概率論在實際生活中的應用

YibinUniversity本科生畢業(yè)論文題目概率論在實際生活中的應用系別 數(shù)學學院 專 業(yè) 數(shù)學教育 學生學 號 年級指導教師職稱教務處制表2015年6月3日概率論在實際生活中的應用摘要概率論是從數(shù)量上研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學學科,是對隨機現(xiàn)象進行演繹和歸納的科學。本文介紹了概率統(tǒng)計的某些知識在實際問題中的應用,主要圍繞古典概型,幾何概型,全概率公式等相關知識,探討概率統(tǒng)計知識在工業(yè),保險行業(yè),股票,體育等方面的廣泛應用,進一步揭示概率統(tǒng)計與實際生活的密切聯(lián)系。關鍵字概率論；隨機事件；生活；應用正文概率論是一門相當有趣的數(shù)學分支學科,隨著科學技術的發(fā)展與計算機的普及,它已廣泛地應用于各行各業(yè),成為研究自然科學,社會現(xiàn)象,處理工程和公共事業(yè)的有力工具。目前,概率論與數(shù)理統(tǒng)計的很多原理方法已被越來越多地應用到交通、經(jīng)濟、醫(yī)學、氣象等各種與人們生活息息相關的領域.本文就概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法與思想,在日常生活中的應用展開一些討論,從中可以看出概率方法與數(shù)理統(tǒng)計的思想在解決問題中的高效性、簡捷性和實#/8用性.m常見的重要概念的應用i.i古典概型在實際問題中的應用古典概率通常又叫等可能概率,是指隨機事件中各種可能發(fā)生的結果及其出現(xiàn)的次數(shù),都可以由演繹或外推法得知,而無需經(jīng)過任何統(tǒng)計試驗即可計算各種發(fā)生結果的概率。它是概率里最早的一種最簡單的概率模型,也是應用最廣泛的概率。許多實際問題,都可以將其轉(zhuǎn)化為古典概率加以解決。古典概率的計算公式：如果一次實驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個基1本事件的概率都是；例1口］：將15名新生〔其中有3名優(yōu)秀生隨機地分配到三個班級中,其中一班4名，二班5名，三班6名，求：<1每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率；<23名優(yōu)秀生被分配到一個年級的概率.解：15名新生分別分配給一班4名，二班5名，三班6名的分法有：〔1先將3名優(yōu)秀學生分配給三個班級各一名,共有種分法,再將剩余的12名新生分配給一班3名，二班4名，三班5名，共有 種分法.根據(jù)乘法法則,每個班級分配到一名優(yōu)秀生的分法有 種,所以其對應概率為：<2>用表示事件"3名優(yōu)秀生全部分配到班"中所含基本事件個數(shù)中所含基本事件個數(shù)中所含基本事件個數(shù)由前面的分析知,所以因為匹出」囪互不相容,所以3名優(yōu)秀生被分配到同一班級中的概率為：類似的利用古典概率求解的問題還有很多，比如博彩,產(chǎn)品抽樣調(diào)查等。在利用古典概率求解實際問題時,并不都是這么容易的,許多古典概率的計算相當困難,并且具有一定的技巧性,計算要點是給定樣本,并計算它的總數(shù),再計算有利場合的數(shù)目幾何概型在實際問題中的應用這是一種概率模型。在這個模型下，隨機實驗所有可能的結果是無限的，并且每個基本結果發(fā)生的概率是相同的。例如一個人到單位的時間可能是8:00-9:00之間的任意一個時刻;往一個方格中投一個石子，石子落在方格中任何一點上網(wǎng)試驗出現(xiàn)的結果都是無限多個，屬于幾何概型。一個試驗是否為幾何概型，在于這個試驗是否具有幾何概型的兩個特征——無限性和等可能性,只有同時具備這兩個特點的概型才是幾何概型。