《數(shù)學(xué)建模課程》練習(xí)題二

《數(shù)學(xué)建模課程》練習(xí)題二一、填空題1.若yXZzXX,則y與X的函數(shù)關(guān)系是_y=kx,k是比例常數(shù).有人觀察到魚尾每擺動(dòng)一次，魚所移動(dòng)的距離幾乎與魚身的長(zhǎng)度相等，則魚尾擺動(dòng)的次數(shù)T(次/秒)、魚身的長(zhǎng)度L和它的速度V的關(guān)系式為—V=kTL..已知行星的質(zhì)量與它的密度和它的半徑的立方成正比.若某行星的直徑是地球直徑的d倍，且它的平均密度是地球的S倍，則此行星質(zhì)量是地球的—Sd3倍..馬爾薩斯與邏輯斯蒂克兩個(gè)人口增長(zhǎng)模型的主要區(qū)別是假設(shè)了增長(zhǎng)率是常數(shù)還是人口的遞減函數(shù).設(shè)S表示掙的錢數(shù)，x表示花的錢數(shù)，則“錢越多花的也就越多”的數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)單表示為_S=kx,k>0是比例常數(shù).在超級(jí)市場(chǎng)的收銀臺(tái)有兩條隊(duì)伍可選擇，隊(duì)1有m個(gè)顧客，每人都買了n件商品，隊(duì)211有m個(gè)顧客，每人都買了n件商品，假設(shè)每個(gè)人付款需P秒，而掃描每件商品需t秒秒，22則加入較快隊(duì)1的條件是m(P+nt)<m(P+nt) .-1 1 2 2.在建立人口增長(zhǎng)問題的邏輯斯蒂克模型時(shí)，假設(shè)人口增長(zhǎng)率廠是人口數(shù)量x(t)的遞減函數(shù)，若最大人口數(shù)量記作X,為簡(jiǎn)化模型，采用的遞減函數(shù)是_NX)=r-sx_其生r,S均m為正常數(shù).一次晚會(huì)花掉100元用于食品和飲料，其中食品至少要花掉40%，飲料起碼要花30元，用f和d列出花在食品和飲料上的費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型是d+f<100,f/(f+d)≥0.4,d≥30.設(shè)某種商品的需求量函數(shù)是Q(t)=-25p(t)+1200(萬(wàn)件)，其中p(t)為該商品的價(jià)格函數(shù)，那么該商品的社會(huì)最大需求量是—1200(萬(wàn)件)..設(shè)某種商品的供給量函數(shù)是G(t)=36p(t-1)-3600，其中P(t)為該商品的價(jià)格函數(shù)，那麼該商品下一時(shí)段的價(jià)格達(dá)到—100，才能迫使供給商停止供給。二、分析判斷題1．地方公安部門想知道，當(dāng)緊急事故發(fā)生時(shí)，人群從一個(gè)建筑物中撤離所需要的時(shí)間，假設(shè)有足夠的安全通道.若指揮者想盡可能多且快地將人群撤離，應(yīng)制定甚麼樣的疏散計(jì)劃.請(qǐng)就這個(gè)計(jì)劃指出至少三個(gè)相關(guān)因素，并使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示.撤離時(shí)人員的分布狀態(tài)S、人員總數(shù)N、撤離速度V、人們之間相對(duì)擁擠程度r、人員所在地與安全地點(diǎn)的距離L、人員撤離完畢所需要的總時(shí)間t等.假設(shè)某個(gè)數(shù)學(xué)模型建成為如下形式：\o"CurrentDocument"M x21P(x)=——[1—(1———)2]eχ2.x a2試在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下將這個(gè)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化.x ,一當(dāng)_較小的時(shí)候，可以利用二項(xiàng)展開式將小括號(hào)部分簡(jiǎn)化為(1-

