高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-以分析法為主導(dǎo)解、證數(shù)學(xué)問題與以綜合法為主導(dǎo)解、證數(shù)學(xué)問題解析

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除第01講以分析法為主導(dǎo)解、證數(shù)學(xué)問題分析法,又稱逆推法,是由未知(或結(jié)論)追溯到已知條件或真命題的證明方法,即從要證明的結(jié)論出發(fā),依次追溯出一系列使結(jié)論成立的等價命題,當(dāng)追溯出的等價命題是已知條件或真命題時,說明結(jié)論的真實(shí)性,從而證明了原命題的正確性.分析法的優(yōu)點(diǎn)是思考問題的解題思路比較自然,問題容易得到解決,缺點(diǎn)是敘述過程比較煩瑣.典型例題【例1】設(shè),求證.【分析】本例是武漢大學(xué)自招試題,需證的不等式由多個分式組成且字母又多,若運(yùn)用綜合法.即從左邊證到右邊,則根本無法入手，因此需要結(jié)合分析法，化繁為簡.為減少運(yùn)算量，可先移項(xiàng)通分后再展開對消，容易得到一個顯然成立的結(jié)果.故本例采用分析法證明是上策.【證明】欲證明原不等式成立,只需證,即證,即證,即證,即證,而此式顯然成立,故原不等式得證.【例2】在中,.(1)求的值;(2)設(shè)的面積,求的長.【分析】分析法并非局限于證明題,在計算題中同樣適用.第問,欲求的值.由且的值已知,再求出,的值即可.第(2)問,欲求的長.由正弦定理得,可推得.而的值在第(1)問中已求得,只需求或的值,而由,則的值可整體求得,這是一道運(yùn)用分析法解題的典型題目.【解析】(1)(先分析)欲求的值,,故需求的值.(再綜合)..(2)(先分析)欲求的長,由正弦定理可得.由(1)得.故只需求的值.(再綜合)由已知,得則【例3】若是不全相等的正數(shù),求證:.【分析】在證明不等式的過程中.分析法和綜合法是不可分離的，前者是逆推或倒溯,后者是順推，如果使用綜合法證明不等式難以入手時.常用分析法探索證題途徑.然后用綜合法的形式寫出它的證明過程.有些問題證明難度較大,常常是分析與綜合交替使用,比如上例的解法就是如此,也有題目分析法、綜合法兩法并進(jìn),實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的,稱之為“中途島法”本例的證明先要利用對數(shù)運(yùn)算變形,把真數(shù)從對數(shù)中剝離出來,將原不等式轉(zhuǎn)化為,再用基本不等式證明.下面介紹分析法與綜合法兩種證法.事實(shí)上,若沒有對所證不等式的“剝離”變形,綜合法很難想到.【證法一】(分析法)要證,即證成立.只需證又 又是不全相等的正數(shù),(1)式等號不成立.原不等式成立.【證法二】(綜合法)又為不全相等的正數(shù),..即【例4】將數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:記表中的第一列數(shù)構(gòu)成數(shù)列為為數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足.(1)證明數(shù)列成等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)上表中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個正數(shù),當(dāng)時,求上表中第行所有項(xiàng)的和.【分析】本例以三角形數(shù)表和恒等式綜合呈現(xiàn),首先要分析恒等式的結(jié)構(gòu)特征,用換元法轉(zhuǎn)化題設(shè)中的恒等式為含的形式,再整理可得(常數(shù)),這是第問的證明思路.而第(2)問的解題關(guān)鍵是先分析三角形數(shù)表中下標(biāo)序碼的規(guī)律,即探索在三角形數(shù)表中的位置,可用嘗試法探知三角形數(shù)表中第行最后一個數(shù)的下標(biāo)序碼為.當(dāng)時,分別得78,91.由知是第13行第3個數(shù).也可運(yùn)用解不等式的方法進(jìn)行分析探索,即,解得.又,可得,可見分析法在本題的解答中起到重要作用.【解析】(1)證明(先分析,再轉(zhuǎn)化)由已知,當(dāng)時,,又.即即得又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)公差為的等差數(shù)列.通項(xiàng)為即且當(dāng)時,而因此(2)(先分析,后嘗試探究,列方程求公比,再綜合)首先確定是三角形數(shù)表中的第幾行第幾個數(shù).三角形數(shù)表中第行最后一個數(shù)的下標(biāo)序碼為當(dāng)時,分別計算得兩個數(shù).由知是第行第個數(shù),即而三角形數(shù)表中第行第個數(shù)為設(shè)從第行起,每行的公比都為由得解得(取).三角形數(shù)表中第行第個數(shù)為那么該行所有項(xiàng)(實(shí)為項(xiàng))的和為第02講以綜合法為主導(dǎo)解、證數(shù)學(xué)問題綜合法又稱順推法,是由已知條件(或真命題)推導(dǎo)到未知(或結(jié)論)的證明方法,即從已知條件或真命題出發(fā),依次推導(dǎo)出一系列真實(shí)命題,最后達(dá)到所要證明的命題的結(jié)論.綜合法的優(yōu)點(diǎn)是敘述過程簡短明了,缺點(diǎn)是不易找到解決問題的起點(diǎn)(即從哪里開始．)