【強(qiáng)烈推薦】八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形輔助線大全(精簡、全面)(完整版)資料

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【強(qiáng)烈推薦】八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形輔助線大全(精簡、全面)（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）三角形作輔助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC證法（一）：延長BD交AC于E，∵∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC同理：∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC2.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：在DA上截取DN=DB，連結(jié)NE、NF，則DN=DC在△BDE和△NDE中，DN=DB∠1=∠2ED=ED∴△BDE≌△NDE∴BE=NE同理可證：CF=NF在△EFN中，EN＋FN＞EF∴BE＋CF＞EF3.有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：延長ED到M，使DM=DE，連結(jié)CM、FM△BDE和△CDM中，BD=CD∠1=∠5ED=MD∴△BDE≌△CDM∴CM=BE又∵∠1=∠2，∠3=∠4∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180o∴∠3＋∠2=90o即∠EDF=90o∴∠FDM=∠EDF=90o△EDF和△MDF中ED=MD∠FDM=∠EDFDF=DF∴△EDF≌△MDF∴EF=MF∵在△CMF中，CF＋CM＞MFBE＋CF＞EF（此題也可加倍FD，證法同上）4.在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD證明：延長AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE∵AD為△ABC的中線∴BD=CD在△ACD和△EBD中BD=CD∠1=∠2AD=ED∴△ACD≌△EBD∵△ABE中有AB＋BE＞AE∴AB＋AC＞2AD5.截長補(bǔ)短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：①a＞b②a±b=c③a±b=c±d例：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：AB－AC＞PB－PC證明：⑴截長法：在AB上截取AN=AC，連結(jié)PN在△APN和△APC中，AN=AC∠1=∠2AP=AP∴△APN≌△APC∴PC=PN∵△BPN中有PB－PC＜BN∴PB－PC＜AB－AC⑵補(bǔ)短法：延長AC至M，使AM=AB，連結(jié)PM在△ABP和△AMP中AB=AM∠1=∠2AP=AP∴△ABP≌△AMP∴PB=PM又∵在△PCM中有CM＞PM－PC∴AB－AC＞PB－PC練習(xí)：1.已知，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是△ABC的角平分線,并且它們交于點(diǎn)O求證：AC=AE＋CD2.已知，如圖，AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4.求證：BC=AB＋CD6.證明兩條線段相等的步驟：①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F，∠B=∠C，∠1=∠2，求證：DF=EF證明：∵∠ADF=∠B＋∠3∠AEF=∠C＋∠4又∵∠3=∠4∠B=∠C∴∠ADF=∠AEF在△ADF和△AEF中∠ADF=∠AEF∠1=∠2AF=AF∴△ADF≌△AEF∴DF=EF7.在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個(gè)角相等.例：已知，如圖Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，過A作任一條直線AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求證：DE=BD－CE證明：∵∠BAC=90o,BD⊥AN∴∠1＋∠2=90o∠1＋∠3=90o∴∠2=∠3∵BD⊥ANCE⊥AN∴∠BDA=∠AEC=90o在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠AEC∠2=∠3AB=AC∴△ABD≌△CAE∴BD=AE且AD=CE∴AE－AD=BD－CE∴DE=BD－CE8.三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延長線于E求證：BE=CF證明：（略）9.條件不足時(shí)延長已知邊構(gòu)造三角形.例：已知AC=BD，AD⊥AC于A，BCBD于B求證：AD=BC證明：分別延長DA、CB交于點(diǎn)E∵AD⊥ACBC⊥BD∴∠CAE=∠DBE=90o在△DBE和△CAE中∠DBE=∠CAEBD=AC∠E=∠E∴△DBE≌△CAE∴ED=EC，EB=EA∴ED－EA=EC－EB∴AD=BC10.連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，AB∥CD，AD∥BC求證：AB=CD證明：連結(jié)AC（或BD）∵AB∥CD，AD∥BC∴∠1=∠2在△ABC和△CDA中，∠1=∠2AC=CA∠3=∠4∴△ABC≌△CDA∴AB=CD練習(xí)：已知，如圖，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求證：BE=DF11.