整式的乘法冀教版知識(shí)精講

初一數(shù)學(xué)整式的乘法冀教版

【本講教育信息】

一、教學(xué)內(nèi)容：

整式的乘法

1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘.

2.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)常用到的兩個(gè)公式：平方差公式、完全平方公式.

二、知識(shí)要點(diǎn)：

I.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的塞

分別相乘，其余字母連同它們的指數(shù)作為積的?個(gè)因式.

注意：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，這是有理數(shù)的乘法，應(yīng)先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；

②相同字母相乘，是同底數(shù)幫的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加；

③不要丟掉只在?個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母；

④對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用.

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相等

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),

再把所得的積相加.

3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相等

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算性質(zhì)：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另

一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.注意：

①必須做到不重不漏，計(jì)算時(shí)應(yīng)按一定的順序；

②應(yīng)確定積中每一項(xiàng)的符號(hào)；

③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，如有同類項(xiàng)的要合并.

4.平方差公式:(a+h)(a—b)=a2-h2

兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

注意：

(1)公式的左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互

為相反數(shù).

(2)右邊是左邊因式中的兩項(xiàng)的平方差(相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方).

(3)公式中的。與匕可以是單個(gè)的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

(4)只有對(duì)于形如兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘時(shí)，才可以用平方差公式.

5.完全平方公式：(〃土人)2=a1+2ah+b2

兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方利，加(或減)它們的積的2倍.

注意：

(1)(a+6)2=a2+2a/>+Z?2和(a—b)'—cT—lab-^-b1都叫做完全平方公式.為了區(qū)

別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式.

(2)公式的特點(diǎn)：兩個(gè)公式的左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，二者僅一個(gè)“符號(hào)”

的不同；右邊都是二次三項(xiàng)式，當(dāng)中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)中每一項(xiàng)的平方，第三項(xiàng)是左邊

二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，二者也僅是一個(gè)“符號(hào)”的不同.

(3)公式中的〃與b可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

(4)在運(yùn)用公式時(shí)要注意保持前后“符號(hào)”的致性.

6.乘法公式和血積之間的關(guān)系

如圖(1),(a+b)(a~b^=

如圖(2),(。+。)2=；

如圖(3),(a—b)2=.

⑵⑶

三、重點(diǎn)難點(diǎn)：

本講重點(diǎn)是掌握整式乘法的運(yùn)算性質(zhì)，能夠使用公式進(jìn)行運(yùn)算，難點(diǎn)是在運(yùn)算過程中,

特別是因式較復(fù)雜時(shí)，注意不要丟項(xiàng)漏項(xiàng).

【典型例題】

例L計(jì)算(一刀)")?(—|x2y).

分析：按單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算.

解：(-2x3y2z)?(一53)

=(-2)?(—1)?x3?x2?y2?y?z2(乘法交換律)

=[(-2)?(―?(%3?%2)?(y2?y)?z2(乘法結(jié)合律)

(有理數(shù)乘法法則、同底數(shù)基相乘).

評(píng)析：?jiǎn)雾?xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘，同樣適用.

例2.計(jì)算：(1)(―Jb)C^ab2—2ah+^h)；

(2)6mn2(2—^mn4)+(—2

分析：這兩個(gè)小題都是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算題，計(jì)算時(shí)，符號(hào)的確定是解題的關(guān)

鍵.

解：(1)(一，曲)(多加2〃匕+%)

=(一/仍)加)+(―5))?(—2")+(―/曲)?命)

=—V+a2/?2~^ab2

(2)6mn2(2—gm//)+(—^tnn3)2

=12加〃2-2加，6+，2〃6

7A

=⑵甘/一心

評(píng)析：(1)計(jì)算時(shí)容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要

注意單項(xiàng)式本身的符號(hào).(2)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，結(jié)果仍是多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)

數(shù)相同.(3)對(duì)于混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，同時(shí)要注意：運(yùn)算結(jié)果中若有同類項(xiàng)一定

要合并同類項(xiàng)，從而得出最簡(jiǎn)結(jié)果.

