新教材北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第六章統(tǒng)計 知識點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)歸納總結(jié)匯總

第六章統(tǒng)計

6.1獲取數(shù)據(jù)的途徑......................................................1

6.2抽樣的基本方法......................................................5

1、簡單隨機(jī)抽樣.....................................................5

2、分層隨機(jī)抽樣.....................................................9

6.3用樣本估計總體分布.................................................12

6.4用樣本估計總體數(shù)字特征............................................18

6.1獲取數(shù)據(jù)的途徑

1.直接獲取數(shù)據(jù)與間接獲取數(shù)據(jù)

(1)統(tǒng)計的定義：統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科.

⑵獲取數(shù)據(jù)的途徑：

數(shù)據(jù)來源直接獲取間接獲取

通過社會調(diào)查或觀察、試

定義借助各種媒介獲取數(shù)據(jù)

驗等渠道獲取數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)名稱直接數(shù)據(jù)或一手?jǐn)?shù)據(jù)間接數(shù)據(jù)或二手?jǐn)?shù)據(jù)

報紙雜志、統(tǒng)計報表和年鑒、廣播、

獲取形式問卷調(diào)查、試驗收集等

電視或互聯(lián)網(wǎng)等

(1)了解并正確理解間接數(shù)據(jù)的含義、

計算方法，以防止誤用、錯用他人的

獲取數(shù)據(jù)時應(yīng)注意數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)；

注意事項來源的廣泛性、代表性、

(2)引用間接數(shù)據(jù)時要注明數(shù)據(jù)來源，

均衡性

尊重他人的勞動成果，保護(hù)他人的知

識產(chǎn)權(quán)

2.普查和抽查

調(diào)查

普查抽查

方式

從全體調(diào)查對象中，按照一定的

普查是為了掌握調(diào)查對象的整

方法抽取一部分對象作為代表

定義體情況,對全體調(diào)查對象進(jìn)行研

進(jìn)行調(diào)查分析，并以此推斷全體

究的一種調(diào)查方式

調(diào)查對象的狀況

適用需要獲取全部整體數(shù)據(jù)或調(diào)查

調(diào)查對象很難全部獲取

情形對象較少

迅速、及時,節(jié)約人力、物力和

優(yōu)點(diǎn)所取得的數(shù)據(jù)更加全面、系統(tǒng)

財力

缺點(diǎn)費(fèi)時、費(fèi)力結(jié)果具有不確定性

3.總體和樣本

(1)總體和樣本

名稱定義

總體調(diào)查對象的全體稱為總體

樣本從總體中抽取的部分稱為樣本

個體構(gòu)成總體的每一個對象稱為個體

樣本容量樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量

(2)總體的分布：總體中各類數(shù)據(jù)的百分比稱為總體的分布.

思考(1)根據(jù)你的觀察，舉例說明我國常進(jìn)行的普查有哪些？

⑵要了解一批燈管的壽命是否達(dá)標(biāo)，能用普查嗎？

［提示］(1)人口普查、經(jīng)濟(jì)普查、農(nóng)業(yè)普查等.

(2)檢驗具有破壞性，故不能普查.

疑難解惑

□類型1抽查與普查的辨析

【例1】下面的四個問題中，適合用抽樣調(diào)查方法的是()

A.檢驗10件產(chǎn)品的質(zhì)量

B.銀行對公司10萬元存款的現(xiàn)鈔的真假檢驗

C.跳傘運(yùn)動員檢查20個傘包及傘的質(zhì)量

D.檢驗一批汽車的防碰撞性能

D［根據(jù)抽樣調(diào)查與普查的概念可知A,B,C一般采用普查的方法，只有D

是采用抽樣調(diào)查的方法.］

1.......反C?領(lǐng)悟

普查與抽樣調(diào)查的特點(diǎn)

方式抽樣調(diào)查普查

節(jié)省人力、物力和財力需要大量的人力、物力和財力

可以用于帶有破壞性的檢查不能用于帶有破壞性的檢查

特點(diǎn)

在操作正確的情況下，能得到準(zhǔn)

結(jié)果與實際情況之間有誤差

確結(jié)果

口類型2抽樣調(diào)查的實施

【例2】兒童的喂養(yǎng)及輔食添加是影響兒童生長發(fā)育、身體健康的重要因

素，喂養(yǎng)不當(dāng)及輔食添加不正確，容易導(dǎo)致兒童貧血及其他疾病，影響兒童生長

發(fā)育.為了了解農(nóng)村兒童的喂養(yǎng)、輔食添加情況、發(fā)現(xiàn)存在的問題、確定兒童的

喂養(yǎng)及輔食添加的促進(jìn)措施，欲在該地農(nóng)村進(jìn)行一次3歲以下兒童的喂養(yǎng)、輔食

添加情況和貧血相關(guān)因素的調(diào)查研究.請給出一個合理的調(diào)查方案（該地區(qū)共10

個縣）.

