2021高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)-2月大數(shù)據(jù)精選模擬卷02(天津?qū)Ｓ?(解析版)

2月大數(shù)據(jù)精選模擬卷02（天津?qū)Ｓ茫?shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。第一部分（選擇題共45分）一、選擇題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取40個(gè)檢測.如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量（單位：克）繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8組，分別為[80,82)、[82,84)、[84,86)、[86,88)、[88,90)、[90,92)、[92,94)、[94,96]，則樣本的中位數(shù)在（）A．第3組B．第4組C．第5組D．第6組【答案】B【解析】由圖計(jì)算可得前四組的頻數(shù)是22，其中第4組的為8，故本題正確答案是B.2．設(shè)向量，夾角為，則“是銳角”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先轉(zhuǎn)化條件，再判斷充分性成立和必要性不成立即可解題.【解答】解：由題意：充分性：向量，夾角為，且“是銳角”“”，所以充分性成立；必要性：當(dāng)向量，夾角為時(shí)，“”成立，但“是銳角”不成立，所以必要性不成立.所以設(shè)向量，夾角為，則“是銳角”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查和差向量的模與數(shù)量積的運(yùn)算、充分條件與必要條件的判斷，是基礎(chǔ)題.3．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先排除函數(shù)的奇偶性，再判斷時(shí)的函數(shù)值的正負(fù).【解答】，函數(shù)是奇函數(shù)，故排除AB，當(dāng)時(shí)，，，所以，故排除D.故選：C4．設(shè)全集集合則()A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：{x|x鈮?鎴杧鈮も垝1},所以，所以{x|0<x<3}，故選C．考點(diǎn)：集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算．5．已知四棱錐，平面，，，，，二面角的大小為，若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形證得四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角為所對的弦為直徑得到是圓的直徑.利用二面角的定義判斷出為二面角的平面角，且，由此求得的長，易知球心為SC的中點(diǎn)，求得球的半徑，并求得球的表面積.【解答】因?yàn)?，所以四點(diǎn)共圓，直徑是.因?yàn)槠矫?，，所以為二面角的平面角，?因?yàn)?，所以，又，所?所以.易知球心為SC的中點(diǎn)，所以該球的表面積為.故選C.【點(diǎn)評】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，考查面面角的概念，屬于中檔題.6．已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由可得函數(shù)為偶函數(shù)，則，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的解析式分析可得在上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，然后即可得出答案【解答】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，即函數(shù)為偶函數(shù)，故,當(dāng)時(shí)，,分析易得為減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，又由，則有，故選：B【點(diǎn)評】本題考查比較大小問題，難點(diǎn)在于利用偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出在上為增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可7．直線與雙曲線：的一條漸近線平行，過拋物線：的焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的漸近線方程，求得直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到，再根據(jù)拋物線的定義得到弦長，求得，即可求解雙曲線的離心率.【解答】由題意，雙曲線的一條漸近線的方程為，設(shè)直線的方程為又由拋物線的焦點(diǎn)，則，即，所以直線的方程為設(shè)，聯(lián)立，得，所以，根據(jù)拋物線的定義可知，即，即，又由，所以，所以，故選C.【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的離心率的求解，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)和拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)的合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.8．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，給出下列關(guān)于的結(jié)論：①它的圖象關(guān)于直線對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④它在上單調(diào)遞增.其中正確的結(jié)論的編號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】BC【分析】根據(jù)圖象的變換得出的解析式，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)逐一判斷即可.【解答】因?yàn)?，所以，令，得，所以不是對稱軸①錯(cuò)誤，②顯然正確，令，得，取，得，故關(guān)于點(diǎn)對稱，③正確，令，得，取，得，取，得，所以④錯(cuò)誤.所以選項(xiàng)BC正確.故選：BC【點(diǎn)評】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，在解決本類題目時(shí)，一般是把當(dāng)成整體.9．，恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出，的圖象，轉(zhuǎn)化為圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)的條件．【解答】解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出，的圖象（如圖）．過點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，切線方程為，點(diǎn)在切線上，，，要使恰有三個(gè)零點(diǎn)，則，故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的意義及個(gè)數(shù)求解．函數(shù)與方程的思想．利用函數(shù)的圖象可以加強(qiáng)直觀性，本題先由已知條件轉(zhuǎn)化為判斷兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用函數(shù)圖象解決，屬于中檔題．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分．10．在二項(xiàng)式的展開式中，展開式的系數(shù)和為________【答案】32【分析】利用賦值法令即可得到展開式各項(xiàng)的系數(shù)和.