用空間向量解決立體幾何問(wèn)題

利用空間向量解決立體幾何的問(wèn)題研究一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有二.平面法向量的求法：平面的法向量不惟一，合理取值即可。二.平面法向量的求法：二.平面法向量的求法：l1l2四.利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題：證明線線平行的方法即:要證明空間中兩條直線平行，可通過(guò)證明這兩條直線所在的方向向量平行.l1四.利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題：證明線面平行的方法即:要證明空間中直線與平面平行，可通過(guò)證明這直線所在的方向向量與平面的法向量垂直.四.利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題：證明面面平行的方法即:要證明空間中兩平面平行，可通過(guò)證明這兩平面的法向量平行.l1l2四.利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題：證明線線垂直的方法即:要證明空間中兩條直線垂直，可通過(guò)證明這兩條直線所在的方向向量垂直.l四.利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題：證明線面垂直的方法四.利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題：證明面面垂直的方法即:要證明空間中兩平面垂直，可通過(guò)證明這兩平面的法向量垂直.1.異面直線所成角的范圍：

結(jié)論：五.利用向量解決異面直線所成角的方法：2.直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：六.利用空間向量解決線面角的方法：ll七.面面角：二面角的范圍：②法向量法注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角用空間向量解決立體幾何問(wèn)題例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABDPEFC例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABDO考點(diǎn)一.由直線的方向向量判斷直線的位置關(guān)系1.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行1.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交考點(diǎn)二.由平面的法向量判斷平面的位置關(guān)系1．如圖，正方體中，

E為的中點(diǎn)，證明：//平面AEC2、在正方體AC中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

AD

、DC

、DD的中點(diǎn)，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP考點(diǎn)三.利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F3.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以所以與所成角的余弦值為解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，設(shè)則：

所以：例：例：在長(zhǎng)方體中，簡(jiǎn)解：所以~~~~練習(xí)：

的棱長(zhǎng)為1.正方體xyz設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，設(shè)平面

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角1.正三棱柱中，D是AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值。CADBC1B1A12.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM1.解法一：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線段的比為由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE1.解法二：同法一，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz

在坐標(biāo)平面yoz中

設(shè)面的一個(gè)法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可?。?1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角2.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得2.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B1A1C1D1DCBAOMxyz例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。DBACEP例4（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：AO⊥平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。1.正三棱柱中，D是AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值。CADBC1B1A12.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM練習(xí)：

解法一：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線段的比為由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz

在坐標(biāo)平面yoz中

設(shè)面的一個(gè)法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可?。?1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角8.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得8.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B1A1C1D1DCBAOMxyz例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZG解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EGABCDPEFXYZG(2)求證：PB⊥平面EFDABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyzSABDOC證明：(1)取BC中點(diǎn)O，連接OA、OS。(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直線SD與平面SAB所成角的正弦值為例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。

DBACEPxzy解：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m，則例4（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：AO⊥平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大?。唬↖II）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。解：（I）略（II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為

（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則令得是平面ACD的一個(gè)法向量，又所以點(diǎn)E到平面ACD的距離例5、(2004，天津)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)。(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點(diǎn)(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB與底面ABCD所成的角的正弦值為所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為

方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角1、如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值

(2)OS與面SAB所成角的余弦值

(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【練習(xí)】

OABCSxyz1、如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值OABCSxyz1、如圖，已知：直角梯形OABC中，