流體力學(xué)第三章

流體力學(xué)第三章第一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

流體靜力學(xué)就是研究平衡流體的力學(xué)規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。靜止（或者說(shuō)平衡），是指流體宏觀質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到了相對(duì)的平衡。靜止絕對(duì)靜止相對(duì)靜止流體對(duì)地球無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)但流體對(duì)運(yùn)動(dòng)容器無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)之間也無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。第二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日本節(jié)課討論的主要內(nèi)容3.1流體靜壓強(qiáng)及其特性3.2流體平衡方程式注意梯度、旋度、微分算子等概念第三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.1流體靜壓強(qiáng)及其特性一、靜壓強(qiáng)靜止的流體無(wú)相互運(yùn)動(dòng)不表現(xiàn)出黏性，即不存在摩擦力（剪力），切向應(yīng)力為零，只存在法向應(yīng)力即壓力。應(yīng)力處處與其作用面垂直。流體靜壓強(qiáng)就是負(fù)的法向應(yīng)力，即

第四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日二流體靜壓強(qiáng)的特性1、流體靜壓強(qiáng)方向必然重合于受力面的內(nèi)法線(xiàn)方向，即流體靜壓強(qiáng)的方向沿作用面的內(nèi)法線(xiàn)方向。假設(shè)：在靜止流體中，流體靜壓強(qiáng)方向不與作用面相垂直，與作用面的切線(xiàn)方向成α角切向壓強(qiáng)pt法向壓強(qiáng)pn則存在流體要流動(dòng)與假設(shè)靜止流體相矛盾第五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、壓強(qiáng)大小跟受力面位置的關(guān)系通常，壓強(qiáng)的大小跟受力面的位置（或說(shuō)方向）有關(guān)。但是對(duì)于靜止流體，流體中任一點(diǎn)流體靜壓強(qiáng)的大小與其作用面在空間的方位無(wú)關(guān)，只是該點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，也就是說(shuō)，靜止流體中任一點(diǎn)上不論來(lái)自何方的靜壓強(qiáng)均相等。第六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明取如圖微元面體，認(rèn)為作用在各個(gè)面上的壓強(qiáng)均勻分布的。第七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日Y方向上的力平衡由于因此當(dāng)四面體向A點(diǎn)收縮時(shí)，第九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.2流體平衡方程式1、平衡方程式取一個(gè)矩形微元六面體，其六個(gè)面分別與坐標(biāo)軸平行，設(shè)微元中心處的壓強(qiáng)為p，由于這是個(gè)微小體積，因此認(rèn)為六個(gè)面上的壓強(qiáng)各自均勻分布，常用面向中心來(lái)代表。第十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日而面上中心處的壓強(qiáng)又可以圍繞六面體中心做Taylor展開(kāi)，并忽略二階以上的高階量，則A、B點(diǎn)的靜壓強(qiáng)為第十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日假設(shè)為六面體的平均密度，為作用在六面體內(nèi)單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力沿坐標(biāo)的分力，則x方向的平衡方程為流體平衡的歐拉方程第十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日2壓強(qiáng)差公式及等壓面靜壓強(qiáng)全微分歐拉方程代入壓差公式壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)組成的面稱(chēng)為等壓面，即作用于靜止流體中任一點(diǎn)的質(zhì)量力必垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等壓面。第十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日*靜止流場(chǎng)基本特性

(1)流體靜止時(shí)質(zhì)量力必須滿(mǎn)足的條件

對(duì)靜力學(xué)基本方程兩邊取旋度，有：則有：第十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于

，所以有即流體靜止的必要條件。在直角坐標(biāo)系中為：第十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例.設(shè)在一流場(chǎng)中有質(zhì)量力：?jiǎn)枺寒?dāng)λ,μ,v取何值時(shí)，該流場(chǎng)是靜止的。第十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：流場(chǎng)中流體靜止的條件是質(zhì)量力滿(mǎn)足式：對(duì)給定的質(zhì)量力求偏導(dǎo)數(shù)：在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：第十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日將其帶入流體靜止條件得：第十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日要使上式恒成立，只能是各項(xiàng)的系數(shù)為零，即:解三元一次方程組得：

只有滿(mǎn)足上述條件時(shí)，該流場(chǎng)中的流體才是靜止的。第十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)質(zhì)量力有勢(shì)