［解］可采用如下抽樣：先從該地區(qū)10個縣中隨機(jī)抽取4個縣，再在隨機(jī)

抽取的各縣中隨機(jī)抽取5個鄉(xiāng)（鎮(zhèn)），在隨機(jī)抽取的鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）中再隨機(jī)抽取5個行政

村，在被抽中的行政村中各抽取24戶有3歲以下兒童的住戶，在樣本戶的3歲

以下兒童中隨機(jī)抽取1名兒童.當(dāng)抽樣村符合要求的家庭不足24戶時，將其全

部調(diào)查，不夠的戶在鄰村補(bǔ)齊（鄰村是指距離最近的非抽樣村）（根據(jù)實際情況，

也可有其他合理的抽樣）.

廠.....??反c?領(lǐng)悟.............................

在統(tǒng)計活動中，尤其是大型的統(tǒng)計活動，為避免一些外界因素的干擾，通常

需要確定調(diào)查的對象、調(diào)查的方法與策略，需要精心設(shè)計前期的準(zhǔn)備工作和收集

數(shù)據(jù)的方法，然后對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出統(tǒng)計推斷.

□類型3總體和樣本

［例3］從某公司600名員工中抽取20名進(jìn)行體重的統(tǒng)計分析，下列說

法正確的是（）

A.600名員工是總體

B.每個被抽查的員工是個體

C.抽取的20名員工的體重是一個樣本

D.抽取的20名員工的體重是樣本容量

［思路點(diǎn)撥］根據(jù)總體、樣本、樣本容量的定義判斷.

C［本題抽取的是20名員工的體重，因此600名員工的體重是總體，每個

員工的體重是個體，這20名員工的體重構(gòu)成一個樣本，樣本的容量為20.］

［母題探究］

1.在本例中，該公司想調(diào)查一下本公司員工對某項規(guī)章制度的意見，由于

本公司車間工人工作任務(wù)繁重，負(fù)責(zé)調(diào)查該項事務(wù)的公司辦公室只調(diào)查了本公司

的50名中層及以上領(lǐng)導(dǎo)干部，便得到了調(diào)查意見，你認(rèn)為該調(diào)查結(jié)果具有代表

性嗎？為什么？

［解］不具有代表性.因為公司的規(guī)章制度往往是領(lǐng)導(dǎo)干部制定的，而這部

分員工的意見不能很好地代表全體員工，所以結(jié)果是片面的，不合理的，不具有

代表性.

2.在本例中，公司抽取20名員工后經(jīng)過統(tǒng)計，得到20名員工的體重數(shù)據(jù),

公司希望利用這些數(shù)據(jù)給公司的所有員工定制工作服，你認(rèn)為合理嗎？如果不合

理，應(yīng)該怎么做？

［解］不合理.為員工定制工作服，應(yīng)該對公司的所有員工進(jìn)行普查，而不

是抽查，并且應(yīng)該普查每個員工的身高、體重、三圍等指標(biāo)，來確定其工作服的

號碼大小.

「......??反領(lǐng)悟??.........................

解決此類問題要注意區(qū)分以下幾個概念

(1)總體：在抽樣調(diào)查中，調(diào)查對象的全體稱為總體.

(2)樣本：從總體中抽取的一部分稱為樣本.

(3)個體：構(gòu)成總體的每一個元素稱為個體.

(4)樣本容量：樣本中個體的個數(shù)稱為樣本容量.

(5)總體容量：總體中個體的個數(shù)稱為總體容量.

6.2抽樣的基本方法

1、簡單隨機(jī)抽樣

1.簡單隨機(jī)抽樣的概念

(1)定義：一般地，從w個不同個體構(gòu)成的總體中，逐個不放回地抽取〃個

個體組成樣本，并且每次抽取時總體內(nèi)的每個個體被抽到的可能性相等,這樣的

抽取方法叫作簡單隨機(jī)抽樣.

