2015屆鉆石卡學(xué)員考研數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練課程講義

一、重點題型解題技巧與典型例 （一）選擇題解題技 （二）填空題解題技 （三）綜合題解題技 二、考研數(shù)學(xué)臨場解題策略及黃金戰(zhàn)術(shù)原 （一）考試時間的把 （二）黃金戰(zhàn)術(shù)原則：六先六后，因人制 （三）面對難題的兩大臨場解題策略：缺步解答和跳步解 屆鉆石卡學(xué)員考點演練——重要題型技巧及應(yīng)試策略一、解題技巧與典型例題（一）選擇題解題技巧2 1f(xf(x)

f()dtln2，則f(x) 2(A)exln e2xln (C)exln e2xln【例2】設(shè)隨量X～t(n)(n1),Y

1，則 X 兩間的關(guān)系或概率關(guān)系題，以及數(shù)理統(tǒng)計中關(guān)于分位點的問題x【例3】如圖，連續(xù)函數(shù)yf(x)在區(qū)間32,23上的圖形分別是直徑1的上、下半圓周，在區(qū)間20,02上圖形分別是直徑為2的F(x)0f(t)dt則下列結(jié)論正確的是()x- F(3)3F4(C)F(3)3F4

F(3)5F4(D)F(3)5F44yf(x函數(shù)在區(qū)間[0,aa0xf'(x)dx a(A)曲邊梯形ABCD面積 (B)梯形ABCD面積 (D)三角形ACD面積對于題干中有""對任意""必""".【例5】當x0時，用“o(x)”表示比x高階的無窮小，則下列式子中 ( xo(x2) o(x)o(x2)o(x3(C)o(x2)o(x2)o(x2 o(x)o(x2)o(x2xxg(x)0f(t)dt的 x(A)跳躍間斷點 (B)可去間斷點 (D)振蕩間斷點7Dxyx2y24x0,y0}f(xDDD(A)ab ab (C2

d f(x) f(f(x) f f(x) f(f(x) f(2【例8】設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，向量1可由1,2,3線性表示，而向量2不能由1,2,3線性表示，則對任意常數(shù)k，必有( 9】以下四個命題中，正確的是()Af(x在（0，1）f(x在（0，1）內(nèi)有界f(x在（0，1）f(x在（0，1）內(nèi)有界f(x在（0，1）f(x在（0，1）內(nèi)有界f(x在（0，1）f(x在（0，1）內(nèi)有界【例】設(shè) 均為非負數(shù)列，liman0,limbn1limcn，則必有() (A)anbn對任意n成 (B)bncn對任意n成(C極限(D極限【例11】設(shè)函數(shù)f(x)處處可導(dǎo)，則

f(x

f(x)

f(xlimf(x)

f(xf(x

f(x)f(x)（二）填空題解題技巧11

2xx2dxP(2X4)0.3PX0)1 2 limf(3h)f(3) 5f(x)

1f(x)dx則1f(x)dx11x 1 x y2 【例6】設(shè)區(qū)域D為xyR，則2 2dxdy D

x4sinxdx2x【例8】22x2dx 9（數(shù)學(xué)一）設(shè)曲面:x

y

1w(x

y)dS10D(xy)x2y2xy1D(xy)dxdy（三）綜合題解題技巧·高等數(shù)學(xué)一、求極限(1)準則xnf(n，則limxnlimf(nlimf 型002)法則3)4)0i型 型：變分式，化成 型：1.通分；2.x1；3.提因子(無窮大t、100000

或型后再使用法則，limuxvxlimelnuxv

limevxlnux計算 型極限的最簡單方法是使用如 limuxvxelim[ux1]vx式中l(wèi)imux1limvx二、已知極限求參數(shù)limg(x)0,limf