對(duì)于不可壓縮流體，其密度ρ=const，則由上式其中U為標(biāo)量函數(shù)。所以這是不可壓縮流體靜止的必要條件。兩邊取旋度：第二十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

流體質(zhì)量力滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系就稱(chēng)為質(zhì)量力有勢(shì)，因此質(zhì)量力有勢(shì)是不可壓縮流體靜止的必要條件，U被稱(chēng)為質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)。右邊的負(fù)號(hào)表示質(zhì)量力作正功等于質(zhì)量力勢(shì)的減少。②流體的密度只隨壓強(qiáng)變化的正壓流場(chǎng)壓強(qiáng)差公式第二十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日總結(jié)流體靜壓強(qiáng)及其特性掌握靜止的概念、靜壓強(qiáng)的特性（理解原理）流體平衡方程式（掌握、理解）第二十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日預(yù)習(xí)3-3重力場(chǎng)中流體的平衡珀斯卡原理3-4液柱式測(cè)壓計(jì)3-5流體的相對(duì)平衡第二十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.3重力場(chǎng)中流體的平衡單位質(zhì)量力的分力各為：代入壓差公式：流體靜力學(xué)基本方程式一、流體靜力學(xué)基本方程式第二十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日基本方程不同表達(dá)重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的單位重量流體的總勢(shì)能是相等的第二十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日物理意義單位重量流體對(duì)某一基準(zhǔn)面的位勢(shì)能單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能位勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能之和稱(chēng)為單位重量流體的總勢(shì)能。zc例：對(duì)于a，b兩點(diǎn)，有重力作用下的連續(xù)均質(zhì)不可壓縮靜止流體中，各點(diǎn)單位重量流體的總勢(shì)能保持不變。第二十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日考察a點(diǎn)和自由液面上的某點(diǎn)列靜力學(xué)基本方程式：帕斯卡原理帕斯卡原理：施于在重力作用下不可壓縮流體表面上的壓強(qiáng)，將以同一數(shù)值沿各個(gè)方向傳遞到流體中的所有流體質(zhì)點(diǎn)。第二十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日p02p2z2z11p1完全真空z112z2pe2/gAAA'A'基準(zhǔn)面pe1/gpa/gp2/gp1/gp1p0p2pa幾何意義1、單位質(zhì)量流體所具有的能量用液柱高度來(lái)表示，稱(chēng)為水頭。（位置水頭）2、壓強(qiáng)作用下，在完全真空的測(cè)壓管中測(cè)得的高度叫壓強(qiáng)水頭。3、位置水頭與壓強(qiáng)水頭的和稱(chēng)靜水頭，各點(diǎn)靜水頭的連線(xiàn)叫靜水頭線(xiàn)。第二十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日(1)

在重力作用下的靜止液體中，靜壓強(qiáng)隨深度按線(xiàn)性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強(qiáng)值成正比增大。三個(gè)重要結(jié)論(2)在靜止液體中，任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：自由液面上的壓強(qiáng)p0；該點(diǎn)到自由液面的單位面積上的液柱重量ρgh。(3)在靜止液體中，位于同一深度(h＝常數(shù))的各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)相等，即任一水平面都是等壓面。第二十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、標(biāo)準(zhǔn)大氣的壓強(qiáng)分布對(duì)流層：從海平面到11000m第三十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日同溫層：11000m到20100m,近似積分限第三十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、絕對(duì)壓強(qiáng)、計(jì)示壓強(qiáng)①絕對(duì)壓強(qiáng)：以完全真空為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。液面上的壓強(qiáng)就是大氣壓強(qiáng)時(shí)，則a點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)為：②計(jì)示壓強(qiáng)：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。a點(diǎn)的計(jì)示壓強(qiáng)為：可正可負(fù)絕對(duì)壓強(qiáng)小于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)的負(fù)計(jì)示壓強(qiáng)又稱(chēng)真空。第三十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.4液柱式測(cè)壓計(jì)1、測(cè)壓管結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，測(cè)量準(zhǔn)確，缺點(diǎn):只能測(cè)量較小的壓強(qiáng)。2、U形管測(cè)壓計(jì)測(cè)壓測(cè)真空度計(jì)示壓強(qiáng)第三十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日測(cè)壓管3、U形管壓差計(jì)4、傾斜微壓計(jì)5、補(bǔ)償式微壓計(jì)第三十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日一.直線(xiàn)等加速運(yùn)動(dòng)容器中的靜止液體一個(gè)盛有液體的容器相對(duì)于地面作直線(xiàn)勻加速運(yùn)動(dòng)，其加速度為：