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延長線于E求證：BD=2CE證明：分別延長BA、CE交于F∵BE⊥CF∴∠BEF=∠BEC=90o在△BEF和△BEC中∠1=∠2BE=BE∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC∴CE=FE=CF∵∠BAC=90o,BE⊥CF∴∠BAC=∠CAF=90o∠1＋∠BDA=90o∠1＋∠BFC=90o∠BDA=∠BFC在△ABD和△ACF中∠BAC=∠CAF∠BDA=∠BFCAB=AC∴△ABD≌△ACF∴BD=CF∴BD=2CE練習(xí)：已知，如圖，∠ACB=3∠B，∠1=∠2,CD⊥AD于D，求證：AB－AC=2CD12.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB=DC，AC=BD，求證：∠A=∠D證明：（連結(jié)BC，過程略）13.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB=DC，∠A=∠D求證：∠ABC=∠DCB證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M，連結(jié)NB、NM、NC（過程略）14.有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，∠1=∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求證：∠BAP＋∠BCP=180o證明：過P作PE⊥BA于E∵PD⊥BC，∠1=∠2∴PE=PD在Rt△BPE和Rt△BPD中BP=BPPE=PD∴Rt△BPE≌Rt△BPD∴BE=BD∵AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE∴AE=CD∵PE⊥BE，PD⊥BC∠PEB=∠PDC=90o在△PEA和△PDC中PE=PD∠PEB=∠PDCAE=CD∴△PEA≌△PDC∴∠PCB=∠EAP∵∠BAP＋∠EAP=180o∴∠BAP＋∠BCP=180o練習(xí)：1.已知，如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線2.已知，如圖，在△ABC中，∠ABC=100o，∠ACB=20o，CE是∠ACB的平分線，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD=20o，求∠CED的度數(shù)。15.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB=AC，BD⊥AC于D，求證：∠BAC=2∠DBC證明：（方法一）作∠BAC的平分線AE，交BC于E，則∠1=∠2=∠BAC又∵AB=AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB=90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB=90o∴∠2=∠DBC∴∠BAC=2∠DBC（方法二）過A作AE⊥BC于E（過程略）（方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過程略）⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE=DF證明：連結(jié)AD.∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD又∵AB=AC∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，在BA延長線和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE=AF，求證：EF⊥BC證明：延長BE到N，使AN=AB,連結(jié)CN,則AB=AN=AC∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC=180o∴2∠BCA＋2∠ACN=180o∴∠BCA＋∠ACN=90o即∠BCN=90o∴NC⊥BC∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE又∵∠BAC=∠AEF＋∠AFE∠BAC=∠ACN＋∠ANC∴∠BAC=2∠AEF=2∠ANC∴∠AEF=∠ANC∴EF∥NC∴EF⊥BC⑷常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF=EF證明：（證法一）過D作DN∥AE，交BC于N，則∠DNB=∠ACB，∠NDE=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∴∠B=∠DNB∴BD=DN又∵BD=CE∴DN=EC在△DNF和△ECF中∠1=∠2∠NDF=∠EDN=EC∴△DNF≌△ECF∴DF=EF（證法二）過E作EM∥AB交BC延長線于M,則∠EMB=∠B（過程略）⑸常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA延長線上，且AD=AE，連結(jié)DE求證：DE⊥BC證明：（證法一）過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，則∠AFE=∠B∠AEF=∠C∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠AFE=∠AEF∵AD=AE∴∠AED=∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE=180o∴2∠AEF＋2∠AED=90o即∠FED=90o∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（證法二）過點(diǎn)D作DN∥BC交CA的延長線于N，（過程略）（證法三）過點(diǎn)A作AM∥BC交DE于M，（過程略）⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形------等邊三角形例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80o,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若∠PBC=10o∠PCB=30o求∠PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE則∠BAE=∠ABE=60oAE=AB=BE∵AB=AC∴AE=AC∠ABC=∠ACB∴∠AEC=∠