第十三章方差分析的原理

方差分析的原理北京師范大學(xué)心理學(xué)院方差分析(AnalysisofVariance,ANOVA)1928年由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首先提出，方差分析又稱為F檢驗(yàn)。比較各省在收入及教育年數(shù)上的差異。大學(xué)中各年級(jí)的同學(xué)智商是否有別？三種不同的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的成績(jī)是否有影響？綱要1基本概念2研究假設(shè)3分析邏輯4T檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)1基本概念實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中所衡量的基本對(duì)象稱為“實(shí)驗(yàn)單位”

(experimentalunit)。在不同條件下衡量實(shí)驗(yàn)單位的觀察值，這些不同條件稱為“因素”

(factor)。各因子的不同表現(xiàn)程度稱為“水平”

(level)。不同因子的某種特定水平組合稱為“處理”

(treatment)。1基本概念

離差(deviation)：代表任一觀察值Xi與其平均數(shù)的差，即 。變異(variation)：離差的平方，即 ；若將所有變異加總，即構(gòu)成離差的平方和(sumofsquarefordeviation)。方差(variance)：離差的平方和除以自由度，例如︰樣本變異數(shù)，

H0:1=2=3=...=p所有的總體均值相同沒有處理效應(yīng)H1:不是所有

j

都相同至少有1個(gè)總體均值不同存在處理效應(yīng)并非12...

pXf(X)1=2=3Xf(X)1=232研究假設(shè)3分析邏輯如果p組樣本來自同一總體，那么從理論上說組間變異應(yīng)該等于組內(nèi)變異（期望相等），因?yàn)閮烧呔环从畴S機(jī)抽樣誤差方差分析是透過各組樣本內(nèi)的變異與組間變異的比較來檢驗(yàn)各組平均值是否相等的一種方法。3.1變異的計(jì)算3.2變異的比較XGroup1Group2Group3Response,X3.1變異的計(jì)算XX3X2X1Group1Group2Group3Response,X3.1變異的計(jì)算X2X1X3Group1Group2Group3Response,X3.1變異的計(jì)算SSBSSWSSTSumofSquaresWithinSumofSquaresErrorWithinGroupsVariationSumofSquaresBetweenSumofSquaresTreatmentAmongGroupsVariation3.1變異的計(jì)算ThinkingChallenge1證明SST=SSE+SSB.3.2變異的比較總體方差2的估計(jì)量組間變異：

E(MSB)=

2+

>=

2組內(nèi)變異：

E(MSE)=

2。ThinkingChallenge2推導(dǎo)兩種變異的期望3.2變異的比較ANOVAteststatisticFInOne-wayANOVA,theteststatisticsis如果H0為真，分子分母皆為總體方差的無(wú)偏估計(jì)，因此兩者的比率會(huì)十分接近1。如果H0為不真，則MSB會(huì)高估總體方差，F(xiàn)值會(huì)大于1。F愈大，H0愈不可能為真。如果假設(shè)為真，則F統(tǒng)計(jì)量依循自由度為(k-1)及(n-k)的F分布。ThinkingChallenge3F分布的性質(zhì)3.2變異的比較ANOVAteststatisticFIfmeansareequal,F=MSB/MSW

1.OnlyrejectlargeF!AlwaysOne-Tail!Fapnp(,)10RejectH0DoNotRejectH0FFtabledfbetween

(分子)dfwithin(分母)4T檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)在比較多組總體的平均值時(shí)，我們通常不采用兩兩比較的方式，主要的原因有二：一、這種做法太浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)楸容^幾個(gè)總體可能產(chǎn)生很多的比較組，例如比較五個(gè)總體的平均值差異，如果以兩兩比較的方式，我們必須進(jìn)行C52=10次的t-test。二、如果每組的顯著性水平皆為α，則全體比較的顯著性水平會(huì)高于α。

4T檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)假設(shè)我們?cè)?05的顯著性水平下要檢驗(yàn)虛擬假設(shè)：H0:u1=u2=u3如果拆成下列三組虛擬假設(shè)：H0:u1=u2,H0:u1=u3,H0:u2=u3每個(gè)假設(shè)被“接受”的機(jī)率為.95，三個(gè)假設(shè)全部被接受的機(jī)率為.953=.857，也就是說當(dāng)假設(shè)為真但被推翻的機(jī)率為(1-0.857)=0.143>0.05遠(yuǎn)高于顯著水平。

’=1-(1-)m4T檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)如果只比較兩組總體的平均值時(shí)，該采用T檢驗(yàn)還是F檢驗(yàn)？檢