A，則limf(x0limf(x)0,limf(x)A0，則limg(x0已知limf(x)g(x)Alimf(x)，則limg(x)0三、無窮小的比較比較,典型例【例1】設(shè)0x13xn1

xn(3xn)(n1,)，證明數(shù)列xn )

n (II)a

lnn(n1,2,，證明數(shù)列a收斂 3f(x連續(xù)，(x)1f(xt)dt且limf(x)A（A為常數(shù) 求'(x并討論'(x在x0處的連續(xù)性g(x)【例4】設(shè)f(x)

x

xg(0)1,g(0)1f(xf(x在(上的連續(xù)性一、含中值等式證明題1(abf(0f(0對f(x)或f(x)使用定理2abG,f(),f(),"0(1)①將xG[x,f(x),f(x0③F[x,f(xC(2)若欲證等式可變形為f(xP(x)f(x)0，則應(yīng)取輔助函數(shù)為F(x)f(x)eP(x)dx證明：ab),使得關(guān)于Gf(a),f(b),,f(),f()0的等證明存在兩個點,ab，使得G[f(),f(),]證明在(a,b)內(nèi)存在,滿足某種關(guān)系式題的程序在欲證的等式中，將和分離開來，即把包含的函數(shù)和包含的函端應(yīng)用一次中值定理或介值定理得到 證明在(a,b)內(nèi)存在,且滿足某種關(guān)系式題cab，將區(qū)間(ab分成兩個不相交的部分區(qū)間②在(ac和(cb上分別應(yīng)用中值定理進行證明即可證明存在f(nk0點x0處展開成.一般題設(shè)中會提示一些特殊的點作為展開點x0，通常取x0為函數(shù)值為零的點、導(dǎo)數(shù)值為零的點、區(qū)間中點、函（2）然后將區(qū)間端點a和b分別代入展開式，把得到的兩個展開式相二、方程根的問題(1)(2)定理三、不等式的證明定理典型例f(0)0,f(1)1.（I）存在0,1),f(1（II）存在兩個不同的點,0,1)f(f(6】設(shè)函fx在閉區(qū)間1,1上具有三階連f10，f11f00，證明在開區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一點，使f3.【例7】設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),在開區(qū)間0,1f(0)0,f(1)3

(0,2

,(2

f()f()=2一、不定積分計算—f(x在[abF(x)f(xx[ab]baf(x)dxF(b)F(a)b ,f(x)faf(x)dx 20f(x)dx,f(x)f f(xT)

f(x)，則

f(x)dx

f(x)dx 2f(x)dx2 n1n31 2sinnxdx2cosnxdx n 2 n1n32 n 四、定積分等式、不等式的證b微分學(xué)的方法.參數(shù)變易法af(x)dxbx，轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式的證b典型例【例8】設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab上連續(xù)，在開區(qū)間(abf(2xf(x)0.xa

x

在(abf(x)0在(ab內(nèi)存在點

b2abaf

；f(在(ab內(nèi)存在與(2)中相異的點f()(b2a2)2bfa9f(xg(x在[0，1]f(0)0f(x)0 ag(x)f(x)dx1f(x)g(x)dxf 一、一階微分方程的求解二、二階常系數(shù)齊次、非齊次線性微分方程求解典型例10xcost(0t(1x2yxyy0

2的特解【例11】設(shè)函數(shù)yy(x)(,)y0,xxyyy(x的反函數(shù)x

d2x(ysinx)(dx)3變xy)變

dy yy(xy(0)0,y(0)3的解2一、多元函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法(1)法(3)二、極值、最值典型例

ux212zz(uv具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且通過變換vx2 2 2 2 6x2xyy20簡化為uv0求常數(shù)13zx2y2e(x2y2)的極值一、數(shù)項級數(shù)斂散性判別二、冪級數(shù)三、級數(shù)(數(shù)一

n(2nS(x).

