復(fù)變函數(shù)積分變換第二章

Laplace變換第一節(jié)Laplace變換的定義第二節(jié)Laplace變換的性質(zhì)第四節(jié)Laplace逆變換第三節(jié)卷積第五節(jié)Laplace變換的應(yīng)用21.

定義：第一節(jié)拉氏變換的定義32.拉氏變換的存在定理

若函數(shù)f(t)滿足:

(1)在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù);

(2)當(dāng)t時(shí),f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).4例1

求單位階躍函數(shù)解根據(jù)拉氏變換的定義,有這個(gè)積分在Re(s)>0時(shí)收斂,而且有5例2

求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實(shí)數(shù)).

這個(gè)積分在Re(s)>k時(shí)收斂,而且有其實(shí)k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k)解根據(jù)拉氏變換的定義,有6第二節(jié)Laplace變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì):7例3

求f(t)=sinkt(k為實(shí)數(shù))的拉氏變換8同理可得2.微分性質(zhì):原像函數(shù)的微分性：9

此性質(zhì)可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.特別當(dāng)時(shí)，有推論：10像函數(shù)的微分性：推論11例4

求(k為實(shí)數(shù))的拉氏變換.解12例5

求的拉氏變換（m為正整數(shù)）。133.積分性質(zhì)例6

求的拉氏變換.14

函數(shù)f(t-t)與f(t)相比,f(t)從t=0開始有非零數(shù)值.而f(t-t)是從t=t開始才有非零數(shù)值.即延遲了一個(gè)時(shí)間t.從它的圖象講,f(t-t)是由f(t)沿t軸向右平移t而得,其拉氏變換也多一個(gè)因子e-st.Ottf(t)f(t-t)15例7

求函數(shù)的拉氏變換.1u(t-t)ttO解16例8

求的拉氏變換.176(補(bǔ))象函數(shù)積分性質(zhì):則：18第三節(jié)卷積

1.卷積的概念：兩個(gè)函數(shù)的卷積是指如果f1(t)與f2(t)都滿足條件:當(dāng)t<0時(shí),f1(t)=f2(t)=0,則上式可以寫成：19卷積定理注：卷積公式常用于計(jì)算逆變換.20例1

21第四節(jié)Laplace逆變換

求逆變換的方法：一、利用一些常見的函數(shù)的拉氏變換表達(dá)式。二、利用下面的結(jié)論：22解23解24微分方程的拉氏變換解法

首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程,解代數(shù)方程求出象函數(shù),再取逆變換得最后的解.如下圖所示.象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程取拉氏逆變換取拉氏變換解代數(shù)方程第五節(jié)La