電路分析基礎(chǔ)教案第8章

1第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法電路分析基礎(chǔ)-李瀚蓀2第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法

第八章阻抗和導納

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

第十章頻率響應(yīng)多頻正弦穩(wěn)態(tài)電路

第十一章耦合電感和理想變壓器

第十二章拉普拉斯變換在電路分析中的應(yīng)用3第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法重提基本結(jié)構(gòu)：

一個假設(shè)→集總模型（電阻電路和動態(tài)電路）兩類約束→VCR+KCL、KVL三大基本方法---模型的類比(第三篇)模型的化簡

3.變換域方法

1.疊加方法

2.分解方法4第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法動態(tài)電路的自由響應(yīng)隨時間增長呈現(xiàn)衰減，這種自由響應(yīng)又稱為瞬態(tài)響應(yīng)，相應(yīng)的電路也稱為漸進穩(wěn)態(tài)電路。通俗說來，這類電路在恒定激勵或正弦函數(shù)激勵下，電路會逐漸穩(wěn)定下來，即達到穩(wěn)定狀態(tài)。正弦函數(shù)激勵的線性漸進穩(wěn)定電路達到穩(wěn)態(tài)時，各處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都是與激勵源具有相同頻率的正弦函數(shù)。5第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法在實際電路中，人們更關(guān)心的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，所以正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析在電工和電子技術(shù)領(lǐng)域中占有十分重要的地位。從信號分析的角度看，任何變化規(guī)律的復雜信號源都可以分解為按正弦規(guī)律變化的各分量相加的形式，可以利用疊加定理分別研究每一個正弦分量激勵下的電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，然后疊加得到總的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法動態(tài)電路的分析方法很多，第二篇介紹了經(jīng)典的時域分析方法。它包含以下兩個主要步驟：（1）依據(jù)電路的兩類約束，即KL定理和元件VCR建立以待求響應(yīng)為變量的非齊次微分方程。（2）找出所需的初始條件，求出微分方程特解。7第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法在第六、七章中討論動態(tài)電路的響應(yīng)時，要求解微分方程，其過程比較煩瑣。是否有更為簡便的分析方法？理論上，動態(tài)電路的分析方法有很多，并不只限于時域分析方法。本課程只涉及到其中的相量分析法和s域（復頻率域）分析法或拉普拉肆變換分析法。8變換與類比變換動態(tài)電路的時域模型→適用于正弦穩(wěn)態(tài)分析→適用于線性動態(tài)電路的一般分析①相量模型1②

s域模型2第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法模型變換的數(shù)學理論基礎(chǔ):歐拉恒等式拉普拉斯變換21變換為9變換與類比類比第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法

①相量模型、②s域模型兩種模型均與電阻模型作類比，從而得以充分利用熟知的電阻電路分析方法。

這是一種手段，較簡便地得到客觀存在的動態(tài)電路時域響應(yīng)。10變換與類比第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法

然而，正弦穩(wěn)態(tài)電路也有其特殊性，簡單的類比不能解決正弦穩(wěn)態(tài)分析的所有問題。如：單一頻率的正弦穩(wěn)態(tài)功率與能量的分析；多頻率正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析；耦合電感電路的分析。

上述所列就是隨后要解決的三個問題，而問題的關(guān)鍵是如何繼續(xù)使用相量法。11第八章阻抗和導納

第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法12第八章阻抗和導納

1變換方法的概念

2相量（解析）法

3相量圖（解）法

13第一節(jié)變換方法的概念

第八章阻抗和導納

14變換方法的基本思想方法：（1）把原來的問題變換為一個較為容易處理的問題。（2）在變換域中求解問題。（3）把變換域中求得的解答反變換為原來問題的解答。

§8-1變換方法的概念

原來的問題原來問題的解答變換域的問題變換域問題的解答直接求解求解變換反變換變換方法的思路復雜簡單簡單簡單15

§8-1變換方法的概念

變換方法舉例----并不陌生！

由此例可知：（a）變換方法可使運算簡化；（b）與直接求解不同，需經(jīng)三個步驟；（c）要知道如何“變換”和“反變換”。求解解：⑴取對數(shù)（變換）2.35lgx=lg5⑵運算（除法）⑶答案（反變換）很難求出：x=51/2.3516

§8-1變換方法的概念

在分析線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，用三角函數(shù)或波形描述比較直觀。如：uC(t)=cos(2t)+（1/8）sin(2t)（V）=1.01cos(2t-7°)（V），t≥0但經(jīng)常遇到正弦信號的代數(shù)問題以及微分、積分運算，利用三角函數(shù)關(guān)系進行正弦信號的這些運算相當麻煩。17

§8-1變換方法的概念

為此，借用復數(shù)表示正弦信號，可使正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計算得到簡化——使正弦量的運算變?yōu)閺蛿?shù)的代數(shù)運算。這就構(gòu)成了正弦穩(wěn)態(tài)分析的基本工具——相量法。18

§8-1變換方法的概念

相量法：相量法的基礎(chǔ)是數(shù)學中的變換概念和復數(shù)運算。（1）原來的問題求解動態(tài)電路中的正弦穩(wěn)態(tài)問題。直接求解微分方程十分困難、繁瑣。（2）變換域的問題將時域問題變換為相量域中，在相量法中用相量（復數(shù)）表示時間t的正弦量。19

