流體力學第三章

流體力學第三章第一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日

流體靜力學就是研究平衡流體的力學規(guī)律及其應用的科學。靜止（或者說平衡），是指流體宏觀質點之間沒有相對運動，達到了相對的平衡。靜止絕對靜止相對靜止流體對地球無相對運動但流體對運動容器無相對運動，流體質點之間也無相對運動。第二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日本節(jié)課討論的主要內容3.1流體靜壓強及其特性3.2流體平衡方程式注意梯度、旋度、微分算子等概念第三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日3.1流體靜壓強及其特性一、靜壓強靜止的流體無相互運動不表現(xiàn)出黏性，即不存在摩擦力（剪力），切向應力為零，只存在法向應力即壓力。應力處處與其作用面垂直。流體靜壓強就是負的法向應力，即

第四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日二流體靜壓強的特性1、流體靜壓強方向必然重合于受力面的內法線方向，即流體靜壓強的方向沿作用面的內法線方向。假設：在靜止流體中，流體靜壓強方向不與作用面相垂直，與作用面的切線方向成α角切向壓強pt法向壓強pn則存在流體要流動與假設靜止流體相矛盾第五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日2、壓強大小跟受力面位置的關系通常，壓強的大小跟受力面的位置（或說方向）有關。但是對于靜止流體，流體中任一點流體靜壓強的大小與其作用面在空間的方位無關，只是該點坐標的連續(xù)函數(shù)，也就是說，靜止流體中任一點上不論來自何方的靜壓強均相等。第六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日證明取如圖微元面體，認為作用在各個面上的壓強均勻分布的。第七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日第八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日Y方向上的力平衡由于因此當四面體向A點收縮時，第九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日3.2流體平衡方程式1、平衡方程式取一個矩形微元六面體，其六個面分別與坐標軸平行，設微元中心處的壓強為p，由于這是個微小體積，因此認為六個面上的壓強各自均勻分布，常用面向中心來代表。第十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日而面上中心處的壓強又可以圍繞六面體中心做Taylor展開，并忽略二階以上的高階量，則A、B點的靜壓強為第十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日假設為六面體的平均密度，為作用在六面體內單位質量流體上的質量力沿坐標的分力，則x方向的平衡方程為流體平衡的歐拉方程第十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日2壓強差公式及等壓面靜壓強全微分歐拉方程代入壓差公式壓強相等的各點組成的面稱為等壓面，即作用于靜止流體中任一點的質量力必垂直于通過該點的等壓面。第十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日*靜止流場基本特性

(1)流體靜止時質量力必須滿足的條件

對靜力學基本方程兩邊取旋度，有：則有：第十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日由于

，所以有即流體靜止的必要條件。在直角坐標系中為：第十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日例.設在一流場中有質量力：問：當λ,μ,v取何值時，該流場是靜止的。第十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日解：流場中流體靜止的條件是質量力滿足式：對給定的質量力求偏導數(shù)：在直角坐標系中的表達式為：第十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日將其帶入流體靜止條件得：第十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日要使上式恒成立，只能是各項的系數(shù)為零，即:解三元一次方程組得：

只有滿足上述條件時，該流場中的流體才是靜止的。第十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日(2)質量力有勢

對于不可壓縮流體，其密度ρ=const，則由上式其中U為標量函數(shù)。所以這是不可壓縮流體靜止的必要條件。兩邊取旋度：第二十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日

流體質量力滿足這個關系就稱為質量力有勢，因此質量力有勢是不可壓縮流體靜止的必要條件，U被稱為質量力勢函數(shù)。右邊的負號表示質量力作正功等于質量力勢的減少。②流體的密度只隨壓強變化的正壓流場壓強差公式第二十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日總結流體靜壓強及其特性掌握靜止的概念、靜壓強的特性（理解原理）流體平衡方程式（掌握、理解）第二十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日預習3-3重力場中流體的平衡珀斯卡原理3-4液柱式測壓計3-5流體的相對平衡第二十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日3.3重力場中流體的平衡單位質量力的分力各為：代入壓差公式：流體靜力學基本方程式一、流體靜力學基本方程式第二十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日基本方程不同表達重力作用下靜止流體中各點的單位重量流體的總勢能是相等的第二十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日物理意義單位重量流體對某一基準面的位勢能單位重量流體的壓強勢能位勢能和壓強勢能之和稱為單位重量流體的總勢能。zc例：對于a，b兩點，有重力作用下的連續(xù)均質不可壓縮靜止流體中，各點單位重量流體的總勢能保持不變。第二十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日考察a點和自由液面上的某點列靜力學基本方程式：帕斯卡原理帕斯卡原理：施于在重力作用下不可壓縮流體表面上的壓強，將以同一數(shù)值沿各個方向傳遞到流體中的所有流體質點。第二十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日p02p2z2z11p1完全真空z112z2pe2/gAAA'A'基準面pe1/gpa/gp2/gp1/gp1p0p2pa幾何意義1、單位質量流體所具有的能量用液柱高度來表示，稱為水頭。（位置水頭）2、壓強作用下，在完全真空的測壓管中測得的高度叫壓強水頭。3、位置水頭與壓強水頭的和稱靜水頭，各點靜水頭的連線叫靜水頭線。第二十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日(1)