(2)實施方法：簡單隨機(jī)抽樣的實施方法通常采用抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

2.抽簽法

(1)定義：先把總體中的N個個體編號，并把編號依次分別寫在形狀、大小

相同的簽上(簽可以是紙條、卡片或小球等)，然后將這些號簽放在同一個不透明

的箱子里搖均勻.每次隨機(jī)地從中抽取一個，然后將箱中余下的號簽搖均勻，再

進(jìn)行下一次抽取.如此下去，直至抽到預(yù)先設(shè)定的樣本容量.

(2)抽簽法的具體步驟：

①給總體中的每個個體編號;②抽簽.

3.隨機(jī)數(shù)法

(1)定義：先把總體中的及個個體依次編碼為0,1,2,…，A-l,然后利用

工具(轉(zhuǎn)盤或摸球、隨機(jī)數(shù)表、科學(xué)計算器或計算機(jī))產(chǎn)生0,1,2,…，N—\中的

隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是幾，就選第幾號個體，直至選到預(yù)先設(shè)定的樣本容量.

(2)利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣的具體步驟：

①給總體中的每個個體編號;

②在隨機(jī)數(shù)表中蒯抽取某行某列作為抽樣的起點(diǎn)，并規(guī)定讀取方法；

③依次從隨機(jī)數(shù)表中抽取樣本號碼，凡是抽到編號范圍內(nèi)的號碼，就是樣本

的號碼，并剔除相同的號碼，直至抽滿為止.

思考氐⑴某同學(xué)說：“隨機(jī)數(shù)表只有一張，并且讀數(shù)時只能按照從左向右

的順序讀取，否則產(chǎn)生的隨機(jī)樣本就不同了，對總體的估計就不準(zhǔn)確了."你認(rèn)

為這種說法正確嗎？

(2)抽簽法中確保樣本代表性的關(guān)鍵是什么？

［提示］(1)不正確，隨機(jī)數(shù)表的產(chǎn)生是隨機(jī)的，讀數(shù)的順序也是隨機(jī)的，

不同的樣本對總體的估計相差并不大.

(2)攪拌均勻是為了使每個個體進(jìn)入樣本的可能性相等，保證樣本真實反映

總體特征.

疑難解惑

□類型1簡單隨機(jī)抽樣的判斷

【例1】下列抽樣中，簡單隨機(jī)抽樣的個數(shù)是()

①一位兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連

續(xù)玩了5件；

②倉庫中有1萬支奧運(yùn)火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；

③某班從50名同學(xué)中，選出5名數(shù)學(xué)成績最優(yōu)秀的同學(xué)代表本班參加數(shù)學(xué)

競賽；

④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽

出6個號簽.

A.0B.1

C.2D.3

B[根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐個判斷.①不是簡單隨機(jī)抽樣.因為兒童從

玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連續(xù)玩了5件它不是

“逐個”抽取.②不是簡單隨機(jī)抽樣.雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影

響個體被抽到的可能性，但簡單隨機(jī)抽樣要求的是“逐個抽取”.③不是簡單隨

機(jī)抽樣.因為5名同學(xué)是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性

不同，不符合簡單隨機(jī)抽樣中“等可能抽樣”的要求.④是簡單隨機(jī)抽樣.因為

總體中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進(jìn)行抽取的，等可能的抽樣.綜

上，只有④是簡單隨機(jī)抽樣.]

廠........反領(lǐng)悟...........................

簡單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)：

(1)被抽取樣本的總體中的個體數(shù)N是有限的；

(2)抽取的樣本是從總體中逐個抽取的；

(3)簡單隨機(jī)抽樣是一種等可能的抽樣.

如果三個特征有一個不滿足，就不是簡單隨機(jī)抽樣.

□類型2抽簽法的應(yīng)用

［例2］為迎接新生入校，現(xiàn)從報名的20名志愿者中選取5人組成志愿

小組，請用抽簽法設(shè)計抽樣方案.

［解］(D將20名志愿者編號,號碼分別是01,02,…，20；

(2)將號碼分別寫在20張大小、形狀都相同的紙條上，揉成團(tuán)兒，制成號簽;

(3)將所得號簽放在一個不透明的袋子中，并攪拌均勻；

(4)從袋子中依次不放回地抽取5個號簽，并記錄下上面的編號；

(5)所得號碼對應(yīng)的志愿者就是志愿小組的成員.

「......??反領(lǐng)悟??..........................

1.一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否方便；二是個

體之間差異不明顯.