若將非慣性坐標(biāo)系固定在容器上，則由達(dá)朗貝爾原理，該非慣性坐標(biāo)系中的流體將受到慣性力的作用，且單位質(zhì)量流體受到的慣性力為-a。3.5液體的相對(duì)平衡第三十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日將上式代入基本方程得：于是容器中單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力就由慣性力和重力兩部分組成：其直角坐標(biāo)系下的分量式為：第三十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日則非慣性坐標(biāo)系中靜止液體壓力的全微分可以表示為：由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布：其中：c為積分常數(shù)，由具體問(wèn)題確定。第三十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日一般性（課本中）如圖有代入下式

等壓面邊界條件壓力方程自由液面第三十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題：如圖為運(yùn)送液體的槽車(chē)簡(jiǎn)化模型。槽車(chē)以等加速度a做水平運(yùn)動(dòng)，車(chē)內(nèi)液高H，試求槽車(chē)在等加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中自由液面的形狀。假定自由液面的壓力為p0。→第三十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日帶入壓力全微分公式：解：將固定在槽車(chē)上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于靜止時(shí)自由液面的中點(diǎn)。則槽車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)單位質(zhì)量液體受到的重力和液體的加速度分量分別為：ozaxh→由于自由液面為等壓面，dp=0，所以有第四十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

adx=-gdz積分得

z=-ax/g+c自由液面通過(guò)原點(diǎn)，則c=0，則自由液面方程為：

說(shuō)明自由液面是斜率為-a/g的傾斜平面。

此外，槽車(chē)內(nèi)液體的壓力分布為：第四十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日改寫(xiě)成：式中

項(xiàng)正好等于液體自由液面以下的垂直深度h，可確定則：此式表明，在非慣性坐標(biāo)系中，靜止液體中壓力同樣只是液體深度的函數(shù)。第四十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日練習(xí)：一加滿(mǎn)水的柱體直徑為30cm，60cm高，問(wèn)逐漸加上多少加速度會(huì)溢出1/4的水量？1/2的水量？全部的水量？第四十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的平衡代入壓強(qiáng)差公式積分邊界條件

第四十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日回顧1、重力場(chǎng)中流體的平衡帕斯卡原理掌握靜力學(xué)基本方程式，理解其物理意義及幾何意義。掌握帕斯卡原理。了解標(biāo)準(zhǔn)大氣的壓強(qiáng)分布，掌握絕對(duì)壓強(qiáng)及計(jì)示壓強(qiáng)。2、液柱式測(cè)壓計(jì)（理解原理）3、液體的相對(duì)平衡掌握水平直線(xiàn)等加速運(yùn)動(dòng)容器及等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對(duì)平和規(guī)律第四十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日要求1、課后仔細(xì)理解書(shū)中的例題；2、復(fù)習(xí)；3、預(yù)習(xí)：第三章的剩余部分；作業(yè)：3-3,3-4,3-5,3-7第四十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日面積矩：平面圖形對(duì)某一軸的面積矩S等于此圖形中各微面積與其到該軸距離的成績(jī)的代數(shù)和，也等于此圖形的面積與此圖形的形心到該軸距離的乘積。合力矩定理：平面力系的合力對(duì)平面上任一點(diǎn)之矩，等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。慣性矩：面積元素至y軸或z軸距離平方的乘積。平行移軸定理：該截面對(duì)P軸的截面慣性矩等于對(duì)與P軸平行的形心軸（x軸）的截面慣性矩與其截面面積和兩軸（P軸和x軸）間距離平方的乘積之和。第四十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日水平壁面的總壓力

圖2-22中四容器底面總壓力相等（作用在容器底面的總壓力不能與容器所盛液體的重力相混淆）

3.6靜止液體作用在平面上的總壓力第四十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日1總壓力的大小液深不同，靜壓強(qiáng)不同，但方向均垂直指向平面A，組成一平行力系。問(wèn)題：平行力系的合成問(wèn)題。微元面積上的壓強(qiáng)：沿面積A積分平面A對(duì)ox軸的面積矩C為形心第四十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日式中：Ix為平面A對(duì)Ox軸的慣性距。

