列數(shù)3稱為行列式的階。每個項均為來自不同行不同列的三個元素之積，其符號的確定如下圖所示：aaaaaaaaa從圖中可見，三階行列式是這樣的六個項的代數(shù)和：從左上角到右下角的每條藍色連線上，來自不同行不同列的三個元素的乘積，取正號；從右上角到左下角的每條aaaaaa=(aaa+aaa+aaa)23112233122331132132aaa3233(aaa+aaa+aaa)122133132231運算時，在整體上，應(yīng)從第一行的a起，自左向右計算左上到右下方向上的所有a向右計算右上到左下的方向上的所有的三元乘積。對于各項的計算，應(yīng)按行標的自然數(shù)順序選取相乘的元素。這樣較為不容易產(chǎn)生漏。5/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式3例4】求行列式405的值。1063106ab0101ab0【解】由于ba0=a2(b2)=a2+b2，101ab0101411a10【解】因為1a0=a21，411411類似于二元線性方程組的行列式求解公式，三元線性方程組也有其系數(shù)行列式以及相應(yīng)未知數(shù)的分子行列式，得到如下解法(克萊姆法則)：6/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式3113223333a的系數(shù)行列式為的系數(shù)行列式為aaaaaaab1x的分子行列式為D=b112b3ax的分子行列式為D=a321aaaaaaaDD1D2Daaab1b2b3x3a，x的分子行列式為D=a221ab1b2b3aaaD=3。D123512925方程組有解，再計算各分子行列式，得2121325522293551239237/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式D1D23x=1=，x=2=，1D42D4D5x=3=。3D4二、排列及其逆序數(shù)從上節(jié)的例子我們知道，對角線法則只適用于二階與三階行列式，對四階和四階以上的行列式就不適用了.怎樣計算四階和四階以上的行列式呢?我們先從二階與三階行列式的計算中找一找規(guī)律先看二階行列式D11aaaaaaa二階行列式一共有兩項，每一項均由不同行不同列的元素組成。其組成的規(guī)律是1122再看三階行列式aaaaaa=(aaa+aaa+aaa)23112233122331132132aaa3233(aaa+aaa+aaa)1221331322313；列標只能取1，2，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；2，1，3；1，3，2。通過上述分析，我們知道了二階行列式和三階行列式項的組成方法。1)行標取自然排列時，列標分別取全排列.2)項的個數(shù)就是全排列的個數(shù)。另外，還發(fā)現(xiàn)無論二階行列式還是三階行列式，均有一些項的前面取“+”，一些我們發(fā)關(guān)。列，其中自然數(shù)i為1,2,…中的某個數(shù)，稱作第k個元素，k表示這個數(shù)在n級排列中k8/292、逆序數(shù)數(shù)字由小到大的n級排列1234…n稱為標準次序排列．在一個排列i,i,,i中，較大的數(shù)在較小的數(shù)前面就產(chǎn)生一個逆序數(shù)，所有逆序數(shù)的總和稱為這12n個排列的逆序數(shù)，記做C(i,i,…,i)。12n逆序數(shù)的計算方法：以32415為例，從第一個數(shù)依次查起，分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).32514010319/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列。4、對換將一個排列中的某兩個數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動,這樣得到一個。定理1.1對排列進行一次對換將改變其奇偶性.n!推論在全體n級排列(n>1)中，奇排列和偶排列各占一半，各有個。2n數(shù)與這個排列有相同的奇偶性。在給出n階行列式的定義之前，先來看一下二階和三階行列式的定義.2122aaa132aaa(2)二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負號．通過上述分析，我們找到了構(gòu)造二階行列式和三階行列式有別于對角線法的新的方法。下面我們將用新的方法定義一般的n價行列式，當(dāng)然，我們希望用新的方法定10/294線性代數(shù)教案_4aaa1naaaD=212n aaan1n2nn1j12j2anjn的代數(shù)和，其中jjj是1,2,,n的一個排列。