§8-1變換方法的概念

（3）變換域求解問題將三角函數(shù)運算變換為復數(shù)運算，這樣就將電路微分方程的求解就可以簡化為復系數(shù)代數(shù)方程的求解。將時域電路變換為對應(yīng)的相量模型，則由相量模型列出的KCL、KVL、VCR與電阻電路在形式上完全相同，因此可以運用電阻電路（靜態(tài)電路）的分析方法來處理正弦穩(wěn)態(tài)問題。20本節(jié)要點：變換的概念和步驟。

§8-1變換方法的概念

21第二節(jié)復數(shù)第八章阻抗和導納

22

§8-2復數(shù)本章介紹相量法。相量法是線性電路正弦穩(wěn)態(tài)分析的一種簡單易行的方法。相量法可分為解析法和圖解法，前者是主要的，后者只是子方法?；A(chǔ)在于把正弦函數(shù)變換為相量，相量實際上就是一個復數(shù)。復數(shù)及其運算是相量法的數(shù)學基礎(chǔ)。本節(jié)先對復數(shù)的有關(guān)知識做簡要回顧。23

§8-2復數(shù)1、復數(shù)的表示方式一個復數(shù)有多種表示形式。（1）直角坐標形式：A=a1+ja2其中，a1和a2分別為復數(shù)A的實部和虛部；j=(-1)1/2為虛數(shù)單位。復數(shù)A在復平面上是一個坐標點，常用原點至該點的向量表示，如圖所示。24

§8-2復數(shù)橫坐標為a1、縱坐標為a2的點；或用長度為a，與實軸正方向的夾角為θ的向量A表示。其中，矢量的長度|A|稱為復數(shù)的A的模，矢量和實軸正方向的夾角θ稱為復數(shù)幅角。25

§8-2復數(shù)（2）極坐標形式：A=a∠θ由圖可得：A=|A|∠θ，其中，a=|A|=（a21+a22）1/2，a稱為復數(shù)A的模，它總是非負值。θ=arctan(a2/a1),θ稱為復數(shù)A的幅角。26

§8-2復數(shù)（3）三角形式：A=a(cosθ+jsinθ)又因為：a1=|A|cosθ，a2=|A|sinθ；所以，復數(shù)A有三角函數(shù)形式：A=|A|cosθ+j|A|sinθ=a(cosθ+jsinθ)。其中，a=|A|=（a21+a22）1/2，a總是非負值。27

§8-2復數(shù)（4）指數(shù)形式：A=aejθ根據(jù)歐拉公式：ejθ=cosθ+jsinθ，復數(shù)的三角函數(shù)形式可轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)形式，即：A=a(cosθ+jsinθ)=aejθ。其中，a=|A|=（a21+a22）1/2，a總是非負值。28

§8-2復數(shù)復數(shù)的四種數(shù)學表示形式是等價的，因此，復數(shù)A=a1+ja2可進行如下相互轉(zhuǎn)換：A=a1+ja2;a1=acosθ，a2=asinθ;a=(a21+a22)1/2;θ=arctan(a2/a1)。29

§8-2復數(shù)2、復數(shù)的四則運算設(shè)A=a1+ja2，B=b1+jb2；或A=aejθa，B=bejθb。（1）相等A=B對于直角坐標形式：若a1=b1，a2=b2，則A=B；對于極坐標形式、三角形式、指數(shù)形式：若a=b，θa=θb，則A=B；30

§8-2復數(shù)+j0+1ABC=A+B+j0+1ABC=A-B-B可見，復數(shù)的加減運算用直角坐標形式進行較為簡單。（2）加減A±BA±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)復數(shù)的加減運算也可以在復平面上用圖形來表示，符合平行四邊形求和法則。31

§8-2復數(shù)可見，復數(shù)的乘除運算用極坐標形式進行較為簡單。（3）相乘A·B=(a1+ja2)(b1+jb2)=(a1b1-a2b2)+j(a2b1-a1b2),或A·B=aejθa·bejθb=abej(θa+θb),可見，復數(shù)用極坐標表示相乘時，其模相乘，其幅角相加。（4）相除A/B=(a1+ja2)/(b1+jb2)=(a1b1+a2b2

)/(b12+b22)+j(a2b1-a1b2)/(b12+b22),或A/B=aejθa·/(bejθb)=(a/b)ej(θa-θb),可見，復數(shù)用極坐標表示相除時，其模相除，其幅角相減。32

§8-2復數(shù)+j0+1θaC=A·BθbBAθba·b+j0+1θaA/BθbBAθba/b復數(shù)的乘除也可以用圖解表示，復數(shù)的乘除表示為模的放大或縮小，幅角表示為逆時針旋轉(zhuǎn)或順時針旋轉(zhuǎn)。33

§8-2復數(shù)3、旋轉(zhuǎn)因子ejθ復數(shù)ejθ=1∠θ是一個模等于1，幅角為θ的復數(shù)。任意復數(shù)A=aejθ乘以ejθ等于把復數(shù)A逆時針旋轉(zhuǎn)了一個角度θ，而A的模值不變，所以ejθ稱為旋轉(zhuǎn)因子。0+j+12θθ1aej2θa34