古典概率的計算公式：〔1設樣本空間S是平面上某個區(qū)域,它的面積記為口；〔2向區(qū)域S上隨機投擲一點,這里"隨機投擲一點"的含義是指該點落入S任何部分區(qū)域的可能性只與區(qū)域A的面積匚二I成比例,而與區(qū)域A的位置和形狀無關。例，向區(qū)域S上隨機投擲一點,該點落在區(qū)域A的事件仍記為A,則A的概率為:「 L其中口為常數(shù),而r⑸二4〃⑸,于是,得匕二國i,從而a的概率為注：若樣本空間S為一線段或一空間立體,則向S"投點"的相應概率仍可用上式確定,但匚二I應理解為長度或體積。例2[1]：甲、乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就離開.如果每個人可在指定的一小時任意時刻到達,試計算二人能夠會面的概率.解：記7點為計算時刻的0時，以分鐘為單位，口分別記甲、乙到達指定地點的時刻，則樣本空間為回UfHOEJ060,0W了￡60)|.以a表示事件"兩人能會面"，則顯然有,二式元V)I仁心€5,憂一川M20]根據(jù)題意得,只是一個幾何概型問題,于是全概率公式在實際問題中的應用全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率求解問題轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。定理1：設忘an三aI構成一個完備事件組，且匹近q亙z三回則對任一事件B,有利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因或情況及其可能性來求得該事件發(fā)生的概率.下面給出貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題,即一事件已經(jīng)發(fā)生,要考慮引發(fā)該事件發(fā)生的各種原因或情況的可能性的大小.定理2：設匹王五可]構成一個完備事件組,則對任一事件b,有匣叵q有例3[2]:假設有1,2,3,4四個地區(qū)爆發(fā)了某種傳染病,通過對患病人口分布和地理環(huán)境調(diào)研后發(fā)現(xiàn)四個地區(qū)感染此病的概率分別為日,目,0,國現(xiàn)從這四個地區(qū)中隨機找到一個人,那么此人患病的概率是多少?解：令回嶇噩］,%=（此人來自第、地區(qū)［，1=1234由題意可知叫內(nèi)）二j因此,由全概率公式可得；此種類型的問題同樣可以發(fā)散到別的領域。我們不僅可以利用全概率公式來解決如同傳染病類型的問題，還同樣可以用來解決與之類似的比如產(chǎn)品的抽檢之類的問題。2生活中概率統(tǒng)計的具體應用概率統(tǒng)計在工業(yè)生產(chǎn)中的應用：工廠中往往有多條生產(chǎn)線,而在生產(chǎn)流程中間，抽取部分產(chǎn)品,檢查其中不合格品的數(shù)量,就可以推斷出全部生產(chǎn)產(chǎn)品中的不合格品的數(shù)量，以及出現(xiàn)不合格產(chǎn)品的概率,進而推斷出該批次產(chǎn)品能否投入市場。并且在眾多生產(chǎn)線中,不論那一項環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題,工廠的生產(chǎn)都會受到影響,為了盡可能避免問題,減少損失,我們可以利用概率統(tǒng)計中的知識計算出每條生產(chǎn)線的產(chǎn)品和格率,或者在已知故障發(fā)生率的情況下,追究不同生產(chǎn)線應承擔的責任。例4［2］某零件場生產(chǎn)出的產(chǎn)品有3種，規(guī)定ABC產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品概率要分別低于0.01,0.005,0.001的時候才能出廠。