-aX2、1 4 X2一)2≈1---,從而有

a2 2a2一M.. ，P(X)=詆XeX2整IX也很小，則可以利用eX≈1+X將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)為MP(X)= X(1+X2).2a2要為一所大學(xué)編制全校性選修課程表，有哪些因素應(yīng)予以考慮？試至少列出5種.問題涉及到時(shí)間、地點(diǎn)和人員三大因素，故應(yīng)該考慮到的因素至少有以下幾個(gè)：(1)教師：是否連續(xù)上課，對(duì)時(shí)間的要求，對(duì)多媒體的要求和課程種類的限制等；(2)學(xué)生：是否連續(xù)上課，專業(yè)課課時(shí)與共同課是否沖突，選修人數(shù)等；(3)教室：教室的數(shù)量，教室的容納量，是否具備必要的多媒體等條件；一起交通事故發(fā)生3個(gè)小時(shí)后，警方測(cè)得司機(jī)血液中酒精的含量是56/100(mg/ml),又過兩個(gè)小時(shí)，含量降為40/100(mg/ml),試判斷，當(dāng)事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)是否違反了酒精含量的規(guī)定(不超過80/100(mg/ml).設(shè)C(t)為t時(shí)刻血液中酒精的濃度，則濃度遞減率的模型應(yīng)為Cl=-kC,其通解是C(t)=C(。)e-kt,而C(0)就是所求量.由題設(shè)可知C(3)=56,C(5)=40,故有C(0)e-3k=56和C(0)e-5k=40,由此解得e2k=56/40nk≈0.17nC(0)=56e3k≈94.可見在事故發(fā)生時(shí)，司機(jī)血液中酒精的濃度已經(jīng)超出了規(guī)定.5、為了節(jié)約用水，業(yè)內(nèi)人士提出水費(fèi)應(yīng)按照階梯式進(jìn)行收費(fèi)。譬如對(duì)于居民用水收費(fèi)，在一般月用水量的平均值之內(nèi)按照原價(jià)格收取，超出部分要加大收費(fèi)力度。對(duì)此問題建立模型應(yīng)該考慮那些問題和因素？至少列舉三個(gè)。從問題角度說，應(yīng)該考慮低收入家庭的承受能力，必須進(jìn)行調(diào)查研究；從制定何種收費(fèi)模型角度看，需要研究模型的結(jié)構(gòu)，譬如分幾段收費(fèi)等；用水的平均值數(shù)據(jù)怎樣獲得，分段力度達(dá)到多大；既要考慮平民百姓，也不能不考慮高收入人群，怎樣兼顧等。三、應(yīng)用題1.某鋁合金加工單位要加工一批成套窗料，每套窗料含有2.2(m)和1.5(m)長(zhǎng)度的料各兩根，總計(jì)要加工20套，所用原料的長(zhǎng)度均為4.6(m),試建立整數(shù)規(guī)劃模型以給出一個(gè)截料方案，使得所用原料最少？尺寸1232.2米0121.5米310料頭長(zhǎng)0.10.90.2由此假設(shè)，按照方案1、2、3分別需原料X,X,X根，以Z表示總料頭長(zhǎng)，則有123minZ=0.1x+0.9X+0.2X123\o"CurrentDocument"^ X + 2X = 40,\o"CurrentDocument"2 3\o"CurrentDocument"<3X +X + = 40,12X,X,X∈N123由兩個(gè)約束條件得X3=(40-X2)/2,X1=(40-X2)/3,起代入目標(biāo)函數(shù)得1623Z=—+—X,3 30240可見應(yīng)令X=0,nX=—,X=20.但X非整數(shù)，于是可將原問題添加條件構(gòu)成兩個(gè)2 133 1新的整數(shù)規(guī)劃問題：minZ=0.1x+0.9x+0.2x⑴彳3Xx?x1其中問題1x2+x2≤13,2++x1,（2）無(wú)解，而3minz=0.1x1+0.9X+0.2X2x3x2,（1）x∈340,40,

N⑵<3x1x≥14,

1+x2,2x2x2x,3++x1可同上求解得x3=20-旦,X="

2 1 32,但x≤13nx12≥1,代入目標(biāo)函數(shù)可知X2=1nx=13,x=19-!-.ι3 2依此再進(jìn)行分支和求解，最后獲得解為x1=12,x=4,x=18n23zmin=8.4.32x3∈N40,40,即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即為最優(yōu)方案.（兩條）及其路長(zhǎng)分別為故得V1到V9的最短路線第一條：v1→V4→V3→V→V→V;l=18.