§8-2復數(shù)根據(jù)歐拉公式：ejθ=cosθ+jsinθ不難得出：ejπ/2=j，e-jπ/2=-j，e-jπ=-1。因此，“±j”和“-1”都可以看作是旋轉(zhuǎn)因子。例如，一個復數(shù)乘以j，等于把該復數(shù)在復平面上逆時針旋轉(zhuǎn)π/2；一個復數(shù)除以j，等于該復數(shù)乘以-j，因此等于把它順時針旋轉(zhuǎn)π/2。35本節(jié)要點：（1）復數(shù)的表數(shù)方法；（2）復數(shù)的運算方法。

§8-2復數(shù)36第三節(jié)振幅相量

第八章阻抗和導納

37

§8-3振幅相量

回顧：如前所述，正弦電壓可表示為：u(t)=Umcos(ωt+Ψu)=Umcos(2πft+Ψu)=Umcos(2πt/T+Ψu)

其中，振幅Um、角頻率ω（或頻率f、周期T）和初相Ψu稱為正弦波的三特征。正弦激勵下電路的穩(wěn)定狀態(tài)稱為正弦穩(wěn)態(tài)。38

§8-3振幅相量

1、振幅相量的引入由于在正弦穩(wěn)態(tài)(sinusoidalsteadystate，簡稱sss)電路中，所有電壓、電流均為與激勵同頻率的正弦函數(shù)。在已知頻率的情況下，正弦波的三個特征參數(shù)降為兩個。因此在正弦穩(wěn)態(tài)（sss）電路中所有響應(yīng)與激勵僅在振幅、初相方面有差別。39

§8-3振幅相量

2、歐拉恒等式利用歐拉恒等式：ejθ=cosθ+jsinθ，式中θ為一實數(shù)?？梢园堰@一公式推廣到θ為t的實函數(shù)的情況，如：θ=ωt，其中ω為常量，單位為（rad/s），因此有：ejωt=cos（ωt）+jsin（ωt）40

§8-3振幅相量

ejωt=cos（ωt）+jsin（ωt）這一公式就把一個實變數(shù)復指數(shù)函數(shù)與兩個實變數(shù)t的正弦函數(shù)相聯(lián)系。這樣，就可以把時間t的正弦函數(shù)變換為復數(shù)。即可以把給定ω的正弦函數(shù)變換為復平面上的相量。41

§8-3振幅相量

3、正弦量的相量表示法ejωt=cos（ωt）+jsin（ωt）由上式可知：cos（ωt）=Re（ejωt）sin（ωt）=Im（ejωt）設(shè)，u（t）=Umcos（ωt+Ψu）因此有:u（t）=Re（Umejωt+Ψu）=Re（UmejωtejΨu）=Re（?mejωt）=Re（?m∠ωt）其中，?m=UmejΨu=Um∠Ψu。42

§8-3振幅相量

這是一個與時間無關(guān)的復值函數(shù)，其模為該正弦電壓的振幅，幅角為該正弦函數(shù)的初相。在電路分析中，把這樣一個表征正弦量的復數(shù)稱為相量。為了區(qū)別一般的復數(shù)，在相量符號上加“?”或“o”。Um=UmejΨu=Um∠Ψu?把相量表示在復平面上，稱為相量圖。+j0+1UmUmΨu?43

§8-3振幅相量

4、振幅相量在規(guī)定參考方向后，所有響應(yīng)、激勵acos(ωt+θ)或asin(ωt+θ)均可用一個極坐標形式的復數(shù)來表征：a∠θ。模a表明正弦量的振幅；輻角θ表明正弦量的初相。賦予這一物理意義的復數(shù)，稱為表征正弦函數(shù)的（振幅）相量。44

§8-3振幅相量

—是一個與時間無關(guān)的復值常數(shù)，包含振幅和初相兩種信息，稱為u(t)的（振幅）相量。mU?mm)cos(UtU=∠?+yuyuwmU?以電壓u(t)為例：mm)cos(ItI=∠?+yiyiwmI?同樣，也有電流振幅相量：45由于正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各處的電壓和電流都是同頻的正弦量，而頻率通常是已知的，因此電壓和電流由其振幅和初相確定。而電壓振幅相量?m和電流振幅相量?m恰好含有這兩個量。所以?m和?m可以完全表征正弦穩(wěn)態(tài)電路中的正弦量。

§8-3振幅相量

46因此，只要知道正弦信號就可以直接寫出它的相量；反之，若已知表征信號的正弦信號的相量，也可以直接寫出它的時間表達式。

§8-3振幅相量

如：已知正弦信號為：u(t)=8cos(ωt-30°)，則相量形式為：又如：已知相量形式為：Um=8e-j30°=8∠-30°?Im=5ej45°=5∠45°?則正弦信號為：i(t)=5cos(ωt+45°)。47但是：相量和正弦信號之間只能說明存在對應(yīng)關(guān)系或數(shù)學變換關(guān)系，不能說相量等于正弦量。

§8-3振幅相量

注意：相量與物理學中的向量（矢量）是兩個不同的概念：前者表示時域中的正弦量，而后者表示空間內(nèi)具有大小和方向的物理量。m)cos(tU+yuwmU=∠yumU?相量必須乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt并取實數(shù)后才等于所對應(yīng)的正弦信號。m)cos(tU+yuw=ejωt)mU?Re(48相量在復平面上的圖示稱為相量圖：（1）首先應(yīng)該畫出參考坐標系，這個坐標系可以用相互垂直的實軸和虛軸表示；（2）畫出原點和一個表示參考相量的射線；（3）實軸的方向為參考相量的方向。