在重力作用下的靜止液體中，靜壓強隨深度按線性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強值成正比增大。三個重要結論(2)在靜止液體中，任意一點的靜壓強由兩部分組成：自由液面上的壓強p0；該點到自由液面的單位面積上的液柱重量ρgh。(3)在靜止液體中，位于同一深度(h＝常數(shù))的各點的靜壓強相等，即任一水平面都是等壓面。第二十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日二、標準大氣的壓強分布對流層：從海平面到11000m第三十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日同溫層：11000m到20100m,近似積分限第三十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日三、絕對壓強、計示壓強①絕對壓強：以完全真空為基準計量的壓強。液面上的壓強就是大氣壓強時，則a點的絕對壓強為：②計示壓強：以當?shù)卮髿鈮簭姙榛鶞视嬃康膲簭?。a點的計示壓強為：可正可負絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮簭姷呢撚嬍緣簭娪址Q真空。第三十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日3.4液柱式測壓計1、測壓管結構簡單，測量準確，缺點:只能測量較小的壓強。2、U形管測壓計測壓測真空度計示壓強第三十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日測壓管3、U形管壓差計4、傾斜微壓計5、補償式微壓計第三十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日一.直線等加速運動容器中的靜止液體一個盛有液體的容器相對于地面作直線勻加速運動，其加速度為：

若將非慣性坐標系固定在容器上，則由達朗貝爾原理，該非慣性坐標系中的流體將受到慣性力的作用，且單位質量流體受到的慣性力為-a。3.5液體的相對平衡第三十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日將上式代入基本方程得：于是容器中單位質量流體的質量力就由慣性力和重力兩部分組成：其直角坐標系下的分量式為：第三十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日則非慣性坐標系中靜止液體壓力的全微分可以表示為：由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布：其中：c為積分常數(shù)，由具體問題確定。第三十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日一般性（課本中）如圖有代入下式

等壓面邊界條件壓力方程自由液面第三十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日例題：如圖為運送液體的槽車簡化模型。槽車以等加速度a做水平運動，車內液高H，試求槽車在等加速運動過程中自由液面的形狀。假定自由液面的壓力為p0?！谌彭?，共七十三頁，編輯于2023年，星期日帶入壓力全微分公式：解：將固定在槽車上的運動坐標系的原點置于靜止時自由液面的中點。則槽車運動時單位質量液體受到的重力和液體的加速度分量分別為：ozaxh→由于自由液面為等壓面，dp=0，所以有第四十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日

adx=-gdz積分得

z=-ax/g+c自由液面通過原點，則c=0，則自由液面方程為：

說明自由液面是斜率為-a/g的傾斜平面。

此外，槽車內液體的壓力分布為：第四十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日改寫成：式中

項正好等于液體自由液面以下的垂直深度h，可確定則：此式表明，在非慣性坐標系中，靜止液體中壓力同樣只是液體深度的函數(shù)。第四十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日練習：一加滿水的柱體直徑為30cm，60cm高，問逐漸加上多少加速度會溢出1/4的水量？1/2的水量？全部的水量？第四十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日二、等角速度旋轉容器中液體的平衡代入壓強差公式積分邊界條件

