求導(dǎo)數(shù)的方法法則與公式

求導(dǎo)數(shù)的方法法則與公式第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則

如果函數(shù)u(x)和v(x)是x的可導(dǎo)函數(shù),則它們的和、差、積、商(分母不為零)也是x的可導(dǎo)函數(shù),并且(1)[uv]=uv(2)(uv)=uv+uv(3)特別,第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日推論:(2)[Cf(x)]=Cf(x)(1)(3)第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例1.求y=x32x2+sinx的導(dǎo)數(shù)解:y=(x32x2+sinx)=(x3)(2x2)+(sinx)=3x24x+cosx第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例2.求y=sin2xlnx的導(dǎo)數(shù)解:y=2sinxcosxlnxy=2(sinx)cosxlnx+2sinx(cosx)lnx+2sinxcosx(lnx)=2cosxcosxlnx+2sinx(sinx)lnx第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例3.求y=tanx的導(dǎo)數(shù)解:=sec2x即(tanx)=sec2x同理可得:(cotx)=csc2x第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例4.求y=secx的導(dǎo)數(shù)解:=secxtanx同理可得:(cscx)=cscxcotx即(secx)=secxtanx第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),y=f(u)在對應(yīng)點(diǎn)u=(x)處也可導(dǎo),則有復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為:

即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日公式也可寫成公式還可推廣到多次復(fù)合的情形.如y=f(u)，u=(v),v=g(x),則關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例5.求y=lnsinx的導(dǎo)數(shù)解:y=lnu,u=sinx=cotx求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵:

對復(fù)合函數(shù)進(jìn)行正確的分解第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日三、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

由方程F(x,y)=0確定了y是x的函數(shù),這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù).隱函數(shù)求導(dǎo)法則:

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

下面介紹不必顯化，就能直接求出隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法.隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例6.求xy+lny=1所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y解:方程兩邊對x求導(dǎo)得:第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例7.設(shè)x4xy+y4=1,求y在點(diǎn)(0,1)處的值解:方程兩邊對x求導(dǎo)得:4x3yxy+4y3y=0(1)方程(1)兩邊再對x求導(dǎo)得:12x22yxy+12y2(y)2+4y3y=0(2)(1),(2)分別代入x=0,y=1得第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例8.求曲線3y2=x2(x+1)在點(diǎn)(2,2)處的切線方程解:方程兩邊對x求導(dǎo)得:6yy=3x2+2x因而所求切線方程為:即4x3y2=0第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例9.求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導(dǎo)故切線方程為即第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日四.任意指數(shù)的冪函數(shù)y=x(R)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法:

先對等式兩邊取對數(shù),然后根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)對y=x

兩邊取對數(shù),得:lny=lnx兩端對x求導(dǎo),得:即得(x)=x1

第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日五、指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a1)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對數(shù),得:lny=xlna兩端對x求導(dǎo),得:即得(ax)=axlna

y=ylna特別,(ex)=ex

第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例11.設(shè)解令第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例12.解第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例13.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例14.

解:第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例15.求(x>2)的導(dǎo)數(shù)解:第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日六、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)x=(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),且(y)0,則它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix也可導(dǎo),且有或

即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)∵x=(y)1=(y)y第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例16.求函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù)解:其反函數(shù)x=siny在(/2,/2)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)且(siny)=cosy>0在(1,1)內(nèi)有:第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日故同理有:第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例17.

證明證：y=arctanx是x=tany在上的反函數(shù)x=tany在內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)，且第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例18.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

確定y與x間的函數(shù)關(guān)系,稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程例如,消去參數(shù)t第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

設(shè)函數(shù)x=(t)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)t=1(x)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?

設(shè)函數(shù)x=(t),y=f(t)都可導(dǎo),且(t)0,由復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則,有:即,則y=f[1(x)]第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例19.求擺線在處的切線方程解:=1第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)時,所求切線方程為:即第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例20.求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù):(1)y=xn(2)y=ex(3)y=sinx解:(1)y=nxn1y=n(n1)xn2...(xn)(n)=n!(2)y=exy=ex...(ex)(n)=ex第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日(3)y