2.應(yīng)用抽簽法時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)編號時，如果已有編號可不必重新編號；

(2)號簽要求大小、形狀完全相同；

(3)號簽要均勻攪拌；

(4)根據(jù)實際需要采用有放回或無放回抽取.

□類型3隨機(jī)數(shù)法

［例3］假設(shè)我們要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，

現(xiàn)從500袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時,應(yīng)如何操作？

下面為隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行

32114919730649167677(第7行)

27486198716441487086(第8行)

74770111163024042979(第9行)

［解］第一步，將500袋牛奶編號為000,001,…，499.

第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個數(shù)作為起始數(shù)(例如選出第8行第2列的數(shù)

7).

第三步，從選定的數(shù)7開始依次向右三位三位讀(讀數(shù)的方向也可以是向左、

向上、向下等)，將編號范圍內(nèi)的數(shù)取出，編號范圍外的數(shù)去掉，重復(fù)的只記一

次，直到取滿60個號碼為止，就得到一個容量為60的樣本.

［母題探究］

1.在本例中，如果從以下隨機(jī)數(shù)表第7行第4列的數(shù)2開始，從左往右讀

數(shù)，則依次抽到的第4個個體的編號是(下面摘錄了隨機(jī)數(shù)表第6行至

第8行各數(shù)).

162277943949545354821737932378873520964384

26349164(第6行)

864217533157245506887704744767217206502583

42163376(第7行)

630163785916955567199810507175128673580744

39523879(第8行)

206［找到第7行第4列的數(shù)開始向右讀，第1個符合條件的數(shù)是217,第

2個數(shù)533,不成立，第3個數(shù)157,第4個數(shù)245,這樣依次讀出結(jié)果，合適的

數(shù)是217,157,245,217,206,其中217與前面重復(fù)，舍掉.故第4個數(shù)是206.］

2.在本例中，對抽取的60袋牛奶進(jìn)行檢驗，其中有3袋牛奶為不合格產(chǎn)品,

據(jù)此試估計在500袋牛奶中，大約有多少袋牛奶為不合格產(chǎn)品？

［解］由題意可知，在500袋牛奶中任意一袋牛奶為不合格產(chǎn)品的可能性為

311

正=右，所以在500袋牛奶中，不合格產(chǎn)品的數(shù)量大約為500X^=25.

602020

廠.......?反o?領(lǐng)悟...........................

隨機(jī)數(shù)法的注意點(diǎn)

(1)當(dāng)總體容量較大，樣本容量不大時，可用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本.

(2)用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本，為了方便，在編號時需統(tǒng)一編號的位數(shù).

(3)將總體中的個體進(jìn)行編號時，可以從0開始，也可以從1開始.

(4)注意從隨機(jī)數(shù)表中抽取編號時應(yīng)遵循的規(guī)則.

2、分層隨機(jī)抽樣

分層隨機(jī)抽樣的概念

將總體按其屬性特征分成互不交叉的若干類型（有時稱作層）,然后

定義在每個類型中按照所占比例隨機(jī)抽取一定的個體,這種抽樣方法通

常叫作分層隨機(jī)抽樣

適用總體是由差異明顯的幾類個體構(gòu)成,并且知道某一類個體在總體中

條件所占的百分比

優(yōu)點(diǎn)能很好地反映總體的規(guī)律，也會提高對總體推斷的準(zhǔn)確性

思考（1）某市為調(diào)查中小學(xué)生的近視情況，在全市范圍內(nèi)分別對小學(xué)生、

初中生、高中生三個群體抽樣，進(jìn)而了解中小學(xué)生的總體情況和三個群體近視情

況的差異大小.在抽取樣本時可以用簡單隨機(jī)抽樣嗎？為什么？

（2）簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？

［提示］（1）在此總體中，小學(xué)生、初中生、高中生三個群體在年齡、體質(zhì)、

近視情況等方面存在著明顯的差異.若采用簡單隨機(jī)抽樣，抽取的樣本可能集中

于某一個群體，不具有代表性.

（2）區(qū)別：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個抽取樣本；分層隨機(jī)抽樣則首先將

總體分成幾層，在各層中按同一抽樣比抽取樣本.

聯(lián)系：（1）抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；

（2）每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣.