ACE∵∠EAC=∠BAC－∠BAE=80o－60o=20o∴∠ACE=(180o－∠EAC)=80o∵∠ACB=(180o－∠BAC)=50o∴∠BCE=∠ACE－∠ACB=80o－50o=30o∵∠PCB=30o∴∠PCB=∠BCE∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=60o∴∠EBC=∠ABE－∠ABC=60o－50o=10o∵∠PBC=10o∴∠PBC=∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC=∠EBCBC=BC∠PCB=∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP=BE∵AB=BE∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40o∴∠PAB=(180o－∠ABP)=70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形△BCE，連結(jié)AE,則EB=EC=BC，∠BEC=∠EBC=60o∵EB=EC∴E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上∴EA所在的直線是BC的中垂線∴EA⊥BC∠AEB=∠BEC=30o=∠PCB由解法一知：∠ABC=50o∴∠ABE=∠EBC－∠ABC=10o=∠PBC∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB=∠PCB∴△ABE≌△PBC∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40o∴∠PAB=(180o－∠ABP)=(180o－40o)=70o16.有二倍角時(shí)常用的輔助線⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C，求證：AB＋BD=AC證明：延長AB到E，使BE=BD，連結(jié)DE則∠BED=∠BDE∵∠ABD=∠E＋∠BDE∴∠ABC=2∠E∵∠ABC=2∠C∴∠E=∠C在△AED和△ACD中∠E=∠C∠1=∠2AD=AD∴△AED≌△ACD∴AC=AE∵AE=AB＋BE∴AC=AB＋BE即AB＋BD=AC⑵平分二倍角例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC求證：∠ABC=∠ACB證明：作∠BAC的平分線AE交BC于E，則∠BAE=∠CAE=∠DBC∵BD⊥AC∴∠CBD＋∠C=90o∴∠CAE＋∠C=90o∵∠AEC=180o－∠CAE－∠C=90o∴AE⊥BC∴∠ABC＋∠BAE=90o∵∠CAE＋∠C=90o∠BAE=∠CAE∴∠ABC=∠ACB⑶加倍小角例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC求證：∠ABC=∠ACB證明：作∠FBD=∠DBC,BF交AC于F（過程略）17.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來.例：已知，如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：BF=FC證明：連結(jié)AF，則AF=BF∴∠B=∠FAB∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠BAC=120o∴∠B=∠C∠BAC=(180o－∠BAC)=30o∴∠FAB=30o∴∠FAC=∠BAC－∠FAB=120o－30o=90o又∵∠C=30o∴AF=FC∴BF=FC練習(xí)：已知，如圖，在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延長線于N求證：BM=CN18.有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D求證：CD=AB＋BD證明：（一）在CD上截取DE=DB，連結(jié)AE，則AB=AE∴∠B=∠AEB∵∠B=2∠C∴∠AEB=2∠C又∵∠AEB=∠C＋∠EAC∴∠C=∠EAC∴AE=CE又∵CD=DE＋CE∴CD=BD＋AB延長CB到F，使DF=DC，連結(jié)AF則AF=AC（過程略）19.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在△ABC中，BC=2AB,∠ABC=2∠C,BD=CD求證：△ABC為直角三角形證明：過D作DE⊥BC，交AC于E，連結(jié)BE，則BE=CE，∴∠C=∠EBC∵∠ABC=2∠C∴∠ABE=∠EBC∵BC=2AB，BD=CD∴BD=AB在△ABE和△DBE中AB=BD∠ABE=∠EBCBE=BE∴△ABE≌△DBE∴∠BAE=∠BDE∵∠BDE=90o∴∠BAE=90o即△ABC為直角三角形20.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題.例：已知，如圖，在△ABC中，∠A=90o，DE為BC的垂直平分線求證：BE2－AE2=AC2證明：連結(jié)CE，則BE=CE∵∠A=90o∴AE2＋AC2=EC2∴AE2＋AC2=BE2∴BE2－AE2=AC2練習(xí)：已知，如圖，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，P為BC上一點(diǎn)求證：PB2＋PC2=2PA221.條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如圖，在△ABC中，∠B=45o，∠C=30o，AB=，求AC的長.解：過A作AD⊥BC于D∴∠B＋∠BAD=90o，∵∠B=45o，∠B=∠BAD=45o，∴AD=BD∵AB2=AD2＋BD2，AB=∴AD=1∵∠C=30o，AD⊥BC∴AC=2AD=2相似三角形添加輔助線的方法舉例例1：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．例2．已知梯形中，，，是腰上的一點(diǎn)，連結(jié)（1）如果，，，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值例3．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．