例3.計(jì)算：(1)(4x+5y)(2x-y)；(2)(x-l)(?+x2+x+l).

分析：這兩個(gè)小題都是直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則的，計(jì)算時(shí)一定要細(xì)心.

解：(1)(4x+5y)(2x—y)

—8x2-4xy+1OA},—5y2

=8f+6xy_5y2；

(2)(x—1)(x3+x2+x+1)

=x4+x3+x2+JC—X3—X2—X—1

—X4—1.

評(píng)析：要用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)去和另一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)分別相乘，不能有遺漏.

多項(xiàng)式相乘的結(jié)果中若有同類項(xiàng)，應(yīng)合并，使結(jié)果最簡(jiǎn)，并且最終結(jié)果一般都按某個(gè)字母的

降黑(或升寨)排列，這樣符合規(guī)范性要求.

例例計(jì)算：(1)C3a~2b)(3。+2匕)；(2)201X199.

分析：(1)題是兩個(gè)數(shù)的和乘以兩個(gè)數(shù)的差的形式.可直接應(yīng)用公式寫出結(jié)果；(2)題

是兩個(gè)數(shù)相乘，201=200+1,199=200—1,可化成兩個(gè)數(shù)的和乘以兩個(gè)數(shù)的差，可用平方

差簡(jiǎn)化計(jì)算.

解：(1)(3a-2b)(3。+2〃)=(3a)2-(2b)2=9a2-4ft2；

(2)201X199=(200+1)(200-1)=2002-12=39999.

評(píng)析：利用平方差公式計(jì)算直接寫出結(jié)果時(shí)，“平方”是一個(gè)整體的平方，不但字母要

平方，系數(shù)也必須同時(shí)平方，要防止出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：(3a+2b)(3a-2b)=3/一2/.

例5.計(jì)算：(1)(3a+b)，(2)(—x+3y)2；

(3)999?；(4)Cb+c)C~b-c).

分析：此題可利用完全平方公式計(jì)算，(1)題是兩數(shù)和的平方，應(yīng)選用和的完全平方公

式，其中3〃是公式中的“，方是公式中的b；(2)題(—x+3y)2=(3y-x)2=(x-3y)2；

所以選用差的完全平方公式；(3)題可化成兩數(shù)差的平方，即999?=(io。?！?)2；(4)題

中(一匕一C)=—(b+c),原式=—(/?+c)2.

解：(1)(3a+b)2=(3a)2+2?3a?b+^^a+bab+b2

(2)(r+3y)2=(3>—x)2

=(3y)2-2?3y?x+x2=9y2_

(3)9992

=(1000-1)2

=10002-2X1000X1+1

=1000000-2000+1

=998001

(4)(Z?+c)(—b-c)

=—(b+c)2

=—(b?+2bc+c2)

=-b2-2hc-c2

評(píng)析：通過例題可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)所給的二項(xiàng)式中兩項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，一般選用“和”的完全

平方公式，當(dāng)二項(xiàng)式中兩項(xiàng)符號(hào)相反時(shí)，一般選用“差”的完全平方公式.

例6某公司欲建如圖所示的草坪（陰影部分是草坪，中間白色區(qū)域?yàn)樾÷罚?，需要鋪設(shè)草

坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，則修建該草坪需投資多少元？（單位：m）

分析：陰影部分面積等于4個(gè)長方形面積之和.

解：3a,2a+4a?2aa?3a+a,4a=6a2+8a2+3a2+4a2=21fz2（m2）.

120X21/=2520J（元）

答:需要鋪設(shè)草坪為修建該草坪需投資2520/元.

評(píng)析：找準(zhǔn)長方形邊長大小，不要受中間非陰影部分影響.把圖中小路移向邊緣可得下

圖，用下圖計(jì)算草坪面積更簡(jiǎn)單.

a

2

【方法總結(jié)】

單項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是單項(xiàng)式，只是系數(shù)和指數(shù)發(fā)生了變化.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)

算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法分配律將其轉(zhuǎn)化為前面學(xué)過的單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的問題，這充分運(yùn)

用了“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法.兩多項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是多項(xiàng)式，在沒有合并同類項(xiàng)之前，

所得積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)為兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)的積.注意乘法公式與面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而感受

幾何與代數(shù)內(nèi)在的統(tǒng)一性.