§8-3振幅相量

Um=8e-j30°=8∠-30°?Im=5ej45°=5∠45°?+j+18∠-30°5∠45°045°30°49

§8-3振幅相量

例題已知：i1(t)=5cos(314t+60°)A，i2(t)=-10sin(314t+60°)A，i3(t)=-4cos(314t+60°)A，相量圖（示）如右圖。解：首先設(shè)定參考相量：設(shè)cosωt的相量表示式為1∠0°，則：（1）i1(t)=5cos(314t+60°)A，振幅相量表達式為：5cos(314t+60°)?5∠60°；試寫出代表這三個正弦電流的(振幅)相量及相量圖示。50

§8-3振幅相量

（2）i2(t)=-10sin(314t+60°)A，振幅相量表達式為：-10sin(314t+60°)=10cos(314t+60°+90°)=10cos(314t+150°)?

10∠150°；

（3）i3(t)=-4cos(314t+60°)A，振幅相量表達式為：

-4cos(314t+60°)=4cos(314t+60°+180°)=4cos(314t+240°)=4cos(314t-120°)?

4∠-120°；相量圖示（略）見教材。51注意:

§8-3振幅相量

（a）解中“?”不得寫作“=”。u(t)與?m、i(t)與?m是不相等的。若u(t)?

?m表明，u(t)=Re（?m∠ωt）時間t的正弦函數(shù)屬于時域，而振幅相量屬于復數(shù)域。給定頻率的正弦時間函數(shù)（時間域）和振幅相量（復數(shù)域）之間是一一對應(yīng)的，但不是相等的關(guān)系。52

§8-3振幅相量

（b）ω=314rad/s，相量本身并不包含ω這一因素。正弦穩(wěn)態(tài)(sss)電路中所有正弦量的ω都是一樣的，毋需表明。相量與旋轉(zhuǎn)因子ejωt（模值為1，幅角ωt隨時間成正比地增加）的乘積則是時間t的復值函數(shù)，可以把它視為相量在復平面上以逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角速度。53

§8-3振幅相量

（c）設(shè)定參考相量。若設(shè)定時域函數(shù)cos(ωt)可用復數(shù)域1∠0°表示，則sin(ωt)在復數(shù)域的表示為1∠90°。這是因為，要先將sin(ωt)轉(zhuǎn)化為cos(ωt)，然后再寫相量：sin(ωt)=-cos(ωt+90°)當然也可以設(shè)sin(ωt)用1∠0°，但在同一問題中不能同時采用兩種標準。54

§8-3振幅相量

（d）相量圖代替波形圖，表明振幅和初相，簡便直觀！但精度不夠。正弦函數(shù)變換為相量的理論根據(jù)是歐拉恒等式。+j0+1UmUmΨu?55

§8-3振幅相量

5、相量分析法相量分析法是一種專用以分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的變換方法。相量法的應(yīng)用基礎(chǔ)是：只有頻率相同的正弦量之間才能用相量進行運算。56

§8-3振幅相量

在直流電阻電路中，在規(guī)定參考方向后所有響應(yīng)、激勵均可用一個實數(shù)（正數(shù)、負數(shù)或零）來表示。實數(shù)可以用直線上的點來表示，表征一個物理量特征；而復數(shù)則要用復平面上的點來表示。故復數(shù)可用來表示物理量的兩個“特征”。57

§8-3振幅相量

例題：正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖所示，已知i1(t)=5cos(ωt+36.9°)，i2(t)=10cos(ωt-53.1°)，求電流i(t)。解：首先設(shè)定參考相量：設(shè)cosωt的相量表示式為1∠0°。i1i2iN1N258

§8-3振幅相量

i(t)=i1(t)+i2(t)=5cos(ωt+36.9°)+10cos(ωt-53.1°)=Re（?1mejωt）+Re（?2mejωt）=Re[（?1mejωt）+（?2mejωt）]=Re[（?1m+?2m）ejωt]=Re（?mejωt）i1i2iN1N259

§8-3振幅相量

其中：?m=?1m+?2m

=5∠36.9°+10∠-53.1°=(4+j3)+(6-j8)=10-j5=11.18∠-26.6°因此，可得：i(t)=11.18cos(ωt-26.6)A。（解畢）例題證明了同頻率正弦量的相加，其結(jié)果仍然是一個同頻率的正弦量。i1i2iN1N260本節(jié)要點：（1）振幅相量概念；（2）振幅相量的表示；

§8-3振幅相量

61第四節(jié)相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

第八章阻抗和導納

62§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

1、相量的線性性質(zhì)

例題：正弦穩(wěn)態(tài)（sss）電路的某節(jié)點如圖所示。已知：63§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

解：方法一、用時域分析方法。可見,同頻率正弦量之和仍為一同頻率的正弦量未知量i3可根據(jù)KCL求得：

由：得：64§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

方法二：用相量分析方法?？稍O(shè)想：i1、i2和i3的關(guān)系可用相量表示，即：m3m2m1III·=+··m343.3372.4464.2432.37Ij·o=∠=+=從而有：i3（t）=44.72cos（ωt+33.43°）設(shè)定參考相量：設(shè)cosωt的相量表示式為1∠0°，則：65§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

上述例子反映了相量的一個重要性質(zhì)，即：線性性質(zhì)：表示若干個同頻率正弦量（可帶有實系數(shù)）線性組合的相量等于表示各個正弦量的相量的同一線性組合。如設(shè)正弦量為：f1(t)=Re(?1ejωt)，f2(t)=Re(?2ejωt)，即：f1(t)?

