第22講開普勒三大定律應用（解析版）

第22講開普勒三大定律應用1．（新課標）為了探測引力波，“天琴計劃”預計發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為（）A．2：1B．4：1C．8：1D．16：1【解答】解：根據(jù)題意可得P與Q的軌道半徑之比為：rP：rQ＝4：1根據(jù)開普勒第三定律有：r3得：r可得周期之比為：TP：TQ＝8：1故C正確，ABD錯誤。故選：C。一.知識回顧1.開普勒三定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒第二定律(面積定律)對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個與行星無關的常量2.開普勒三定律的理解與應用（1）微元法解讀開普勒第二定律：行星在近日點、遠日點時的速度方向與兩點連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時間Δt，則行星在Δt時間內(nèi)的運動可看作勻速直線運動，由Sa＝Sb知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)。行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。（2）行星繞太陽的運動通常按勻速圓周運動處理。半徑等于半長軸。（3）開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。（4）開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關，不同的中心天體k值不同，故該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。二.例題精析例1．地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，哈雷彗星的公轉(zhuǎn)軌道則是一個非常扁的橢圓，如圖所示．天文學家哈雷成功預言了哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，預測下次飛近地球?qū)⒃?061年左右．若哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為r1，遠日點與太陽中心的距離為r2．下列說法正確的是（）A．哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的75B．哈雷彗星在近日點的速度一定大于地球的公轉(zhuǎn)速度C．哈雷彗星在近日點和遠日點的速度之比為rD．相同時間內(nèi)，哈雷彗星與太陽連線掃過的面積和地球與太陽連線掃過的面積相等【解答】解：A、地球公轉(zhuǎn)周期T＝1年，根據(jù)題意可知哈雷彗星的周期為T′＝75年，根據(jù)開普勒第三定律有，a3T'2=RB、哈雷彗星的軌道在近日點的曲率半徑比地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑小，根據(jù)萬有引力定律提供向心力GMmR2=mv2CD、根據(jù)開普勒第二定律，相同時間內(nèi)，哈雷彗星與太陽連線掃過的面積相等，但并不與地球與太陽連線掃過的面積相等設哈雷彗星在近日點和遠日點的速度分別是v1、v2，取時間微元Δt，結(jié)合扇形面積公式S=12?AB?r，可知1故選：B。例2．根據(jù)開普勒定律可知，火星繞太陽運行的軌道是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上，如圖所示，下列說法正確的是（）A．火星運動到近日點時的線速度最小B．火星運動到遠日點時的加速度最小C．太陽對火星的萬有引力大小始終保持不變D．太陽對火星的萬有引力大于火星對太陽的萬有引力【解答】解：A、火星從遠日點到近日點，萬有引力做正功，則速度增加，則運動到近日點時的線速度最大，故A錯誤；B、火星運動到遠日點時，受太陽的引力最小，則加速度最小，故B正確；C、太陽對火星的萬有引力大小隨距離的變化而不斷變化，故C錯誤；D、太陽對火星的萬有引力與火星對太陽的萬有引力是一對相互作用力，總是等大反向，故D錯誤。故選：B。例3．“中國天眼”是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠鏡（FAST）。通過FAST測量水星與太陽的視角θ（水星B、太陽S分別與地球A的連線所夾的角），如圖所示。若視角的正弦值最大為a，地球和水星繞太陽的運動均視為勻速圓周運動，則水星與地球的公轉(zhuǎn)周期的比值為（）A．3a2B．1a3C．【解答】解：當視角最大時，地球和水星的連線恰好與水星的運動軌跡相切，設最大視角為θm，根據(jù)幾何關系有sinθ又根據(jù)開普勒第三定律rA解得TBTA=a故選：D。例4．開普勒第三定律指出：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即a3T2=k，其中a表示橢圓軌道半長軸，T表示公轉(zhuǎn)周期，比值k是一個對所有行星都相同的常量。同時，開普勒第三定律對于軌跡為圓形和直線的運動依然適用：圓形軌跡可以認為中心天體在圓心處，半長軸為軌跡半徑；直線軌跡可以看成無限扁的橢圓軌跡，長軸為物體與星球之間的距離。已知：星球質(zhì)量為M，在距離星球的距離為A．該星球和物體的引力系統(tǒng)中常量k=B．要使物體繞星球做勻速圓周運動，則物體的速度為v=C．若物體繞星球沿橢圓軌道運動，在靠近星球的過程中動能在減少D．若物體由靜止開始釋放，則該物體到達星球所經(jīng)歷的時間為t=πr【解答】解：AB、假設物體做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律有：GMm解得：k=r3T2=C、若物體繞星球沿橢圓軌道運動，在靠近星球的過程中星球引力對物體做正功，物體動能在增加，故C錯誤；D、假設物體做直線運動，若物體由靜止開始釋放，根據(jù)開普勒定律可得：(解得：t=πrr8GM，故故選：D。三.舉一反三，鞏固練習某行星周圍的衛(wèi)星繞其做圓周運動的軌道半徑r與運行周期T的關系如圖所示。