某日檢查第一種產(chǎn)品，隨機抽查5個產(chǎn)品中有1個不合格產(chǎn)品。用概率的方法推測這個批次的產(chǎn)品能否出廠？解:把抽查每一個產(chǎn)品看成一個獨立事件,可把問題看成一個典型的概率問題。如果產(chǎn)品符合要求,則其不合格的概率小于0.01,令口=。-0"百一。-0」。抽取5件產(chǎn)品沒有不合格品的概率為回=匚?@乳）0］。9刃’=口,元舊川口呵,若產(chǎn)品符合要求,則抽取樣品中有不合格品的概率為亙叵［更L因此出現(xiàn)不合格品應該是一個小概率事件,當抽取5個出現(xiàn)有1個不合格產(chǎn)品的時候,不合格品出現(xiàn)的概率為0.2,這個批次的A產(chǎn)品不合格率超過了0.01,故這批次產(chǎn)品不能夠直接出廠,需要繼續(xù)檢查。例5、某廠有四個生產(chǎn)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.15、0.2、0.3、0.35,各車間的次品率分別為0.05、0.04、0.03、0.02,。有一戶買了該廠一件產(chǎn)品，經(jīng)檢查是次品，用戶按規(guī)定進行了索賠。廠長要追究生產(chǎn)車間的責任,但是該產(chǎn)品是哪個車間的生產(chǎn)的標志已經(jīng)脫落,那么廠長該如何追究生產(chǎn)車間責任？解：因為不能確定該產(chǎn)品是哪個車間的生產(chǎn)的，因此每個車間都應該負有責任。且各生產(chǎn)車間應負的責任與該產(chǎn)品是各個車間生產(chǎn)的概率成正比。設：以下事件分別表示：口二〃該產(chǎn)品是車間生產(chǎn)的",j=1,2,3,4回="從該廠的產(chǎn)品任取一件恰好是次品"則第j個車間所負的大小表示為條件概率：底I亟衛(wèi)利.由貝葉斯公式得：代入數(shù)據(jù)可得：『如）交*，匣口，陋曰，晅三畫所以：甌正！盛三司根據(jù)以上計算可得出：1、2、3、4車間所負責任的比例分別為0.238、0.254、0.286、0.222。概率統(tǒng)計在保險行業(yè)中的應用：保險行業(yè)是一個對保民有利使保險公司賺錢的行業(yè).保民只需交納少量的保險費，則在保險期間若遇到意外傷害，即得保險公司較大數(shù)額的理賠補償,所以，很多人都愿意參加保險,而保險公司也愿意經(jīng)營這個行業(yè).為什么？理論依據(jù)就是統(tǒng)計推斷原理：小概率事件在少量次試驗中是不會發(fā)生的,但在大量次試驗中是必然發(fā)生的.于是,人們在〃以防萬一〃的心理驅(qū)駛下，都愿意用少量的投資去買個〃平安〃;保險公司則需調(diào)查被保險人群發(fā)生意外傷害死亡和重大疾病的概率,制定投保金額的標準,使保險公司永遠不會虧本.例6叫已知在平安人壽保險公司有10000個人買了保險,在參保的一年參保人死亡的概率為0.006,每人的保險費用為12元/年,若參保人死亡則其家屬可以領取1000元保險金，［1這年保險公司不盈利的概率是多少？〔2保險公司一年的利潤大于40000元的概率是多少？解：設X為一年參保人死亡的人數(shù),則由題可知：從而頤為二郎二60當自迪時就要虧本所以要求的是匣E!囪K由德莫佛-拉普拉斯定理得即保險公司基本不會虧本的。<2〉利潤大于幽切元，即支出要少于I12OOOO二40000匚曬四元,因此死亡人數(shù)不能多于設利潤不少于40000元的概率為口,則例7［引、某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務，被保險人每年需交付保險費160元，若一年發(fā)生重大人身事故，其本人或家屬可獲2萬元賠金.