?1，

f2(t)??2設(shè)a1和a2為兩個實數(shù)，則正弦量a1f1(t)+a2f2(t)可用相量a1?1+a2?2表示。即：a1f1(t)+a2f2(t)?a1?1+a2?2668-82、基爾霍夫定律的相量形式線性時不變電路在單一頻率ω的正弦激勵下（正弦電源可以有多個，但頻率必須相同）進入穩(wěn)態(tài)時，各處電壓、電流都為同頻率的正弦量。（1）KCL對于任一節(jié)點，有：Σik=ΣRe(?kmejωt)=0，其中，?km=Ikm∠Ψk，根據(jù)相量的線性性質(zhì)，對正弦穩(wěn)態(tài)（sss）電路KCL可表為：§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

Σ=0mkI·678-8§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

（2）KVL對于任一回路，有：Σuk=ΣRe(?kmejωt)=0，其中，?km=Ukm∠Ψk，因此，對正弦穩(wěn)態(tài)（sss）電路KVL可表為：Σ=0kmU·結(jié)論：在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，KL定理可直接用電流振幅相量和電壓振幅相量寫出。需要強調(diào)的是，上式表示的是振幅相量的代數(shù)和為零，切不可誤認為是振幅的代數(shù)和為零。68§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

例題已知：解一：

求：

運用三角方法求解，類似(1)，從略。

解二：運用KVL相量形式，

省略下標m。分三步：(c)。(b)、(a)、bcabacUUU···+=69§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

(a)把已知正弦量變換為對應(yīng)的相量。

若選定以cos為標準,sin必須先化為cos，即：得對應(yīng)的相量：V)66.8j5(6010+-=∠-=?o·ababUuV)4j93.6(120-90°8+=∠=?o·bcbcUu由時域變量：70§8-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

(b)復數(shù)運算(c)反變換變換與反變換均極為容易！原來的三角運算→復數(shù)的代數(shù)運算。更大的好處還在后面?。?！V3.6704.566.4j93.1°-∠=-=+=bcabacUUU···71相量分析方法的步驟：（1）變換：將時域變量變換為復域的相量；（2）復數(shù)運算：應(yīng)用KL定理進行求解（代數(shù)和運算）；（3）反變換：將相量結(jié)果反變換為時域變量?！?-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

72本節(jié)要點：（1）相量的線性性質(zhì)；（2）KL定理的相量形式；（3）相量分析?！?-4相量的線性性質(zhì)和基爾霍夫定律的相量形式

73第五節(jié)三種基本電路元件VCR的相量形式第八章阻抗和導納

74

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式Um·=Um∠ΨuIm·=Im∠Ψi在關(guān)聯(lián)參考方向下，線性時不變電阻、電容和電感元件的VCR分別為：uR=RiR，iC=C(duC/dt)，uL=L(diL/dt)在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，這些元件的的電壓、電流都是同頻率的正弦波。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，設(shè)元件兩端的電壓和流過的電流為關(guān)聯(lián)參考方向，可表示為：u(t)=Umcos(ωt+Ψu)，i(t)=Imcos(ωt+Ψi)對應(yīng)的相量為：75

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式1、電阻VCR的相量形式（1）時域關(guān)系在正弦穩(wěn)態(tài)（sss）電路中，設(shè)：i=Imcos（ωt+Ψi），u=Umcos（ωt+Ψu），根據(jù)時域VCR歐姆定律：u=Ri，得：

Umcos（ωt+Ψu）=RImcos（ωt+Ψi），表明電阻兩端的電壓和流過的電流：同為正弦波：cos；角頻率同為：ωt；同初相：Ψi=Ψu；振幅關(guān)系：Um=RIm。ωtu,i0波形如圖所示，u、i同時過零且同時達到最大、最小值。76

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式（2）相量形式由：Umcos（ωt+Ψu）=RImcos（ωt+Ψi），從而表明：電壓振幅和電流振幅符合歐姆定律：Um=RIm......①；電壓和電流是同相位的：Ψu=Ψi......②。電壓相量為：?m=Um∠Ψu......③，電流相量為：?m=Im∠Ψi......④，將①②代入③得：相量模型關(guān)系：Um∠Ψu=RIm∠Ψi并考慮到④，得歐姆定理的相量形式：?m=R?m。77

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式+1+j0?m?mΨu=Ψi相量如圖所示。由于電流與電壓同相，故它們在同一直線上。?m=R?m78

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式時域特點：VCR相量形式：u、i同頻率正弦波，且①（振幅關(guān)系）②（相位關(guān)系）即：包含①、②兩關(guān)系。①、②—R在正弦穩(wěn)態(tài)電路的特點來自u與i成比例。mmIRU··=（3）時域與復數(shù)域的比較79