5 7 9min第二條：VTV→V→V→V→V;l=18.1 4 6 5 7 9min一個(gè)毛紡廠使用羊毛、兔毛和某種纖維生產(chǎn)甲、乙兩種混紡毛料，生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品甲需要的三種原料依次為3、2、8個(gè)單位，產(chǎn)值為580元；生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品乙需要的三種原料依次為2、3、5個(gè)單位，產(chǎn)值為680元，三種原料在計(jì)劃期內(nèi)的供給量依次為90、30和80單位.試建立線性規(guī)劃模型以求一個(gè)生產(chǎn)方案，使得總產(chǎn)值達(dá)到最大，并由此回答：最優(yōu)生產(chǎn)方案是否具有可選擇余地？若有請(qǐng)至少給出兩個(gè)，否則說明理由.原材料的利用情況.設(shè)X1,X2表示甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則有原材料限制條件：3X+2X≤90,2X+3X≤30,8X+5X≤8012 12 12目標(biāo)函數(shù)滿足mxZ=580X1+680X2,合在一起便是所求線性規(guī)劃模型，其中XJ≥0,J=1,2.（1）使用圖解法易得其最優(yōu)生產(chǎn)方案只有一組（這是因?yàn)樗屑s束條件所在直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)直線的斜率均不相等），從而最優(yōu)方案沒有可選擇余地.計(jì)算知最優(yōu)解為：4540 53300X*=(^τ~,-7)T,目標(biāo)值為maχZ=-7—（萬(wàn)元）.（2）利用圖解法求解中只用到了后兩個(gè)約束條件，故羊毛有剩余量，將解代入可檢驗(yàn)而知2羊毛有59］單位的剩余量.4.三個(gè)磚廠仆仆A向三個(gè)工地B1，B2,B3供應(yīng)紅磚.各磚廠的供應(yīng)量與各工地的需求量以及各磚廠調(diào)運(yùn)紅磚到各工地的單價(jià)見表.試安排調(diào)運(yùn)方案，使總費(fèi)用最小？?ι?■單價(jià)/百元、、磚廠 7J?B1B2B3供應(yīng)量/萬(wàn)塊A11064170A2756200A3839150需求量/萬(wàn)塊160180180本問題是一個(gè)產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題，可以利用表上作業(yè)法直接求解，即可獲得總運(yùn)費(fèi)用最低的調(diào)運(yùn)方案為(求解過程從略)：A-≡→B,A-≡→B,A—30→B,A—10→B,A—?50→B1 32 12 22 33 2總費(fèi)用為4X170+7X160+5X30+6X10+3X150=2460(百元).5、求解以下線性規(guī)劃模型，并回答所給兩個(gè)問題：maxZ=12x+8x122X+X≥4,1 23x+2x≤12,< 1 2x+x≤5,12X≥0,j=1,2.j(1)該模型的最優(yōu)解是否唯一？為什么？若有兩個(gè)以上最優(yōu)解，請(qǐng)至少給出兩個(gè)。(1)該模型的最優(yōu)解不唯一，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)直線的斜率與第二個(gè)約束條件直線的相同。其兩個(gè)頂點(diǎn)解及其目標(biāo)值分別為X1=(2,3)Γ,X2=(4,0)7,Z=48.max(2)若其中的X,X代表兩種商品的產(chǎn)量，且