當(dāng)jjn12j是偶排列時，(1.4)式帶n有正號；當(dāng)jjj是奇排列時，(1.4)式帶有負號，也就是可寫成naaaaaan2a1na2naj1j2jnjn)aa1j12j2anjn 這里表示對所有n級排列求和。行列式D通?？珊営洖閐et(a)或a.ijijnj1j2jn(2)n階行列式是n!項的代數(shù)和；(3)n階行列式的每個乘積項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積；jjn11233j4j線性代數(shù)教案_第一章_行列式a000aaaaa0aa004441j2j41234j1234121221234注(1)例13的結(jié)論可推廣到一般n階下三角行列式的計算：a00aa0aa00aa0aa(2)D=21a (3)對角行列式：aa0aaaan(n一1)0an1.(4)00D=D入n11200入n0入112n.00入n11/2912/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式在行列式的定義中，為了確定每一項的正負號，我們把每個乘積項元素按行指標aaa其中pp12nq是兩個n級排列。由于每交換兩個元素對應(yīng)的行標列標都n做了一次對換，因此由定理1.1知：它們的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.因此有jn)aa1j12j2an由此可見，行指標與列指標的地位是對稱的.因此為了確定每一項的符號，同樣可以把每一項按列指標排起來，于是定義又可以寫成aaaaaaaa=ininaninn．線性代數(shù)教案_第一章．授課章節(jié)第一章§2行列式的性質(zhì)握n階行列式的性質(zhì)重點n階行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用難點n階行列式的計算對于n(n≥4)階行列式來說用定義計算將非常繁瑣或幾乎不可能，因此我們有必要探究行列式的一些性質(zhì)，以簡化其運算，并且這些性質(zhì)對行列式的理論研究也有重要意義.記aaD=21：aaa：an2………aa2n：aaaDT=12aaa：a2n…an1…an2…a行列式是由行列式D的行與列對應(yīng)互換所得到，稱行列式為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式。1214例如，則DT=，可知這兩個行列式是相等的。3423性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT。證明因為D中元素a位于DT的第j行第i列，所以ijj1j2jnjn)aa1j12j2njnj1j2jnjn)aaj11j22a=DTjnn性質(zhì)1.1表明，在行列式中行與列的地位是對稱的，因此凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對列反之亦然。性質(zhì)2任意對換行列式的兩行(或兩列)元素，其值變號。證明設(shè)aak1D=Dl1anaaaaan2aaaaknl1an1aaaaan2aalnanan13/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式D=(1)T(j1jkjljn)aa11j1kjkj1j2jn=(1)T(j1jljkjn)aa1j1ljlj1j2jn=(1)T(j1jkjljn)aa1j1kjkj1j2jnaaljlnjnaakjknjnljlnjnljlnjn=D2推論行列式中有兩行(或兩列)元素對應(yīng)相同，則此行列式為零。證明交換元素相同的兩行(列)，由性質(zhì)2知D=D，即D=0.性質(zhì)3行列式某行(列)元素的公因子可以提到行列式符號的外面，或者說以一數(shù)乘行列式的某行(列)的所有元素等于用這個數(shù)乘此行列式.即ai1aaa=kai1aaaaaaaaaa明容易得出(1)T(j1jij1j2jnjn)a1j1(ka)ijia=k(1)T(j1jinjnj1j2jnjn)a1j1aijianjn推論1如果行列式中某行(列)元素全為零，那么行列式為零.推論2如果行列式中兩行(列)元素成比例，那么行列式為零.241例如，行列式D=363，因為第一列與第二列對應(yīng)元素成比例，根據(jù)推論2，可直接得到D=0.性質(zhì)4如果某一行(列)的元素是兩組數(shù)之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和，而這兩個行列式除這一行元素外全與原來行列式對應(yīng)行的元素一樣.