疑難解惑

□類型1對分層隨機(jī)抽樣概念的理解

【例1】分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類（層），然

后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個個體等可能抽

樣，必須進(jìn)行（）

A.每層等可能抽樣

B.每層可以不等可能抽樣

C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣

D.所有層抽取的個體數(shù)量相同

C［保證每個個體等可能的被抽取是分層隨機(jī)抽樣的基本特征，為了保證這

一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取.］

廠.......反廓領(lǐng)悟.......-f

1.使用分層隨機(jī)抽樣的前提

分層隨機(jī)抽樣的適用前提條件是總體可以分層、層與層之間有明顯區(qū)別，而

層內(nèi)個體間差異較小.

2.使用分層隨機(jī)抽樣應(yīng)遵循的原則

(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉,

即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；

(2)分層隨機(jī)抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨

機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.

II類型2分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用

［例2］某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112

人，后勤人員有32人.教育部門為了了解在職人員對學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見，要

從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，寫出抽樣過

程.

［解］抽樣過程如下：

201

第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為

1608

第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16X：=

O

2(人)；

從教師中抽取112X1=14(A);

O

從后勤人員中抽取32義：=4(人).

O

第三步，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師14人，后勤

人員4人.

第四步，把抽取的個體組合在一起構(gòu)成所需樣本.

反領(lǐng)悟......

分層隨機(jī)抽樣的步驟

口類型3分層隨機(jī)抽樣中的計算問題

[例3](1)交通管理部門為了解機(jī)動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)

的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，假設(shè)四個社區(qū)駕

駛員的總?cè)藬?shù)為從其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)

抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)川為

()

A.101B.808

C.1212D.2012

(2)將一個總體分為4B,C三層，其個體數(shù)之比為5：3：2.若用分層隨機(jī)

抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從。中抽取個個體.

(DB(2)20[(1)因為甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛

員的人數(shù)為12人，

121

所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為靛=$,

968

所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12+21+25+43)+：=808(人).

O

(2)'：A,B,，三層個體數(shù)之比為5：3：2,

又總體中每個個體被抽到的概率相等，

2

分層隨機(jī)抽樣應(yīng)從。中抽取100X二=20(個)個體.]

[母題探究]

1.在本例(1)中，把條件“其中甲社區(qū)有駕駛員96人，若在甲、乙、丙、

丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43”換為“甲社區(qū)的駕駛員人

數(shù)占四個社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的《，若從甲社區(qū)抽取的駕駛員人數(shù)為16”，則抽取

的樣本容量是多少？

［解］設(shè)抽取的樣本容量為〃，由題意可知生=上解得〃=96,即所抽取的

n6

樣本容量為96.

2.在本例(2)中，把條件“其個體數(shù)之比為5：3：2”換為“已知4層的個

體數(shù)為200,且從中抽取的樣本數(shù)為10”，其余不變，則總體容量是多少？

［解］設(shè)總體容量為M由題意可知，卡=薪，解得A-2000.

r......??反領(lǐng)悟??..........................

進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計算時，常用到的2個關(guān)系

m樣本容量〃該層抽取的個體數(shù)

I?？傮w的個數(shù)該層的個體數(shù)；

(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.

6.3用樣本估計總體分布

從頻數(shù)到頻率頻率分布直方圖

知識點(diǎn)1從頻數(shù)到頻率

1.頻率的定義

頻率表示頻數(shù)與總數(shù)的比值,能更好地反映樣本和總體的相應(yīng)特征.

2.頻率的意義

頻率反映了相對總數(shù)而言的相對強(qiáng)度,其所攜帶的總體信息遠(yuǎn)超過頻數(shù).在

實際問題中，如果總體容量比較小，頻數(shù)也可以較客觀地反映總體分布；當(dāng)總體

容量較大時，頻率就更能客觀地反映總體分布.

3.頻率的作用

在統(tǒng)計中，經(jīng)常要用樣本數(shù)據(jù)的頻率，去估計總便中相應(yīng)的頻率，即對總體

分布進(jìn)行估計.

知識點(diǎn)2頻率分布直方圖

1.頻率分布直方圖

頻率分布直方圖中每個矩形的底邊長是該組的組距，矩形的高是該組的頻率

頻率

與組距的比，從而矩形的面積等于這個組的頻率，即矩形的面積=組距義薪=

頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖.頻率分布直方圖以面積的形式反映

了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小.

2.頻率分布直方圖的應(yīng)用

當(dāng)考慮數(shù)據(jù)落在若干個組內(nèi)的頻率之和時，可以用相應(yīng)矩形面積之和來表

示.

3.畫頻率分布直方圖的步驟

(1)計算極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差:

(2)確定組距與組數(shù)：當(dāng)數(shù)據(jù)在120個以內(nèi)時，通常按照數(shù)據(jù)的多少分成讓

絲_組，在實際操作中，一般要求各組的組距相等.