【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）

選擇題

I.下列運(yùn)算正確的是（)

A.2a?3a2=5（?B.0.25x?

C.3??2X2=6X2D.—2y3?3y2=-6)"

2.下列計(jì)算正確的是（)

A.（2x—5）（3x—7）=67-29x+35

B.(3x+7)(10x-8)=30f+36x—56

C.(x+g)(3尤=3f+5+:

D.(l-x)(x+1)+(x+1)(x-1)=2?—3

3.在下列多項(xiàng)式乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（）

A.(x+y)(―x—y)B.(a2—b)(<72+Z?2)

C.(2x-3y)(2y+3x)D.(一3〃+4。)(一3。一4/力

4.下列式子中是完全平方式的是()

A.a~-1-ab-\~b~B.6Z2+2a+2C.a~一2b+b°D./+2a+l

5.用科學(xué)記數(shù)法表示(5X102)X(16X105)的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是()

A.80X107B.8.0X107C.8.0X108D.8.OX1O10

6.在下列各式中，計(jì)算結(jié)果等于5x+6的是()

A.(x—6)(x+1)B.(x—2)(x+3)

C.(x+6)(x—1)D.(%—2)(%—3)

*7.一個(gè)長方形的長是2xcm,寬比長的一半少4cm,若將長方形的長和寬都增加3c”，則

該長方形的面積增加了()

A.9B.9x—3C.2X2+X_3D.—lx—3

**8.已知(a+b)2=8,(a-b)2=12,則1+好的值為()

A.10B.8C.20D.4

二.填空題

1.(-3%)3?(一町2)3=_________

2.計(jì)算(-2x)2?(一3xy2)3.$2=

3.(x—y)(x2+xy+y2)=.

4.(1)(x+3)(x—3),(2)(3x+y)(y—3x)—.

5.當(dāng)x=3,y—1時(shí)，代數(shù)式(x+y)(x—y)+y2的值是.

*6.(一機(jī)+2)2=,(x_2>,—3)(x+2y_3)[()—2y]

[()+2y]=()2—4y2.

21

7.利用乘法公式計(jì)算：19哼*20吟=.

8.柜臺(tái)上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀如圖：

第一層有2X3聽罐頭，

第二層有3X4聽罐頭，

第三層有4X5聽罐頭，

根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律，第〃(〃為正整數(shù))層有聽罐頭(用含〃的式子

表示).

三.解答題

1.計(jì)算下列各題：

(1)(-|x2y)3,(3肛2)2；

(2)3x(尤2—2%—1)—2x2(X-2)；

2.運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：

(1)103X97；(2)4012；(3)20082-2009X2007.

3.先化簡(jiǎn)，再求值：(x+2)(%—2)—x(x—1),其中x=-1.

*4.如圖所示，在一塊長方形空地上建一座樓房，剩下的地方（圖中陰影部分）植綠地和

鋪便道破，根據(jù)圖中所標(biāo)的用字母表示的數(shù)據(jù)（單位：，"），求出陰影部分的面積.

**5.?個(gè)三位數(shù)，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1,百位數(shù)字又比十位數(shù)字大2,另外有?個(gè)

兩位數(shù)，其十位數(shù)字與該三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，都可用。表示，其個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字小

3,請(qǐng)把這兩個(gè)數(shù)的積用含。的代數(shù)式表示出來，并把此代數(shù)式化簡(jiǎn).若a=4,把這兩個(gè)數(shù)

表示出來，并求出它們的根.

【試題答案】

選擇題

1.D2.A3.D4.D5.C6.D7.B8.A

二.填空題

1.27//2.-54x5ys3.x3-/4.?-9,y2~9x5.9

6.僅2一4機(jī)+4,x-3，x-3,X-