即aa12aaaaab+cb+c22b+c=bbnn12b+ccn12cnan2n2 (強調(diào)：只拆一行，其余行不變)。證明左端=(1)T(j1jij1j2jnjn)aaniijinjnan2a14/2915/29xy13xy23xy13xy23xy33j1j2jnjn)a1j1bijijij1j2jnjn)a1j1ciji性質(zhì)5行列式中某行(或列)的元素k倍地加到另一行對應(yīng)元素上，此行列式的值不變。即a：ai1：aj1：aa：a：aj1：an2…aa…aaini1…aka+aj1i1j1……aa：a：ka+ai2j1：an2…：…：…：…a：a：inj1：a為使行列式D的計算過程清晰醒目，特約定以下記號：(1)r?r(c?c)表示交換D的第i行(列)與第j行(列)；ijij(2)kr(c)表示用數(shù)k乘D的第i行(列)所有元素；ii(3)r+kr(c+kc)表示把D的第i行(列)元素的k倍加到第j行(列)的對應(yīng)元素上.jiji二、利用行列式的性質(zhì)計算行列式利用行列式性質(zhì)計算：目標是化為三角形行列式，利用三角行列式的計算結(jié)論?！纠?】計算行列式0152一222【解】因為第三行是第一行的2倍，所以該行列式等于0.【例2】計算行列式422【解】因為行列式的第二、三列相等，故該行列式等于0。xy11【解】xy21xy31xy12xy22xy32xy13xy23xy33xy11xy21xy31xy12xy22xy32y提取每行的公因子xxxyy1y2y2y2y3性質(zhì)y。3y316/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式【解】將第一、二行互換，第三、五行互換，得將第一、五列互換，得3【例6】計算行列式D=211102111313418321【解】3D=211105131324c一c112311053521131324rr211r+5r413100038214122617r一r231000328114221r+4r326r8r4271000320012810r+r483101510003200118021817/29當(dāng)今大部分用于計算一般行列式的計算機都是按上述方法設(shè)計的.可以證明，利用行變換計算行列式需要進行大約2n3/3次算數(shù)運算.任何一臺現(xiàn)代微型計算機都可以在幾分之一為83300次.31111311【例7】計算11311113原式=r一r一原式=r一r一3113110213121111113131一411313一r一r+r04202一2r+r043113r61111r一r02000002【證明】把2,3列同時加到第4列上去，則得18/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式a1D=01a1a2010a2a3100a31【解】根據(jù)行列式的特點，可將第一列加至第二列，然后將第二列加至第三列，再將第三列加至第四列，目的是使D中的零元素增多.三、復(fù)習(xí)思考xaaa10D=01a01220012a…ax…aa…xa1a20100a330a2a3100aa01000a2a3100a131200a31a1001003a03004aabbbabbaaba19/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式(答案(答案(a2b2)n)授課章節(jié)授課章節(jié)第一章§3行列式按一行(列)展開目的要求掌握利用行列式展開法計算行列式重點難點行列式按行(列)展開的應(yīng)用aaaaaa§3行列式按一行(列)展開aaa31132132132231122133112332aaaaaa=a2223a2123+a212211aa12aa13aa32問題：一個n階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個n－1階行列式來計算？對于高階行列式是否都可用較低階的行列式表示呢？為了回答這個問題，先介紹余子式和代數(shù)余子式的概念.定義在行列式20/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式aai1aa1jaijanjaana中劃去元素a所在的第i行與第j列，剩下的(n1)2個元素按原來的排法構(gòu)成一個n1ij列式aaaaaaaaM=ijaaaaaaaa稱為元素a的余子式()。而ijA=(1)i+jMijij稱為元素a的代數(shù)余子式()．ij例如，四階行列式aD=21aaaaaaaaaaa中元素a的余子式和代數(shù)余子式分別為aaaM=aaaaaa414344A=(1)1+2M=M12行列式的每個元素a分別對應(yīng)著一個余子式和代數(shù)余子式.