(3)分組：按組距將數(shù)據(jù)分組,分組時，各組均為左閉右開區(qū)間，最后一組

是閉區(qū)間.

(4)列表：一般分四列：寬度分組、頻數(shù)、頻率、篝.其中頻數(shù)合計應(yīng)是樣

本容量，頻率合計是L

頻率

(5)畫頻率分布直方圖：畫圖時，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示贏，其相

應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積.即每個小長方形的面積=組距

頻率

X=頻率.

4.頻率折線圖

在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區(qū)間.從所

加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始,用線段依次連接各個矩形的頂端中點(diǎn),直至右邊所加

區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖.有時也用它來估計

總體的分布情況.

隨著樣本容量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多,而每個區(qū)間的長度

則會相應(yīng)隨之減小,相應(yīng)的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線.

思考k(l)為什么需要用頻率分布直方圖對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行整理？

(2)為什么要對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組？

［提示］(1)因為通過抽樣獲得的原始數(shù)據(jù)多而且雜亂，無法直接從中理解

它們的含義，并提取信息，也不便于我們用它來傳遞信息.正因為如此我們才用

頻率分布直方圖來整理數(shù)據(jù).

(2)不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計算出頻率，從

而估計總體的分布特征.

疑難解惑

□類型1統(tǒng)計圖表中的頻率的計算

【例1】某省有關(guān)部門要求各中小學(xué)要把“每天鍛煉一小時”寫入課程

表，為了響應(yīng)這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項目是什么？(只寫

一項)”的問題，對在校學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，從而得到一組數(shù)據(jù).下圖是

根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的條形統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖回答下列問題：

(1)該校對多少名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查？

(2)本次抽樣調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有多少人？占被調(diào)查人數(shù)的百分比

是多少？

［解］⑴由題圖知4+8+10+18+10=50(名).

即該校對50名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查.

18

(2)本次調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有18人，—X100%=36%.

即最喜歡籃球活動的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的36%.

「........反c?領(lǐng)悟.............................

條形圖和扇形統(tǒng)計圖的視圖方法

(1)條形統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長

短不同的矩形條，然后把這些矩形條按照一定的順序排列起來.其特點(diǎn)是便于看

出和比較各種數(shù)量的多少，即條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的具體數(shù)目.

(2)扇形統(tǒng)計圖是用整個圓面積表示總數(shù)(100%),用圓內(nèi)的扇形面積表示各

部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).

總之，用統(tǒng)計圖來表示數(shù)量關(guān)系更生動形象、具體，使人一目了然.

「類型2畫頻率分布直方圖和頻率折線圖

【例2】為了了解某片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)測量其中的100棵樹的底

部周長，得到如下數(shù)據(jù)(單位：cm)：

135981021109912111096100103

1259711711311092102109104112

1091248713197102123104104128

10512311110310592114108104102

12912697100115111106117104109

1118911012180120121104108118

12999909912112310711191100

991011169710210810195107101

1021081179911810611997126108

12311998121101113102103104108

(1)列出頻率分布表；

(2)畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖；

(3)估計該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹占多少，底部周長不小于

120cm的樹占多少.

［解］(1)這組數(shù)據(jù)的最大的數(shù)為135,最小的數(shù)為80,最大的數(shù)與最小的

數(shù)的差為55,可將該組數(shù)據(jù)分為11組，組距為5.

頻率分布表如下:

頻率

底部周長分組頻數(shù)頻率

組距

[80,85)10.010.002

[85,90)20.020.004

[90,95)40.040.008

[95,100)140.140.028

[100,105)240.240.048

[105,110)150.150.030

[110,115)120.120.024

[115,120)90.090.018

[120,125)110.110.022

[125,130)60.060.012

[130,135]20.020.004

(2)頻率分布直方圖和頻率折線圖如下圖所示.

(3)從頻率分布表得，樣本中底部周長小于100cm的頻率為0.01+0.02+

0.04+0.14=0.21,樣本中底部周長不小于120cm的頻率為0.11+0.06+0.02

=0.19.所以估計該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹占21%,底部周長不小

于120cm的樹占19%.

「......反G?領(lǐng)悟.....................

繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的2個問題

(1)在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的

高.一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長度是不一致的，合理的定高

方法是“以一個恰當(dāng)?shù)膯挝婚L度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“頻率/組

距”所占的比例來定高.如我們預(yù)先設(shè)定以“一”為一個單位長度，代表

"0.1",則若一個組的就為0.2,則該小矩形的高就是“一”(占兩個單位

長度)，如此類推.

(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30?100個

左右時，應(yīng)分成5?12組，在頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于各組

的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為

1.

U類型3頻率分布直方圖的應(yīng)用

【例3】為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分

鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從

左到右各小矩形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組的頻數(shù)為12.

頻率

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

090100110120130140150次數(shù)

(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？

(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)

率是多少？

4

［解］(1)第一小組的頻率為2+4+17+15+9+3=0.08.

第一小組的頻數(shù)

又因為第二小組的頻率=制界

柘2玨十狀日第二小組的頻數(shù)__12___

所以樣本合里=第二小組的頻率而=1150.

17+15+9+3

(2)由直方圖可估計該校高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為

2+4+17+15+9+3

X100%=88%.

廠........反G?領(lǐng)悟.............................A

頻率分布直方圖的性質(zhì)

頻率

(1)因為小矩形的面積=組距X端=頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)

各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)

的頻率大小.

(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

⑶樣本容量=扁頻數(shù)裊.

6.4用樣本估計總體數(shù)字特征

樣本的數(shù)字特征

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)量空的數(shù).

(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在史間位置(或中間兩個

數(shù)的平均數(shù))的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

—1

(3)平均數(shù)：如果〃個數(shù)不，毛，…，x,?那么x=-(E+X2H---Fx)稱為這

n

〃個數(shù)的平均數(shù).

2.極差：數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差.

3.方差

2I2II2

X\—X十XLX十，?,十X-X

(1)公式：6=一―.

n

(2)意義：方差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度.

4.標(biāo)準(zhǔn)差

/_Xy—X2+Xz-X2~1------FX「X2

N二?

思考(1)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)各有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義是什么？

［提示］(1)三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)比較：

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中

①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；很少的一部分信息；

眾數(shù)

②容易計算②無法客觀地反映總體的

特征

①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序

靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；

中位數(shù)對極端值不敏感

②容易計算，便于利用中間數(shù)據(jù)的

信息

任何一個數(shù)據(jù)的改變都會

代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢

引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)

平均數(shù)的量.一般情況下，可以反映出更

越“離群”，對平均數(shù)的

多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息

影響越大

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越

大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

疑難解惑

□類型1平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算

【例1】已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是

16,18,15,11,16,18,

18,17,15,13,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為6,眾數(shù)為c,則有()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>8D.c>t>>a

1157

D[由題意得a=—(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)=-^-=

15.7.

將數(shù)據(jù)從小到大排列為11,13,15,15,16,16,17,18,18,18,則其中位數(shù)為

16,眾數(shù)為18,則6=16,c=18,/.c>b>a.]

1.........反領(lǐng)悟.............................

1.求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時，把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，按

照其求法進(jìn)行.

2.求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的難點(diǎn)在于計算的準(zhǔn)確性.

U類型2根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

［例2］某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其

數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.

頻率/組距

0.030---------------------------------------

0.025------------------------------------------------

0.020------------------------------

0.015---------------------

0.005-----1----------------1

0405060708090100分?jǐn)?shù)

(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù);

(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù).

YQ_i_on

［解］(1)由題干圖知眾數(shù)為T一=75.

(2)由題干圖知，設(shè)中位數(shù)為x,由于前三個矩形面積之和為0.4,第四個矩

形面積為0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1=0.03(x

-70),所以后73.3.

［母題探究］

1.(變設(shè)問)若本例的條件不變，求數(shù)學(xué)成績的平均分.

［解］由題干圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：

40+50,50+6060+7070+80

---X0.005X10+---XO.015X10+---X0.02X10+---

乙乙乙乙

80+90,90+100

X0.03X10卜一--X0.025X10+---X0.005X10=72.

乙乙

2.(變設(shè)問)若本例條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù).

［解］［40,80)分的頻率為：(0.005+0.015+0.020+0.030)X10=0.7,

所以80分以下的學(xué)生人數(shù)為80X0.7=56.

廠........反G?領(lǐng)悟..........A

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的聯(lián)系

(1)眾數(shù)：眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的底邊中點(diǎn)

的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分

布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的

值.

(3)平均數(shù)：用頻率分布直方圖估計平均數(shù)時，平均數(shù)等于頻率分布直方圖

中每個小矩形的面積乘以每個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

□類型3極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算及應(yīng)用

【例3】某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試

成績?nèi)缦?單位：分)：

甲組:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；

乙組:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.