例4、如圖4—5，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=___________.例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長．例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：．

相似三角形添加輔助線的方法舉例答案例1：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．分析：欲證BC2＝2CD·AC，只需證．但因?yàn)榻Y(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點(diǎn)及結(jié)論形式，通過添加輔助線，對(duì)其中某一線段進(jìn)行倍、分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似．由“2”所放的位置不同，證法也不同．證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是線段CE的垂直平分線，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．證法二（構(gòu)造2AC）：如圖，在CA的延長線上截取AE＝AC，連結(jié)BE，∵AB＝AC，∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=90°，又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC，∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2＝2CD·AC．證法三（構(gòu)造）：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則EC=．又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．∴即．∴BC2＝2CD·AC．證法四（構(gòu)造）：如圖，取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則CE=．∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．∴J即．∴BC2＝2CD·AC．說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧．在解題中方法要靈活，思路要開闊．例2．已知梯形中，，，是腰上的一點(diǎn)，連結(jié)（1）如果，，，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值（1）設(shè)，則解法1 如圖，延長、交于點(diǎn)EMBEDEquation.3，，EMBEDEquation.3，為的中點(diǎn)又，又EMBEDEquation.3為等邊三角形故解法2 如圖作分別交、于點(diǎn)、則，得平行四邊形同解法1可證得為等邊三角形故解法3 如圖作交于，交的延長線于作，分別交、于點(diǎn)、則，得矩形EMBEDEquation.3，又EMBEDEquation.3，故為、的中點(diǎn)以下同解法1可得是等邊三角形故解法4 如圖，作，交于，作，交于，得平行四邊形，且讀者可自行證得是等邊三角形，故解法5 如圖延長、交于點(diǎn)，作，分別交、于點(diǎn)、，得平行四邊形可證得為的中點(diǎn)，則，故得為等邊三角形，故解法6 如圖（補(bǔ)形法），讀者可自行證明是等邊三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設(shè)，則解法1（補(bǔ)形法）如圖補(bǔ)成平行四邊形，連結(jié)，則設(shè)，則，由得，，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3解法2 （補(bǔ)形法）如圖，延長、交于點(diǎn)，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，，又EMBEDEquation.3設(shè)，則，，EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3解法3（補(bǔ)形法）如圖連結(jié)，作交延長線于點(diǎn)連結(jié)則∽，故（1），EMBEDEquation.3故（2）由（1）、（2）兩式得 即解法4（割補(bǔ)法）如圖連結(jié)與的中點(diǎn)并延長交延長線于點(diǎn)，如圖，過、分別作高、，則且，EMBEDEquation.3 EMBEDEquation.3，又EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3，故說明本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.例3．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．