由慣性距性質(zhì)進(jìn)一步分析可知：壓力中心D永遠(yuǎn)在形心c的下方。

2總壓力的作用點(diǎn)D（總壓力的作用線(xiàn)與平面的交點(diǎn)）合力矩定理慣性矩第五十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日根據(jù)慣性矩平行移軸定理代入第五十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日（曲面上壓力體的重力）

3.7靜止液體作用在曲面上的總壓力1．

總壓力的大小和方向水平分力垂直分力第五十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日總壓力大?。嚎倝毫εc垂線(xiàn)間的夾角：

第五十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日2作用點(diǎn)（如圖2-26）

垂直分力通過(guò)壓力體重心指向受壓面，水平分力通過(guò)壓力中心指向受壓面，總壓力作用線(xiàn)通過(guò)兩條線(xiàn)交點(diǎn)與垂線(xiàn)成角指向受壓面，與受壓面交點(diǎn)即為作用點(diǎn)。第五十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3壓力體

如圖2-27，液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重力，但并非作用在曲面上的一定是它上面壓力體的液體重力。第五十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

3.8靜止液體作用在潛體和浮體上的浮力

完全浸沒(méi)或部分浸沒(méi)在液體中的物體，要受到液體對(duì)它的作用力，其合力稱(chēng)之為浮力。表示為：其中，“-”表示dA上的壓力與

相反。A為物體表面面積，為表面單位法線(xiàn)矢量，p為物體表面所受的壓力。

第五十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日①完全浸沒(méi)物體的浮力

對(duì)于一個(gè)完全浸沒(méi)在液體中的物體，物體體積為V，表面積為A液體密度為ρ，自由液體與大氣接觸，大氣壓為p0，物體表面所受壓力為：以坐標(biāo)原點(diǎn)為參數(shù)點(diǎn).第五十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日則浮力為由于p0為常數(shù)，故有

根據(jù)奧-高公式有：

上式表明，物體所受到的浮力等于其所排開(kāi)的液體的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。第五十八頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日②部分浸沒(méi)物體的浮力物體的浮力可寫(xiě)成：第五十九頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

假定沿自由液面切割物體，物體切割面的面積為A0，顯然有于是A1，A0構(gòu)成封閉面，應(yīng)用奧-高公式有：第六十頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日上式表明，部分浸沒(méi)的物體受的浮力同樣等于其所排開(kāi)的液體的重量，方向垂直向上。于是可將液體中的物體受的浮力寫(xiě)成：第六十一頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日(阿基米德原理)液體作用在沉沒(méi)物體上的總壓力的方向垂直向上，大小等于沉沒(méi)物體所排開(kāi)液體的重力。

課本物體浮出水面平衡，潛體物體下沉第六十二頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3-6：如圖，一矩形閘門(mén)兩面受到水的壓力，

閘門(mén)寬度試求作用在閘門(mén)上的總壓力及其作用點(diǎn)。解：例題第六十三頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日以上作用點(diǎn)是分別以閘門(mén)兩側(cè)液面交點(diǎn)為基準(zhǔn)，轉(zhuǎn)為以o點(diǎn)為基準(zhǔn)的力矩平衡式為：第六十四頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3-7：一柱形閘門(mén)如圖，，，閘門(mén)寬度，試求作用于曲面上的總壓力。解：水平分力

垂直分力

第六十五頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日總壓力大小、方向

第六十六頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3-10：汽油容器底部有一的圓閥，閥芯用拽繩系于的柱形浮子上，浮子與閥芯的總質(zhì)量，汽油密度，拽繩長(zhǎng)度，試求開(kāi)啟圓閥的液面高度。解：浮力：向下的力：兩力相等得開(kāi)閥液面高度：第六十七頁(yè)，共七十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日本章概念匯總

1、流體靜力學(xué)：研究流體處于平衡的力學(xué)規(guī)律。2、靜止?fàn)顟B(tài)：流體相對(duì)于慣性系沒(méi)有運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。3、相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)：流體相對(duì)于慣性系有運(yùn)動(dòng)，而對(duì)某非慣性系沒(méi)