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式例題：4Ω電阻兩端電壓為：u=8cos(314t-60°)V，求電流i。解法一：時域方法。i=u/R=4cos(314t-60°)A；解法二：相量方法。（a）變換，寫出相量形式：?m=8∠-60°，（b）相量運算：?m=?m/R=(8∠-60°)/4=2∠-60°；（c）反變換，寫出時域正弦量：i=2cos(314t-60°)A。（解畢）顯然，對于電阻電路的VCR，時域方法比相量方法簡單。對電阻電路，可以不必采用相量法。80

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式2、電容VCR的相量形式（1）時域關(guān)系VCR時域形式：因此，i=C(du/dt)=-CωUmsin(ωt+Ψu）=CωUmcos(ωt+Ψu+90°）得，Im=CωUm，Ψi=Ψu+90°在sss電路中，設(shè)：

)cos(mutUuyw+=81

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式u=Umcos(ωt+ψu)i=CωUmcos(ωt+Ψu+90°）=Imcos(ωt+ψi)表明電容兩端的電壓和流過的電流：同為正弦波：cos；同頻率變化：ωt；不同初相：Ψi≠Ψu。而Ψi=Ψu+90°表明，電流超前電壓的角度為90°。振幅關(guān)系：Im=CωUm。波形如圖所示。兩者極值不在同一時刻，有90°的相位差。

82

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式i=CωUmcos(ωt+Ψu+90°）=Imcos(ωt+ψi)其中，Im=CωUm表明，電容兩端的電壓和電流振幅關(guān)系不僅與電容參數(shù)C有關(guān)，而且與角頻率ω有關(guān)（與電阻R不同）。當C值一定時，對一定的Um來說：ω越高則Im越大，即電流越容易通過；反之，ω越低則Im越小，即電流越難以通過；當ω=0時，即直流，Im=0，電容相當于開路。這與電容電流與電壓的變化率相關(guān)是符合的。83

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式（2）相量形式u=Umcos(ωt+Ψu）可用相量表示，有：?m=Um∠Ψu；由：i=-CωUmsin(ωt+Ψu）=CωUmcos(ωt+Ψu+90°），得相量模型：?m=ωCUm∠（Ψu+90°）=ωCUm∠Ψu·∠90°=ωC?m∠90°=jωC?m，∠90°=cos90°+jsin90°=j。84

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式

?m=jωC?m，從而表明：電壓振幅和電流振幅關(guān)系：Im=ωCUm，電流相位超前電壓相位：Ψi=Ψu+90°，相量如圖所示。85

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式時域特點：VCR相量形式：u、i同頻率正弦波，且：①（振幅關(guān)系）②（相位關(guān)系）即：

包含①、②兩關(guān)系。①、②—C在sss電路的特點來自i與du/dt成比例。mmIUCj··=w（3）時域與復數(shù)域的比較86

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式①（振幅關(guān)系）頻率ω↑→du/dt↑→電容i↑（電容隔直流、通交流；電容的表現(xiàn)，與頻率有關(guān)！阻容耦合、旁路電容的應(yīng)用。）②Ψi=Ψu+90°（相位關(guān)系）就u的一周期看：u達極大值時，du/dt=0，i也為零；u臨近其零值時，du/dt達到最大，i也達極值。87

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式例題：流過0.5F電容的電流為i(t)=2cos(100t-30°)A。試求電容電壓u(t)，并繪出相量圖。解法一：時域法。u(t)=(1/C)∫-∞t2cos(100t-30°)dt=4∫-∞tcos(100t-30°)dt=0.04sin(100t-30°)=0.04sin(100t-30°-90°+90°)=0.04sin(100t-120°+90°)=0.04cos(100t-120°)V。+1+j0?m?m30°120°88

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式解法二：相量法。①變換為相量：?m=2∠-30°;②相量運算：?m=?m/(jωC)=2∠-30°/50∠90°=0.04∠-120°;③反變換為時域變量：u(t)=0.04cos(100t-120°)V。（解畢）+1+j0?m?m30°120°顯然，對于電容電路的VCR，相量方法比時域方法簡單。因此，對電容電路，應(yīng)該采用相量法。89

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式在sss電路中，設(shè)：3、電感VCR的相量形式（1）時域關(guān)系VCR時域形式：)cos(mitIiyw+=)cos(mutUuyw+=因此，u=L(di/dt)=-LωImsin(ωt+Ψi）=LωImcos(ωt+Ψi+90°）得，Um=LωIm，Ψu=Ψi+90°。90

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式i=Imcos(ωt+ψi)，u=LωImcos(ωt+Ψi+90°）=Umcos(ωt+ψu)表明電感電流和兩端的電壓：同為正弦波：cos；同頻率變化：ωt；不同初相：Ψu≠Ψi。而Ψu=Ψi+90°表明，電壓超前電流的角度為90°；振幅關(guān)系：Um=LωIm。波形如圖所示。兩者極值不在同一時刻，有90°的相位差。