解法1：延長FE交CB的延長線于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，∵，∴，即．∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：GC=AF：CH，∴AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5．解法2：如圖4—2，延長EF與CD的延長線交于M，由平行四邊形ABCD可知，，即AB∥MC，∴AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC．∵，∴AF：FD=1：2，∴AE：MD=1：2．∵．∴AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5例4、如圖4—5，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=___________.解析：取CF的中點(diǎn)G，連接BG．∵B為AC的中點(diǎn)，∴BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E為BD的中點(diǎn)，∴F為DG的中點(diǎn)．∴EF：BG=1：2．故EF：AF=1：4，∴AF：AE=4：3．例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長．解法1：過O點(diǎn)作OM∥CB交AB于M，∵O是AC中點(diǎn)，OM∥CB，∴M是AB的中點(diǎn)，即，∴OM是△ABC的中位線，，且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．∴△BEF∽△MOE，∴，即，∴.解法2：如圖4-8，延長EO與AD交于點(diǎn)G，則可得△AOG≌△COF，

∴AG=FC=b-BF，∵BF∥AG，∴．即，∵∴.解法3：延長EO與CD的延長線相交于N，則△BEF與△CNF的對(duì)應(yīng)邊成比例，即．解得.例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：．分析1比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時(shí)，可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生．此題中AD為△ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定點(diǎn)作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比較所證的比例式與這個(gè)比例式的關(guān)系，去探求問題的解決．證法1：如圖4—9，過C點(diǎn)作CE∥AD，交BA的延長線于E．

在△BCE中，∵DA∥CE，∴①又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴AC=AE．代入②式得．分析2由于BD、CD是點(diǎn)D分BC而得，故可過分點(diǎn)D作平行線．證法2：如圖4—10，過D作DE∥AC交AB于E，則∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．于是EA=ED．又∵，∴，∴.分析3欲證式子左邊為AB：AC，而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置．證法3：如圖4—11，過B作BE∥AC，交AD的延長線于E，則∠2=∠E．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=BE．又∵，∴.分析4由于AD是∠BAC的平分線，故可過D分別作AB、AC的平行線，構(gòu)造相似三角形求證．證法4如圖4—12，過D點(diǎn)作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

易證四邊形AEDF是菱形．則DE=DF．由△BDE∽△DFC，得．又∵，∴.全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。如圖2-2，在△ABC中，∠A=90

，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。已知如圖2-3，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15

，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，則PD=（）A4B3C2D12．已知在△ABC中，∠C=90

，AD平分∠3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180

。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90

,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90

，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB12ACDB例5如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。BBDCAABECD例6如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分ABECD練習(xí)：1.已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。CCAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACABABDC123．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CDAAEBDC4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+ADAABCD二、由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC。在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP-PC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB-AC>PB-PC。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+DAECB例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCDCBAMBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DMMBDCA【夯實(shí)基礎(chǔ)】例：中，AD是的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中方式1：延長AD到E，AD是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長作CF⊥AD于F，延長MD到N，作BE⊥AD的延長線于E使DN=MD，連接BE連接CD【經(jīng)典例題】例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過D作DG∥AE交BC于G，證明ΔDGF≌ΔCEF方法2：過E作EG∥AB交BC的延長線于G，證明ΔEFG≌ΔDFB方法3：過D作DG⊥BC于G，過E作EH⊥BC的延長線于H證明ΔBDG≌ΔECH例3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長AD至G，連接BG，證明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF證明ΔABE≌ΔFDE（SAS）進(jìn)而證明ΔADF≌ΔADC（SAS）【融會(huì)貫通】1、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC2、如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F.求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG證明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE//AB交BC于E，求證：CT=BE.提示：過T作TN⊥AB于N證明ΔBTN≌ΔECD1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。EEDCBA2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE四、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=?！唳DF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE?！逜B//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點(diǎn)定義）∠1=∠5（對(duì)頂角相等）ED=MD（輔助線作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）∠1=∠2（對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。練習(xí)：1如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。BBADC862如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。BEBECDA3如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AM⊥DC。DDMCDEDADBD4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。ABDCABDCEF常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答．（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．（二）、截長補(bǔ)短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證;AB＝AC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖①中，若