【解答】由二項(xiàng)式的展開式知，展開式的系數(shù)和是由展開式的各項(xiàng)的系數(shù)相加，所以得：展開式的系數(shù)和為.故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，求解過程中要學(xué)會(huì)用賦值法進(jìn)行求解，考查對展開式各項(xiàng)系數(shù)的理解和基本的運(yùn)算求解能力.11．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)________．【答案】4【解析】試題分析：考點(diǎn)：純虛數(shù)的概念12．直線與圓相交于,兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值_____．【答案】【解析】試題分析：．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．13．甲，乙，丙三人獨(dú)立破譯同一份密碼．已知甲乙丙各自獨(dú)立破譯出密碼的概率分別為，，，且他們是否破譯出密碼互不影響，則至少有1人破譯出密碼的概率是______．【答案】【分析】設(shè)表示至少有1人破譯出密碼,可得，計(jì)算可得答案.【解答】解：依題意，設(shè)表示至少有1人破譯出密碼，則的對立事件表示三人都沒有破譯密碼，則.故填：．【點(diǎn)評】本題主要考察對立事件的概率和獨(dú)立事件的乘法公式，相對簡單.14．已知m，n，a，，且滿足，，則的最小值為________.【答案】1【分析】設(shè)點(diǎn)，，直線，直線，的最小值可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)間距離的最小值，顯然最小值為兩平行線之間的距離.【解答】設(shè)點(diǎn)，，直線，直線，由題意知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，所以，顯然，所以的最小值就是兩平行線之間的距離，即.故答案為：1.【點(diǎn)評】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查兩平行線之間的距離公式，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于常考題.15．如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．【答案】【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【解答】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意，有.函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令求證：是等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式（Ⅲ）令，（n為正整數(shù)），求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】解:（Ⅰ）由①得②由②—①，得即：---------2分由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是----------4分（Ⅱ）由知，所以，有，即，---------6分而，故是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。所以---------8分（Ⅲ），所以數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減可得-----12分【解析】試題分析：（1）由得2Sn+1=2an+12+an??，兩式相減并整理得，又an>0，所以，由此可得數(shù)列{an}為公差為12的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由得bn+1+試題解析：（1）an=n+12解：（1）由①得②由②—①，得：即：由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是（2）由知，所以bn+1+1有l(wèi)og2即，而c1=log2(b1（3），所以數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）（2）（1）-（2）式錯(cuò)位相減可得考點(diǎn)：1.an與S17．在中，角所對的邊分別為．向量，．已知，．（Ⅰ）求的大?。唬á颍┡袛嗟男螤畈⒆C明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為直角三角形，證明過程詳見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)可得，整理可得或（舍去），遂可得答案；（Ⅱ）根據(jù)正弦定理，可得，代入，整理得或，可證為直角三角形.【解答】解：（Ⅰ）由得即或是的內(nèi)角舍去,（Ⅱ）由正弦定理得：或即或當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以為直角三角形．【點(diǎn)評】本題考查了向量的平行，正弦定理以及三角函數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．18．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．【解答】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且．連結(jié)．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且由知．由知平面．?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)評】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”．19．已知橢圓直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸為半徑的圓相切，為其左右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，的重心為，內(nèi)心為，且．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知為橢圓上的左頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）如下圖所示：先利用三角形的面積的兩種表示方法得出的關(guān)系式，再利用直線直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸為半徑的圓相切，得出的值，聯(lián)立，就可求出的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓方程，并結(jié)合韋達(dá)定理就可求出直線的斜率，進(jìn)而得出直線的方程.試題解析：（Ⅰ）設(shè)，，則又，，，，故．又直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸為半徑的圓相切，，，．．（Ⅱ）若直線斜率不存在，顯然不合題意；則直線的斜率存在．設(shè)直線為，直線和橢圓交于，．將代入中得到：依題意：得或由韋達(dá)定理可知：又而從而求得符合．故所求直線的方程為：考點(diǎn)：1、橢圓、焦點(diǎn)；2、三角形重心、內(nèi)心；3、切線；4、直線方程.20．已知函數(shù)，.（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且.求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）對求導(dǎo)數(shù)，求出可得切線斜率，因?yàn)榍悬c(diǎn)為有，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，，可得，且，，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，進(jìn)而可得結(jié)論.由的關(guān)系，用把表示出來，求出的表達(dá)式