第四十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日回顧1、重力場中流體的平衡帕斯卡原理掌握靜力學基本方程式，理解其物理意義及幾何意義。掌握帕斯卡原理。了解標準大氣的壓強分布，掌握絕對壓強及計示壓強。2、液柱式測壓計（理解原理）3、液體的相對平衡掌握水平直線等加速運動容器及等角速旋轉容器中液體的相對平和規(guī)律第四十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日要求1、課后仔細理解書中的例題；2、復習；3、預習：第三章的剩余部分；作業(yè)：3-3,3-4,3-5,3-7第四十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日面積矩：平面圖形對某一軸的面積矩S等于此圖形中各微面積與其到該軸距離的成績的代數(shù)和，也等于此圖形的面積與此圖形的形心到該軸距離的乘積。合力矩定理：平面力系的合力對平面上任一點之矩，等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。慣性矩：面積元素至y軸或z軸距離平方的乘積。平行移軸定理：該截面對P軸的截面慣性矩等于對與P軸平行的形心軸（x軸）的截面慣性矩與其截面面積和兩軸（P軸和x軸）間距離平方的乘積之和。第四十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日水平壁面的總壓力

圖2-22中四容器底面總壓力相等（作用在容器底面的總壓力不能與容器所盛液體的重力相混淆）

3.6靜止液體作用在平面上的總壓力第四十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日1總壓力的大小液深不同，靜壓強不同，但方向均垂直指向平面A，組成一平行力系。問題：平行力系的合成問題。微元面積上的壓強：沿面積A積分平面A對ox軸的面積矩C為形心第四十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日式中：Ix為平面A對Ox軸的慣性距。

由慣性距性質進一步分析可知：壓力中心D永遠在形心c的下方。

2總壓力的作用點D（總壓力的作用線與平面的交點）合力矩定理慣性矩第五十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)慣性矩平行移軸定理代入第五十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日（曲面上壓力體的重力）

3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力1．

總壓力的大小和方向水平分力垂直分力第五十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日總壓力大?。嚎倝毫εc垂線間的夾角：

第五十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日2作用點（如圖2-26）

垂直分力通過壓力體重心指向受壓面，水平分力通過壓力中心指向受壓面，總壓力作用線通過兩條線交點與垂線成角指向受壓面，與受壓面交點即為作用點。第五十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日3壓力體

如圖2-27，液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重力，但并非作用在曲面上的一定是它上面壓力體的液體重力。第五十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日

3.8靜止液體作用在潛體和浮體上的浮力

完全浸沒或部分浸沒在液體中的物體，要受到液體對它的作用力，其合力稱之為浮力。表示為：其中，“-”表示dA上的壓力與

相反。A為物體表面面積，為表面單位法線矢量，p為物體表面所受的壓力。

第五十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日①完全浸沒物體的浮力

對于一個完全浸沒在液體中的物體，物體體積為V，表面積為A液體密度為ρ，自由液體與大氣接觸，大氣壓為p0，物體表面所受壓力為：以坐標原點為參數(shù)點.第五十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日則浮力為由于p0為常數(shù)，故有

根據(jù)奧-高公式有：

上式表明，物體所受到的浮力等于其所排開的液體的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。第五十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日②部分浸沒物體的浮力物體的浮力可寫成：第五十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日

假定沿自由液面切割物體，物體切割面的面積為A0，顯然有于是A1，A0構成封閉面，應用奧-高公式有：第六十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日上式表明，部分浸沒的物體受的浮力同樣等于其所排開的液體的重量，方向垂直向上。于是可將液體中的物體受的浮力寫成：第六十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日(阿基米德原理)液體作用在沉沒物體上的總壓力的方向垂直向上，大小等于沉沒物體所排開液體的重力。

課本物體浮出水面平衡，潛體物體下沉第六十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日例3-6：如圖，一矩形閘門兩面受到水的壓力，

閘門寬度試求作用在閘門上的總壓力及其作用點。解：例題第六十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日以上作用點是分別以閘門兩側液面交點為基準，轉為以o點為基準的力矩平衡式為：第六十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日例3-7：一柱形閘門如圖，，，閘門寬度，試求作用于曲面上的總壓力。解：水平分力

垂直分力

第六十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日總壓力大小、方向

第六十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日例3-10：汽油容器底部有一的圓閥，閥芯用拽繩系于的柱形浮子上，浮子與閥芯的總質量，汽油密度，拽繩長度，試求開啟圓閥的液面高度。解：浮力：向下的力：兩力相等得開閥液面高度：第六十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期日本章概念匯總

1、流體靜力學：研究流體處于平衡的力學規(guī)律。2、靜止狀態(tài)：流體相對于慣性系沒有運動的狀態(tài)。3、相對靜止狀態(tài)：流體相對于慣性系有運動，而對某非慣性系沒