行星的半徑為R0，萬有引力常量為G，圖中a、b為已知量。下列說法正確的是（）A．繞該行星表面運行衛(wèi)星的周期為aB．該行星的質(zhì)量為4aC．該行星的密度為3bπD．該行星表面的重力加速度為4b【解答】解：A、根據(jù)開普勒第三定律；R03T2=k，且k=bB、由萬有引力提供向心力得：GMmr2=m4π2T2r，得rC、由ρ=MV，且可得：ρ=M43D、由GMmR02=mg得：g故選：C。中國對火星探測不懈追求，火星與地球距離最近的時刻最適合登陸火星和在地面對火星進行觀測。設定火星、地球繞太陽做勻速圓周運動的軌道在同一平面內(nèi)，火星繞太陽運動的軌道半徑是地球繞太陽運動的軌道半徑的k倍（k＞1），地球繞太陽運動的周期為T0。如圖為某時刻火星與地球距離最近時的示意圖，則到火星與地球再次距離最近所需的最短時間為（）A．k32k32-1TC．k32+1k32T【解答】解：設火星繞太陽做勻速圓周運動的周期為T，地球繞太陽運動的軌道半徑為r，由r3T02=(kr設到火星、地球再次距離最近所需的最短時間為t，2πT0t-2πTt＝2π，解得：t故選：A。如圖，地球在橢圓軌道上運動，太陽位于橢圓的一個焦點上。A、B、C、D是地球運動軌道上的四個位置，其中A距離太陽最近，C距離太陽最遠；B和D點是弧線ABC和ADC的中點。則地球繞太陽（）A．做勻速率的曲線運動B．經(jīng)過A點時的加速度最小C．從B經(jīng)A運動到D的時間小于從D經(jīng)C運動到B的時間D．從A經(jīng)D運動到C的時間大于從C經(jīng)B運動到A的時間【解答】解：A、由開普勒第二定律，地球在近日點的速度大，在遠日點的速度小，故A錯誤。B、根據(jù)公式GMmr2=ma得a=GMC、由A可知，地球在近日點的速度大，遠日點的速度小，所以從B經(jīng)A運動到D的時間小于從D經(jīng)C運動到B的時間，故C正確。D、由C可知，從A經(jīng)D運動到C的時間等于從C經(jīng)B運動到A的時間，故D錯誤。故選：C。在“金星凌日”的精彩天象中，觀察到太陽表面上有顆小黑點緩慢走過，持續(xù)時間達六個半小時，那便是金星，如圖所示。下面說法正確的是（）A．觀測“金星凌日”時可將太陽看成質(zhì)點B．地球在金星與太陽之間C．金星繞太陽公轉(zhuǎn)一周時間小于365天D．相同時間內(nèi)，金星與太陽連線掃過的面積等于地球與太陽連線掃過的面積【解答】解：A、觀測“金星凌日”時，如果將太陽看成質(zhì)點，無法看到“金星凌日”現(xiàn)象，故A錯誤；B、“金星凌日”現(xiàn)象的成因是光的直線傳播，當金星轉(zhuǎn)到太陽與地球中間且三者在一條直線上時，金星擋住了沿直線傳播的太陽光，人們看到太陽上的黑點實際上是金星，由此可知發(fā)生金星凌日現(xiàn)象時，金星位于地球和太陽之間，故B錯誤；C、根據(jù)開普勒第三定律R3T2=K，可得R金3T金2=R地3T地2，由題意可知：T地＝365D、根據(jù)開普勒第二定律，可知在同一軌道內(nèi)，相同時間內(nèi)，金星與太陽連線掃過的面積相等，但是不能說金星與太陽連線掃過的面積等于地球與太陽連線掃過的面積，故D錯誤。故選：C。2019年10月28日發(fā)生了天王星沖日現(xiàn)象，即太陽、地球、天王星處于同一直線，此時是觀察天王星的最佳時間。已知日地距離為R0，天王星和地球的公轉(zhuǎn)周期分別為T和T0，則天王星與太陽的距離為（）A．3T2T02R0C．3T02T2R0【解答】解：天王星、地球繞太陽做勻速圓周運動，根據(jù)開普勒第三定律可知，R3T2=R03T故選：A。如圖，三個質(zhì)點a、b、c的質(zhì)量分別為m1、m2、M（M遠大于m1及m2），在萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra：rb＝1：4，則下列說法中正確的有（）A．a(chǎn)、b運動的周期之比為Ta：Tb＝1：8B．a(chǎn)、b運動的周期之比為Ta：Tb＝1：4C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線12次D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線13次【解答】解：AB、萬有引力提供向心力，則GMmr2=m4π2T2r，有T=4π2r3GM，則Ta：CD、設每隔時間t，a、b共線一次，則（ωa﹣ωb）t＝π，所以t=故從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線，有n=Tbt=Tb(ωa故選：A。（多選）如圖所示，在某行星的軌道上有a、b、c、d四個對稱點，若行星運動周期為T，則行星（）A．從b到c的運動時間等于從d到a的時間B．從d經(jīng)a到b的運動時間小于從b經(jīng)c到d的時間C．從a到b的時間tab＜D．從c到d的時間tcd＜【解答】解：根據(jù)開普勒第二定律知：在相等時間內(nèi)，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。據(jù)此，行星運行在近日點時，與太陽連線距離短，故運行速度大，在遠日點，太陽與行星連線長，故運行速度小。即在行星運動中，遠日點的速度最小，近日點的速度最大。圖中a點為近日點，所以速度最大，c點為遠日點，所以速度最小。A、那么從b到c的運動時間大于從d到a的時間，故A錯誤；B、從d經(jīng)a到b的運動時間小于從b經(jīng)c到d的時間，故B正確；C、從a到b的時間tab＜T4，故D、從c到d的時間tcd＞T4，故故選：BC。（多選）我國發(fā)射的探月衛(wèi)星有一類為繞月極地衛(wèi)星。利用該衛(wèi)星可對月球進行成像探測。如圖所示，設衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運動時距月球表面的高度為H，繞行周期為TM；月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為TE，公轉(zhuǎn)軌道半徑為R0；地球半徑為RE，月球半徑為RM，忽略地球引力、太陽引力對繞月衛(wèi)星的影響，則下列說法正確的是（）A．月球與地球的質(zhì)量之比為TB．若光速為C，信號從