24

246

(

x)一、二重積分

二、三重積分三、對弧長曲線積分四、對坐標曲線積分五、對面積曲面積分六、對坐標曲面積分典型例16（數(shù)學(xué)一）f(x在(L是上半平面y0)內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點為(a,b，終點為(cd1記I y2f(xy)]dxx[y2f(xy)1L 當abcdI的值典型例

,

1已知線性方程組AX=β1a的值

a 正交矩陣Q，使QTAQ為對角矩陣一、有關(guān)線性相關(guān)性判定1,",m若1,",s(2）A1,",s二、判定線性表示問題,1,",s

x1 x xsr1,",sr1,",s,,1,",s1,2,",s1,2"t均為數(shù)值1,2,3"t可由1,2,3",s表 x11"xss i,", r(1,2,3",s)r(1,2,3",s;1,2,3"t1,2,3",s123"t均為抽象1,2,3"t可由1,2,3",s線性 P使得[123"t]1,2,3",s三、有關(guān)秩的計算與證明1,",s或A方法：A （列一、解線性方程組（含參變量Amnx0Amnx若mn，則(1)A0有唯一解（(2)A0（求參數(shù)

DjDmnA或A（A#b)階梯型Ax0Ax0Axb1Bx0，Bxb2，Bx1.求Ax0Ax0AxBx Bx Bxb 2.x*k"kk"1 s 三、有關(guān)基礎(chǔ)解系1,2,"sAmnx01,2,"sAx01,2,"ssnr(A)典型例

x1x2x318】設(shè)線性方程組

ax

x4xa2x x12x2x3a

x1x2x3x4

3x5xx

有3

axx3x (Ⅰ)證明方程組系數(shù)矩陣ArA2;(Ⅱ)ab的值及方程組的通解.一、求特征值與特征向量EA0得(2）解iEAx(1）AfA=0AxxaEbA00EA0aEbAbaEAbnaEA0，a 二、特征值，特征向量的逆問已知特征向量A0若只知道特征值00EA三、相似判定及其逆問題1A～B(1）A (2）aii i (3）EAE2.A～B A(1）

a

(2）,EAE四、可對角化的判定及其逆問題（，有五、實對稱矩陣典型例r(A)陣121】已知1

A

2 1 2

1 正交變換法xQyQ二、有關(guān)正定命題2.Ax0xTAx典型例 f(x1x2x3)(1a)x21a)x22x22(1a)x1x 概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一部分隨機與概三、利用求概第二部分一維隨量及其分一、利用分布求概率分布函 概率分布概率密度充要條若X為離散型隨若X為連續(xù)型隨

P{XD}P{XP{XD}f(x)dxD二、求隨量函數(shù)的分XX第三部分二維隨量及其分一、基本概念題二、利用分布求概率D連續(xù) (X,Y)～f(x, P(X,Y)Df(x,D或Pg(X,Y)z0 g(x,y)

f(x,三、隨量函數(shù)的分Zg(X,Y四、討論 量的獨立X和Y相互獨立F(xyFX(x)FYPXxi,YyjPXxiPYyjij1,連續(xù) f(x,y)fX(x)fY(F(xyFX(x)FYy)P{Xx,YyPXxP(Y P(AxBy)P(Ax)P(By)，(x,典型例【例23】設(shè)隨量X與Y相互獨立，X的概率分布0PXi1i1,0,1，Y的概率密度為 y10y1，03ZX

Y （1）PZ

X（2）Z【例24】設(shè)隨量X與Y獨立，其中X的概率分布 2X~ 而Y的概率密度為f(y)，求隨量UXY的概率密度g(u)f(x,y) 0x1,0y (III

Z2XYfZP{Y X2第四部分隨量的數(shù)字特一、利用分布求數(shù)字特征二、求隨量函數(shù)的數(shù)字特ZgX,YEZZgX,YZ～f(zEZzf(z)dzZg(X,Y),(X,Y)～f(x,Eg(X,Y)g(x,y)f(x,Zg(X,Y)h[g1(X,Y)],Ug1(X,Y)～fEZEh(Uh(uf典型例【例26】某流水生產(chǎn)線上