已知該市人員一年發(fā)生重大人身事故的概率為0.005,現(xiàn)有5000人參加此項保險，問保險公司一年從此項業(yè)務所得到的總收益在20萬到40萬元之間的概率是多少？解：記X是5000個被保險人中一年發(fā)生重大人身事故的人數(shù)，則左恒3,其中X_*中由中心極限定理得，后F近似服從w(o,保險公司一年從此業(yè)務所得到的總收益為p.ci6M￡0000-判萬元所求概率為EH囂:f=0.6826概率統(tǒng)計在股票投資中的應用：股市正是一個極大的隨機系統(tǒng),其中許多問題都是一種隨機現(xiàn)象,完全可以用概率論的思想來解釋。而股票投資又是風險投資中的一個重要分支,在股票投資中若能恰當?shù)剡\用概率論的相關知識,必然可以取得令人滿意的效果,從而實現(xiàn)降低風險、增加投資回報率的美好愿望。例8［田：設某公司擁有三支獲利式獨立股票，且三支票獲利的概率分別為0.8、0.6、0.5，求〔1＞任意兩種股票至少有一種獲利的概率；〔2三種股票至少有一種股票獲利的概率；解：設「I分別表示三種股票獲利，依題意卜」相互獨立P仆)=O.W,|gE)=0.6刀C)=0.1，則由乘法公式與加法公式：(1)任意兩種股票至少有一種獲利等價于三種股票至少有兩種股票獲利的概率。＜2＞三種股票至少有一種股票獲利的概率例9、設某公司擁有兩支獲利是獨立的股票，且甲種股票獲利的概率為0.8,乙種股票獲利的概率為0.7,求＜1＞兩種股票都獲利的概率；＜2＞兩種股票至少有一種股票獲利的概率.解：依題意，設A表示"甲種股票獲利",B表示"乙種股票獲利"，且A與B獨立,1m=0.」|P⑻=0,1則由乘法公式與加法公式(1)兩種股票都獲利的概率＜2＞兩種股票至少有一種股票獲利的概率2.4概率統(tǒng)計在體育比賽中的應用：因為,人們對于體育比賽關注和熱愛程度的普遍提高,概率論在體育比賽當中所起到的作用也就會越來越明顯.的確,體育比賽雖然注重的是雙方或多方的體能、技能的較量,但是掌握好概率論對于現(xiàn)代許多體育比賽有很大的幫助。知彼知己,百戰(zhàn)不殆.這的確與數(shù)學有關,在賽制的選擇,輸贏的估計等方面都蘊含著非常豐富的概率知識。

例10口：甲，乙兩人進行乒乓球比賽,每局甲勝的概率為叵三國問對甲而言采取三局兩勝制有利，還是采取五局三勝制有利。設各局勝負相互獨立。解：采取三局兩勝制，甲最終獲勝其勝局情況是"甲甲"或"乙甲甲"或"甲乙甲"。二這三種結局互不相容，于是，由獨立性得，甲最終獲勝的概率為采用五局三勝制，甲最終獲勝,至少需比賽3局〔可能賽三局,也可能賽4局或5局,且最后一局必須是甲勝，而前面甲需勝兩場。例如，共賽四局，則甲的勝局情況是"甲乙甲甲"、"乙甲甲甲"、"甲甲乙甲”，且這三種結局互不相容。有獨立性得，在五局三勝制下甲最終獲勝的概率為而3啖凡卻4=3人1）工37|故當,對甲來說采取五局三勝制較為有利,當口時兩種賽制下甲、乙最終獲勝的概故當,對甲來說采取五局三勝制較為有利,當口時兩種賽制下甲、乙最終獲勝的概率是相同的，都是50%.例11：排球競賽規(guī)則規(guī)定，發(fā)球方贏球時得分，輸球時則被對方奪得發(fā)球權。甲乙兩個排球隊進行比賽,已知當甲隊發(fā)球時，甲隊贏球和輸球的概率分別是0.2和0.8:；當乙隊發(fā)球時，甲隊贏球和輸球的概率都是0.6和0.4，無論哪個隊先發(fā)球，比賽進行到任一對得分時為止,求當甲隊發(fā)球時各隊的得分概率。解：事件A：甲隊發(fā)球時，甲隊贏球 B：乙隊發(fā)球時甲隊贏球。 P[A>=0.2,P<B>=0.6事件C：一開始甲隊發(fā)球時，最后甲隊得分結束語：上面只是列舉了概率在實際生活問題中應用的幾個小片段，其實,在我們的生活中隨處可以見到概率論的影子，小到每天的天氣預報,大到軍事航天，都離不開概率論。通過以上討論我們知道要利用概率知識來指導我們最初科學推論，就必須考慮概率的統(tǒng)計特性，在理性的基礎上進行綜合分析