顯然元素a的余子ijij式和代數(shù)余子式只與元素a的位置有關(guān)，而與元素a本身無關(guān)，并且有關(guān)系ijijij|Mij,ij|Mij,于是，本節(jié)開頭的三階行列式可用代數(shù)余子式表示為aaaaaa為了把這個結(jié)果推廣到n階行列式，我們先證明一個引理.引理若n階行列式D中第i行的所有元素除a外都為零，那么這個行列式等于ija與它的代數(shù)余子式的乘積，即D=aA.ijijij明當(dāng)a位于D的第一行第一列時，即ij0aann20aa由上節(jié)例題的結(jié)果可知下面證明一般情形，設(shè)aD=0a1jaija0aanja把D的第i行依次與第i1,,2,1行交換后換到第一行，再把D的第j列依次與第j1,,2,1列交換后換到第一列，得aij00D=a1i1,janjaaa=(1)i1.(1)j1D=(1)i+jDi1,na21/29a線性代數(shù)教案_第一章_行列式a而元素aij在D1中的余子式就是aij在D中的余子式Mij，利用前面的結(jié)果有D=aM1ijijD=(1)i+jD=(1)i+jaM=aA1ijijijij定理1(行列式展開定理)行列式等于它的任一行(或列)的各個元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即aD=ai1a或D=21：a證明……：a：an2…a…a=aA+aA+…+aA，i1i1i2i2inin…………a1jaj：a…a…a2n=aA+aA+…+a2n=aA+aA+…+aAaaaD=a+0++00+a++0i1i2naan2a2aaan12a2a=a0i10+0a0++00aaaaann2nnn1n2=aA+aA++aAi1i1i2i2inin這就是行列式按第i行展開的公式.類似的可證行列式按第j列展開的公式，即D=aA+aA++aA1j1j2j2jnjnjaaa(j=1,2,,n)aa22/2923/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式定理2行列式中的某一行(或列)各個元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即i1j1i2j2injni豐j或1i1j2i2jninj證明構(gòu)造行列式aaaai1D=D1ai1aaaai行j行aannaijDDDj不同，從而11可知，D的第j行元素的代數(shù)余子式與D的第j行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式相同，即將1D按j行展開11i1j1i2j2injn類似地，有1i1j2i2jninj(Di=ji1j1i2j2injn0i豐j(Di(Di=ji1j1i2j2injn0i豐j(Di=j1i1j2i2jninj0i豐j一般地說，利用行列式的展開定理不是計算行列式值的好方法，以一個五階行列式，估算它的計算量。利用行列式的展開定理計算五階行列式的計算量：一個五階行列式需如果行列式的某行(或列)中零元素較多，那么這個行列式就可以選擇這行(或列)24/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式210D=112312利用對角線法則210312210034112112rrD=1121221124011rr4011=4r3r3+3231232044034001方法3利用行列式按一行(列)展開2102121D=112=2(1)2+3+2(1)3+33111312511111131D=00205530【解】5115115505506282=(1)1+32=2=80550521110041【例3】利用行列式的展開計算行列式D=的值。02412032一般應(yīng)選取零元素最多的行或列進行展開，以簡便計算25/29線性代數(shù)教案_第一章_行列式2112112022031D=03211430011212【解】311233110c+2(1)c1103D=42034123412按第三行展開，有3r+3D=1(1)3+210311303=(1)(1)(1)3+213123121D=x1x2x11x2x2x21x3x2x31和第三行，從而將第一列的元素除a=1以外，都變?yōu)?，即x2倍分別加到第二行111D=0021x2x2131x2x231按第一列展開，有xxxxD=1(1)1+12131=(xx)(xx)(xx)x2x2x2x23121322131用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以證明n(n≥2)階范德蒙德()行列式26/291D=x2n11D=x2n11n(x一x)xxxxx2nij2n其中記號“n”表示全體同類因子的乘積。即n階范德蒙德行列式等于x,x