(1)試分別計算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；

(2)哪一組的成績較穩(wěn)定？

[解](1)甲組：最高分為95分，最低分為60分，極差為95—60=35(分)，

_1

平均分為“單=m*(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=

79(分)，

222

方差為4=^X[(60-79)+(90—79尸+(85-79)+(75-79)+(65-

79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119,

標(biāo)準(zhǔn)差為s甲=/^>=、/7而弋10.91(分).

乙組：最高分為95分，最低分為65分，極差為95—65=30(分)，

_1

平均分為=(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=

81.5(分)，

方差為4=^X[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2

+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85

-81.5”]=75.25.

標(biāo)準(zhǔn)差為5乙=麻=)75.25-8.67(分).

(2)由于乙組的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)小于甲組的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，因此乙組的成績較

穩(wěn)定.

從(1)中得到的極差也可得到乙組的成績比較穩(wěn)定.

「........反o?領(lǐng)悟.............................

計算標(biāo)準(zhǔn)差的5步驟

(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

(2)求出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差%—7(，=1,2,…，ri).

(3)求出x,—x(/=1,2,…，〃)的平方值.

(4)求出上一步中〃個平方值的平均數(shù)，即為樣本方差.

(5)求出上一步中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

分層隨機(jī)抽樣的均值與方差百分位數(shù)

1.分層隨機(jī)抽樣的均值

設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)和相應(yīng)權(quán)重分別為XI，Xu…，&和跖，陶…，

第，則這個樣本的平均數(shù)為獷|7|+股/?+…+典三.為了簡化表示,引進(jìn)求和符

______n_

號，記作用x1+股xzH---F閱x〃=￡嚴(yán)x

2.分層隨機(jī)抽樣的方差

設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為J2,…，方差分別為熊m，…，

S,?相應(yīng)的權(quán)重分別為修，修，…，典，則這個樣本的方差為#=￡叼[s：+(X,一

7)2],其中1為樣本平均數(shù).

3.百分位數(shù)

(1)定義：一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時，給定一個百分?jǐn)?shù)0e(0,1),總體

的。分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)：總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是

P-

(2)常用的百分位數(shù)：

①四分位數(shù)：25%,50%,75%,

②其它常用的百分位數(shù)：1%,5%,10虬90%,95%,99%.

⑶計算一組〃個數(shù)據(jù)的0分位數(shù)的一般步驟如下:

第1步，按照從小到大排列原始數(shù)據(jù):

第2步，計算/=如；

第3步，若/不是整數(shù)，大于I.的最小整數(shù)為j,則。分位數(shù)為第.7項數(shù)據(jù);

若i是整數(shù)，則夕分位數(shù)為第I?項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

思考(1)甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人，甲班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為

80分，方差為2,乙班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為82分，方差為4,那么甲班和乙

班這60人的數(shù)學(xué)成績的平均分是氣J=81分嗎？方差是十=3嗎？為什

么？

(2)“這次數(shù)學(xué)測試成績的70%分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？

［提示］(1)不是，因為甲班和乙班在這60人中的權(quán)重是不同的.

(2)有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測試成績小于或等于85分.

疑難解惑

□類型1分層隨機(jī)抽樣的均值與方差

【例1】工廠為了解每個工人對某零件的日加工量，統(tǒng)計員分別從兩車間

抽取了甲、乙兩人日加工量的兩個樣本.抽到甲的一個樣本容量為10,樣本平

均數(shù)為5,方差為1；乙的一個樣本容量為12,樣本平均數(shù)為6,方差為2.現(xiàn)將

這兩組樣本合在一起，求合在一起后的樣本的平均數(shù)與方差.

［解］設(shè)抽到甲的一個樣本數(shù)據(jù)為為，物…，x,。；乙的一個樣本數(shù)據(jù)為加

先，…，刀2，

—1I。

由題思知A-=—

110

方差S=-E（X--5）J=1,

_112J12

y=—Y.y,=6,方差t2=-X（y；—6）;:=2,

12，=i12/=1

則合在一起后的樣本容量為22,

1012

WHI=—?W7=—

樣本平均數(shù)為a=w甲x+獷乙y=;^X5+方X6心5.55,

乙乙乙乙

樣本方差為t)=wv\_^+(X—a)"]+獷乙"+(y—a)']=1|[1+(