典型例題【例1】已知均為正數(shù),證明:并確定為何值時,等號成立.【分析】用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，這個“因”可以是題中的條件，也可以是已知的公式，本例的證明就是從基本不等式出發(fā)推出需證的不等式.那么從三元的基本不等式出發(fā)還是從二元的基本不等式出發(fā)呢？都是可以的，于是就有了下面兩種綜合法的證明.【解析】【證法一】均為正數(shù),由三元基本不等式得(1)(2)故又(3)原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)時,(1)式和(2)式等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)時，3式等號成立.即當(dāng)且僅當(dāng)時,原式等號成立.【證法二】均為正數(shù),由基本不等式得 同理(1)故原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)時,(1)式和(2)式等號成立,當(dāng)且僅當(dāng)時,(3)式等號成立.即當(dāng)且僅當(dāng)時,原式等號成立.【例2】已知二次函數(shù).(1)若且,證明:的圖像與軸有兩個相異交點(diǎn);(2)若且,證明:方程必有實(shí)根在區(qū)間內(nèi);(3)在的條件下,設(shè)兩交點(diǎn)為,求線段長的取值范圍.【分析】本例以二次函數(shù)為載體證明函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)問題以及相關(guān)方程根的位置,由于二次函數(shù)的圖像特征很明確,從條件出發(fā)運(yùn)用綜合法證明是十分自然的.【解析】(1)證明由,可得,由,可得.的圖像與軸有兩個相異交點(diǎn).(2)證明令,則又的圖像是連續(xù)的,方程,即必有一實(shí)根在區(qū)間內(nèi).(3)設(shè)的兩根為.又又長的取值范圍為【例3】已知是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時,單調(diào)遞增,,設(shè)集合,求.【分析】本題的求解運(yùn)用綜合法,即從的性質(zhì)入手探求集合,再求,如果在審題時作出函數(shù)的示意圖,則對于我們探明所含元素的特征有很大幫助.為了切實(shí)求出,可運(yùn)用換元法使之轉(zhuǎn)化為含參數(shù)不等式在區(qū)間上恒成立問題.為求參數(shù)的取值范圍采取參變分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解,也可以變形后由基本不等式求.【解析】是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時,單調(diào)遞增,,所以當(dāng)時,也單調(diào)遞增,且,于是等價于或.而已知,,由得.令,則,于是問題等價轉(zhuǎn)化為:當(dāng)不等式在上恒成立時,求實(shí)數(shù)的取值范圍.由得.設(shè).【解法一】對函數(shù)求導(dǎo),則.令,解得或(舍去).當(dāng)時為增函數(shù);當(dāng)時,為減函數(shù);當(dāng)時,取得上的最大值,故.【解法二】(當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號).故.【例4】設(shè)圓的圓心為,直線過點(diǎn)且與軸不重合,交圓于兩點(diǎn),過作的平行線交于點(diǎn).(1)證明:為定值,并寫出點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,直線交于兩點(diǎn),過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.【分析】第(1)問,由平面幾何知識易得等于圓的半徑,隱含地告知點(diǎn)的軌跡為栯圓(不包括軸上的兩點(diǎn));第(2)問,當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)出直線的方程,與(1)中求出的橢圓方程聯(lián)立,利用方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出關(guān)于斜率的表達(dá)式,再求出關(guān)于的表達(dá)式,進(jìn)而可得四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式,最后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域,整個解題過程從條件出發(fā)步步推進(jìn),由因探果,第一步:求弦長.第二步:求面積表達(dá)式.第三步:求范圍.還要考慮當(dāng)與軸垂直的情況,此時易得的值,從而問題圓滿解決.本題兩問用的都是綜合法的解題方法,如果解題中避開對直線斜率的討論,可設(shè)的方程為的形式,但此時的不再表示斜率,解題者應(yīng)當(dāng)有清晰的認(rèn)識.【解析】(1)證明如圖1-1所示,,故,,故,又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而.由題設(shè)得,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