第八單元多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答

一、填

第八單 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解 的定義域是xy0,xy分析xy0,xy02、二元函數(shù)z 的定義域是y0,x2yy

0y0,x2y3

x,y

2分析

sinxy

sinxyy

y

x4、二元函數(shù)的極限lim1 xx分析lim1xy10x

05、已知fx,y x2y

ftxx2 t2 分析：ftx, tx2 t2x2t2y x26fxyxyyzzx7fxyxyfyx

fxy,xy,xy=xyxyxyxyx

8、已fxy

，則 xylnx 分析：把xy

ln9zfxy

ydzxy

ydx1dy 1分析dzzxdxzydyx2dxx10、已zfxysinxydz,1dxdz,1zx,1dxzy,1dyycosxy,1dxxcosxy,1分析

dx11zfxyx2y2fxy在處當(dāng)x0.1y0.2dz分析dzzx1,1xzy1,1y20.120.2 12、設(shè)uxy

=1x分析uy

1 x x13、設(shè)u

x

，則 = y x 分析 x

1y x14、設(shè)zu2v2，而uxy，vxy。則z=4 x ，y=4y分析zzuzv2u12v12xy2xy u vzzuzv2u12v12xy2xy14 u v15zuv，而uxyvxyz2xz2 分析zzuzvv1u1xyxy u vzzuzvv1u1xyxy2 u v cosx16、設(shè)sinxsinyxy，則 xcos分析x求導(dǎo)得cosxycosyyycosxxcos xy21x17、設(shè)arctanxyy

， x

2xy2 x1

x1xy22

xx

xy21x2xy2

z22x18x2y2z24z0分析x求導(dǎo)得

x2

z2x2zz4z

z2

z2x z

x x

z2

z

z19、設(shè)曲線:xcost,ysin z2t，曲線在t處的切線x1y0z

，曲線在t處的法平面為2z4y0分析：當(dāng)tx01,y00,z0而xtsintt ytcostt zt所以當(dāng)tx切線方程 0

y0

2z4y20zxy，則曲線在1,2,2處的切平面2xyz20,曲線在1,2,2x法

y2

z 分析FxyzxyznFFFy n1,2,22,1,12x1y2z22xyz2x1y2z 21、函數(shù)z3x24y2在點(diǎn)0,0處有極 分析z3x24y20，而在（0，0）z0x222、函數(shù)z 在點(diǎn)0,0處x2分析：因?yàn)椋簔 0，而在（0，0）點(diǎn)，z023、fx,y在點(diǎn)x,y可微分是fx,y在該點(diǎn)連續(xù) 充 條件x,y連續(xù)是fx,y在該點(diǎn)可微分 必 條件

fxy24、zfx,y在點(diǎn)x,y的偏導(dǎo)zz存在是fx,y在該點(diǎn)可微分的_必要條件 zfxy在點(diǎn)xyzz存在的充分條件。 25、zfx,y的偏導(dǎo) 在點(diǎn)x,y存在且連續(xù)是fx,y在該點(diǎn) 充

2 226、函數(shù)zfx,y的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)xy及yx在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)相等的 二、選擇1、選解答：Ayx0y為任意值時(shí)都為間斷點(diǎn)。Bx2y20xCxy0為間斷點(diǎn)。D2、選解答：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮3、選解答：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則存在全微分，所以偏導(dǎo)數(shù)只是全微分的必要條4、選 解答zz

lny

x

ln125、選

解答x0fxfx6、選7、選解答ydxxdyd8、選

xdxydx1dx2y22

xdxydx1dx2y22解答daxbycadxbdyaxfaxxbyycaxbycaxf9、選解答uxy是關(guān)于xy這個(gè)整體的一元函數(shù)，不可10、選xx解答：兩邊對(duì)x偏導(dǎo)，zffz zfxx

z

1解答：zFx,yzGx,yz，分別x,yz求導(dǎo)，得G,G,GF,F,1F或FFF 12、選解答0，0是極值點(diǎn)，是最小值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)。但fx0,0,fy0,0無(wú)意義，所以不是13、選解答fxy不一定可微。法向量為3,1,1。1、求極限 y解：

limxyxy11y2、求極限

xy1 x y1cosx2y2yy

x2y22x2y2 x2y2

2 x2

x,y

x2

x,y0,0

x2

x,y x2x2解zz

12 12

2x 2y

x2y2x24ztanxlny解 x2 1 x yysecy x2 x x x 22 5、求全部二階偏導(dǎo)zsin2ax解z2sinaxbycosaxbyaasin2axz2sinaxbycosaxbybbsin2ax2z acos2 2acos2 2z 2

bcos2 2abcos 2

2bcos2 2 2abcos2 6fxyarctanxyf1 解 1xyxy

1 1y2f0,0

xy2

1xy2xy21xy2 1

1xy

1 21xyx 27、計(jì)算全zsecxy解

0,0xzsecxytanxyy1zsecxytanxydz

zdx

zdy

xytanxyy

11

dxsecxytanxy 1x21x2解

22x在點(diǎn)1,1處的微分

21 11 x

2

22 12 21 1 y1,1 y22

22 dzz dx dy1dx1x y 解

yx2,y1,x0.1,y0.2zdzzfxx,yyfx,f20.1,10.2f41 x

y

14

y2,1

2,11dzz dx dy10.110.21x y 10zuv，而ux2y2vxyzx解zzuzvvuv12xuvlnu u vzzuzvvuv12yuvlnu u v2x2yx2y2xy1xx2y2xylnx2y211、ufxx2,ex解：

f2xfexf z 12x2y3zxyz90x1,y2,z1xyxy解：x2x6zzyz0z2x 1y4y6zzxz0z4y2

z

16z2xy6zy116z16z62xy16z

1 116z262xy4y 1xu u13、求由方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)yu2v2x解：分別x 1u 02ux2v xv 0u y2uxyz 14、求曲線:x2y2z21在點(diǎn)M 2 解：分別x 1dydz 2x2y xxzz

122M 1,1,0 2 x