ωti,u90°Ψiiu091

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式u=LωImcos(ωt+Ψi+90°）=Umcos(ωt+ψu)其中，Um=LωIm表明，電感兩端的電壓和電流振幅關(guān)系不僅與電感參數(shù)L有關(guān)，而且與角頻率ω有關(guān)（與電容C相似）。當L值一定時，對一定的Im來說：ω越高則Um越大，即電流越不容易通過；反之，ω越低則Um越小，電流越容易通過；當ω=0時，即直流，Um=0，電感相當于短路。這與電感電壓與電流的變化率相關(guān)是符合的。92

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式（2）相量形式i=Imcos(ωt+Ψi）可用相量表示，有：?m=Im∠Ψi；由u=LωImcos(ωt+Ψi+90°），得：?m=ωLIm∠（Ψi+90°）=ωLIm∠Ψi·∠90°=ωL?m∠90°=jωL?m，∠90°=cos90°+jsin90°=j，93

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式

?m=jωL?m，從而表明：電流振幅和電壓振幅關(guān)系：Um=ωLIm，電壓相位超前電流相位：Ψu=Ψi+90°，相量如圖所示。94

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式時域特點：VCR相量形式：u、i同頻率正弦波，且：①Um=ωLIm（振幅關(guān)系）②Ψu=Ψi+90°（相位關(guān)系）即：

包含①、②兩關(guān)系。①、②—L在sss電路的特點來自u與di/dt成比例。mmUILj··=w)cos()90cos(mmuitUtLIdtdiLuywyww+=°++==uiULIyyw∠=+∠mm90ouiULIjyyw∠=∠mm（3）時域與復數(shù)域的比較95

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式①Um=ωLIm（振幅關(guān)系）頻率ω↑→di/dt↑→電感u↑（電感短路直流、阻隔交流；電感的表現(xiàn)，與頻率有關(guān)！扼流圈的應(yīng)用。）就i的一周期看：i達極大值時，di/dt=0，u也為零；i臨近其零值時，di/dt達到最大，u也達極值。ωti,u90°Ψiiu0②Ψu=Ψi+90°（相位關(guān)系）96+1+j0?m?m50°140°

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式例題：4H電感兩端電壓為u(t)=8cos(100t-50°)V。試求電感電流i(t)，并繪出相量圖。解法一：時域法。i(t)=(1/L)∫-∞t8cos(100t-50°)dt=2∫-∞tcos(100t-50°)dt=0.02sin(100t-50°)=0.02sin(100t-50°-90°+90°)=0.02sin(100t-140°+90°)=0.02cos(100t-140°)V。97

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式解法二：相量法。①變換為相量：?m=8∠-50°;②相量運算：?m=?m/(jωL)=8∠-50°/400∠90°=0.02∠-140°;③反變換為時域變量：i(t)=0.02cos(100t-140°)V。（解畢）+1+j0?m?m50°140°顯然，對于電感電路的VCR，相量方法比時域方法簡單。因此，對電感電路，應(yīng)該采用相量法。98實際上，由電容的VCR：直接利用對偶關(guān)系也可得：包含：

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式mmILjU··w=mmIUCj··=w99

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式例題

電路如圖，已知：利用時域或相量方法，即根據(jù)：解：(a)KCL時域形式：或(b)KCL相量形式：，、、mmmmmmLCRILjUUCjIRUI······ww===100

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式+選用相量法(b)。（1）相量變換。

A908o··∠==RUImRmA18010o··∠==mCmUCjIwA04o··∠==LjUImLmw（2）相量計算。由KCL得：?m=?Rm+?Cm+?Lm=8∠90°+10∠180°+4∠0°=j8-10+4=-6+j8=10∠127°A；?m=120∠90°101（3）反變換。列寫i(t)：相量圖表明了：①相位關(guān)系。②KCL。

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式+得：A12710o·∠=mI（解畢）102

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式4、受控源的相量形式如果線性受控源的控制電壓或電流是正弦量，則受控源的電壓或電流將是同一頻率的正弦量。

以VCCS為例，時域關(guān)系為：ij=guk，則相量形式為：?jm=g?km，其他受控源的相量形式與此類似。1035、相量分析（邱關(guān)源P216）應(yīng)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，其電路的相量形式與電阻電路相似。因此，線性電阻電路的各種分析方法和電路定理可推廣用于線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析。差別僅在于所得電路方程為以相量形式表示的代數(shù)方程以及用相量形式描述的電路定理，而計算則為復數(shù)運算。

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式104

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式例題：如圖電路中，iS=5cos(1000t+30°)A，R=30Ω，L=0.12H，C=12.5μF，求電壓uad和ubd。RLCiS+uR-+uL-+uC-bcda解：（1）變換，寫出相量形式。?Sm=5∠30°，?Rm=R?Sm=30×5∠30°=150∠30°，?Lm=jωL?Sm=j1000×0.12×5∠30°=600∠（30°+90°）=600∠120°，?Cm=(1/jωC)?S=-j400∠30°=400∠（30°+270°）=400∠-60°；105

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式（2）相量運算。根據(jù)KVL得：?bdm=?Lm+?Cm=600∠120°+400∠-60°=200∠120°，?adm=?Rm+?bdm=150∠30°+200∠120°=250∠83.13°；（3）反變換，列寫時域表達式。ubd=200cos(1000t+120°),uad=250cos(1000t+83.13°)。（解畢）RLCiS+uR-+uL-+uC-bcda106

