系統(tǒng)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)能在實(shí)際生活中應(yīng)用的必要條件是系統(tǒng)要穩(wěn)定。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性是經(jīng)典控制理論的重要組成部分。經(jīng)典控制理論對(duì)于判定一個(gè)線性定常系統(tǒng)是否穩(wěn)定提供了多種方法。一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步了解了解不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生的原因，對(duì)于建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立穩(wěn)定性概念是很有幫助的。線性系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象有如下幾點(diǎn)值得注意。首先，線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否，取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無(wú)關(guān)。其次，系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔?。再次，控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，是討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在與有初始狀態(tài)不為零時(shí)的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的，也可以說(shuō)是討論系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是收斂還是發(fā)散的。二、穩(wěn)定的定義和條件若系統(tǒng)在初始狀態(tài)下（不論是無(wú)輸入時(shí)的初態(tài)，還是輸入引起的初態(tài)，還是這兩者之和）的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于零（回到平衡位置），則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定的；反之，若在初始狀態(tài)影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間隨時(shí)間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來(lái)越遠(yuǎn)），則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)的全部特性根都具有負(fù)實(shí)部；反正若特征根中只要有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。

三、關(guān)于穩(wěn)定性的一些提法1、 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性指對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。主要涉及穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定。穩(wěn)定用S(￡)表示狀態(tài)空間中以原點(diǎn)為球心以￡為半徑的一個(gè)球域，S(6)表示另一個(gè)半徑為5的球域。如果對(duì)于任意選定的每一個(gè)域S(￡),必然存在相應(yīng)的一個(gè)域S(6)，其中6<￡，使得在所考慮的整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，從域S(6)內(nèi)任一點(diǎn)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)^(t；x0，t0)的軌線都不越出域S(￡)，那么稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定如果原點(diǎn)平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，而且在時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)受擾運(yùn)動(dòng)^(t；x0，t0)收斂到平衡狀態(tài)xe=0,且此過(guò)程中，都不脫離S(￡)，則稱系統(tǒng)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。從實(shí)用觀點(diǎn)看，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定重要。在應(yīng)用中，確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍是十分必要的，它能決定受擾運(yùn)動(dòng)為漸近穩(wěn)定前提下初始擾動(dòng)x0的最大允許范圍。大范圍漸近穩(wěn)定

又稱全局漸近穩(wěn)定，是指當(dāng)狀態(tài)空間中的一切非零點(diǎn)取為初始擾動(dòng)X0時(shí)，受擾運(yùn)動(dòng)^(t；x0，t0)都為漸近穩(wěn)定的一種情況。在控制工程中總是希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。系統(tǒng)為全局漸近穩(wěn)定的必要條件是它在狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。不穩(wěn)定如果存在一個(gè)選定的球域S(￡)，不管把域S(6)的半徑取得多么小，在S(6)內(nèi)總存在至少一個(gè)點(diǎn)x0，使由這一狀態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)軌線脫離域 S(￡)，則稱系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0是不穩(wěn)定的。2漸進(jìn)穩(wěn)定性漸進(jìn)穩(wěn)定性就是對(duì)線性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性，它要求由初態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減到零。3、“小偏差”穩(wěn)定性“小偏差”穩(wěn)定性又稱“小偏差”或“局部穩(wěn)定性'。由于實(shí)際系統(tǒng)往往存在非線性，因此，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)往往是建立在“小偏差”線性變化的基礎(chǔ)上的。四、一些穩(wěn)定判據(jù)1、Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來(lái)判斷特征根在S平面的位置，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由于不必求解方程，為系統(tǒng)的穩(wěn)定性

的判斷帶來(lái)了極大的便利。2、Nyquist(乃奎斯特)穩(wěn)定判據(jù)設(shè)G(s)為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，在G(s)中取s=j3得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)G(j3)。當(dāng)參變量3由0變化到+8時(shí)，可在復(fù)數(shù)平面上畫(huà)出G(j3)隨3的變化軌跡，稱為奈奎斯特圖。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的基本形式表明，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復(fù)數(shù)平面的虛軸j3上既無(wú)極點(diǎn)又無(wú)零點(diǎn)，那么有Z=P-2NZ是閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程在右半s平面上根的個(gè)數(shù)，所謂特征方程是傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式為零的代數(shù)方程。P是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)。N是當(dāng)角頻率由3=0變化到3=+8時(shí)G(j3)的軌跡沿逆時(shí)針?lè)较驀@實(shí)軸上點(diǎn)(-1，j0)的次數(shù)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)還指出：Z=0時(shí)，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定；ZU0時(shí)，閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。判據(jù)的推廣形式。當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復(fù)數(shù)平面的虛軸上存在極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，必須采用判據(jù)的推廣形式才能對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性作出正確的判斷。在推廣形式判據(jù)中，開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)G(j3)的奈奎斯特圖不是按3連續(xù)地由0變到+8來(lái)得到的，3的變化路徑如圖所示，稱為推廣的奈奎斯特路徑。在這個(gè)路徑中，