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式從例題中可以看出，當串聯(lián)電路中同時存在電感、電容時，其結(jié)果與電阻電路相比存在明顯差異。這是因為感抗（ωL）和容抗（1/(ωC)）不僅與頻率的關(guān)系彼此相反，而且在串聯(lián)是有互相抵消的作用。在一定條件下，電感和電容的電壓可能會出現(xiàn)高于總電壓的情況，如上列中的UL、UC都比總電壓Uad高很多，這些現(xiàn)象在電阻電路中是不可能出現(xiàn)的。107本節(jié)要點：（1）電阻VCR的相量形式；（2）電容VCR的相量形式；（3）電感VCR的相量形式。

§8-5三種基本電路元件VCR的相量形式108第六節(jié)VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入第八章阻抗和導納

109§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入

前面已討論了三種基本元件的VCR相量形式以及KL相量形式。

但若要把已熟悉的電阻電路的分析方法全面“應(yīng)用”到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，還需要引入穩(wěn)態(tài)電路的阻抗、導納概念（§8-6）以及電路的相量模型（§8-7）。110§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入

記憶三個基本元件VCR的相量形式甚感不便，亟需解決！111§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入在關(guān)聯(lián)參考方向時，三種基本元件VCR的相量形式為：mmCj··w=1mmRU··=IUmmLjU··w=IIZ/Y可否用統(tǒng)一的形式來描述？即：?m=Z?m或?m=Y?m112§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入1、元件阻抗的定義對sss電路中任一元件，阻抗定義：元件在正弦穩(wěn)態(tài)時的電壓振幅相量與電流振幅相量之比為該元件的阻抗。mmIUZ··=Z=(Um/Im)∠(Ψu-Ψi)=|Z|∠Ψz，其中，Z稱為復阻抗，其模|Z|稱為阻抗模，幅角Ψz稱為阻抗角。注意：Z不是正弦量，只是一個復數(shù)，故不在Z上加“?”！113亦即元件VCR可統(tǒng)一表示為：§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入上式與電阻的歐姆定律相似，稱為歐姆定律的相量形式。其中阻抗具有電阻量綱，單位是歐姆，是一個復數(shù)。mmZ··=IU電阻、電容、電感的阻抗分別為：ZR=R，ZC=1/(jωC)，ZL=jωL。

1142、元件導納的定義定義導納Y為阻抗的倒數(shù)：元件VCR也可表為：§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入mmUYI··=同樣：Y不是正弦量，只是一個復數(shù)，故不在Y上加“?”！Y=(Im/Um)∠(Ψi-Ψu)=|Y|∠ΨY，其中，Y稱為復導納，其模|Y|稱為導納模，幅角ΨY稱為導納角。115§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入上式為歐姆定律相量形式的另一種表示。其中導納具有電導量綱，單位是西門子，也是一個復數(shù)。電阻、電容、電感的導納分別為：YR=1/R=G，YC=jωC，YL=1/(jωL)。

亦即元件VCR可統(tǒng)一表示為：mmY··=UI116§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入在電路的時域分析中，用R、L、C表明元件的特性；在sss電路的相量(域)分析中，統(tǒng)一用Z或Y表明元件的特性。Z視具體元件而定（需記?。。┯涀，即可寫出Y。元件RCLZRY1/RCjωLjω1Cjω1Ljω1173、元件電抗和電納的引入（1）電抗電容和電感的阻抗均為虛數(shù)，可表示為Z=jX，X稱為電抗，因此電抗定義為：X=Im[Z]。因此：對電容來說，XC=Im[ZC]=-1/(ωC)；對電感來說，XL=Im[ZL]=ωL。其中XC、XL分別稱為容抗和感抗?！?-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入118（2）電納電容和電感的導納也為虛數(shù)，可表示為Y=jB，B稱為電納，因此電納定義為B=Im[Y]。因此：對電容來說，BC=Im[YC]=ωC；對電感來說，BL=Im[YL]=-1/(ωL)。其中BC、BL分別稱為容納和感納。§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入119§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入4、網(wǎng)絡(luò)端口的阻抗和導納阻抗和導納的概念也可運用于不含獨立電源的、線性時不變元件所組成的二端網(wǎng)絡(luò)。N+-?m?mImUmZ··=UmImY··=或?qū)τ诰€性二端網(wǎng)絡(luò)N，其端口所加的電壓相量?m和電流相量?m之比定義為該網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗Z或?qū)Ъ{Y。若采用關(guān)聯(lián)參考方向，則歐姆定律的相量形式：120§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入以前表述的元件VCR的相量形式，如：?Rm=R?Rm，?Cm=(1/jωC)?Cm，?Lm=jωL?Lm實質(zhì)上只是歐姆定律的特例，是單一元件的歐姆定律。用阻抗Z或?qū)Ъ{Y表示的歐姆定律是一種普遍形式。ImUmZ··=UmImY··=或121§8-6VCR相量形式的統(tǒng)一——阻抗和導納的引入在相量法中，可以用兩種不同類型的等效參數(shù)來表述。復阻抗Z和復導納Y的代數(shù)形式為：Z=R+jX，Y=G+jB其中Z和Y的實部為R和G，稱為等效電阻分量和等效電導分量；虛部為X和B，稱為等效電抗分量和等效電納分量。N+-?m?m+-?m?mZ/Y?m+-?mRjXZ+-?m?mGj