控制系統(tǒng)的頻率特性

《控制工程基礎(chǔ)》第6章控制系統(tǒng)的頻率特性2021/5/91本章主要內(nèi)容：（1）研究控制系統(tǒng)的頻率特性及其表示方法，即研究控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。（2）頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）。（3）頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）。2021/5/926.1頻率特性的基本概念

時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法是分析控制系統(tǒng)的直接方法。 時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)：直觀。 時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法的缺點(diǎn)：分析高階系統(tǒng)非常繁瑣。 頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率特性是系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。應(yīng)用頻率特性研究控制系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。 頻率特性分析法（頻域法）是利用系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性等，是工程上廣泛采用的控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。頻率特性分析法是一種圖解的分析方法。不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。系統(tǒng)的頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，使得控制系統(tǒng)的分析十分方便和直觀。2021/5/93時(shí)域線性定常系統(tǒng)

微分方程傳遞函數(shù)

復(fù)數(shù)域頻率特性

頻域系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型頻率特性的特點(diǎn)（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確定，這對(duì)于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。（2）由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。（3）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。2021/5/94

頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。

注意：穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的頻率相同，僅振幅和相位不同。00.51.01.52.02.53.0-5-4-3-2-101234500.51.01.52.02.53.0-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.02021/5/950123456-8-6-4-20246x(t)y(t)yss(t)紅色為輸入x(t)，藍(lán)色為全響應(yīng)y(t)，黑色為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(t)2021/5/960123456-2-1.5-1-0.500.511.52x(t)y(t)紅色為輸入x(t)，藍(lán)色為全響應(yīng)y(t)，黑色為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(t)yss(t)2021/5/97RCi

(t)ui(t)u0(t)引例：如圖所示的阻容濾波RC電路，求其頻率特性。已知該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)其拉普拉斯變換為6.1.1引例2021/5/98則系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉普拉斯變換為作拉普拉斯反變換，得系統(tǒng)的輸出信號(hào)為2021/5/99RC電路的傳遞函數(shù)：將s=jω代入G(s)，可得式中：系統(tǒng)輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量為2021/5/910式中:X—輸入信號(hào)的振幅;—輸入信號(hào)的角頻率。一般線性定常系統(tǒng),設(shè)輸入信號(hào)為正弦函數(shù),即:x(t)=Xsint其拉氏變換為：一般情況下,傳遞函數(shù)可以寫成如下形式:X(s)Y(s)G(s)6.1.2頻率特性的定義2021/5/911系統(tǒng)的輸出為穩(wěn)定系統(tǒng)

待定系數(shù)

穩(wěn)態(tài)輸出2021/5/912式中的待定系數(shù)可按求留數(shù)的方法求得：G(j)是一個(gè)復(fù)數(shù),它可以表示為:式中:2021/5/913將待定系數(shù)代入式中,有:式中:—穩(wěn)態(tài)輸出的幅值,是的函數(shù)。

線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)Xsint的穩(wěn)態(tài)輸出Ysin(t+),仍是一個(gè)正弦信號(hào)。其特點(diǎn)是：①頻率與輸入信號(hào)相同。③相位為(ω)=∠G(j)。②振幅Y為輸入振幅A的倍。

振幅Y和相位都是輸入信號(hào)頻率的函數(shù)。對(duì)于確定的值,振幅Y和相位都是常量。2021/5/914(b)向量圖XYReIm0(a)函數(shù)圖XYx(t)ys(t)ys(t)tx(t)0

輸入、輸出關(guān)系用函數(shù)圖和向量圖表示如下:頻率特性的定義—

幅頻特性—

相頻特性—頻率特性2021/5/915頻率特性的求取方法（1）根據(jù)定義求取 已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。（2）根據(jù)傳遞函數(shù)求取 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即用s=j代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。

頻率特性等于系統(tǒng)輸出和輸入的傅里葉變換之比。2021/5/916頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取（3）通過實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量2021/5/9176.1.3頻率特性的性質(zhì)（1）與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。 它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。（2）頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，不穩(wěn)定系統(tǒng)則無法直接觀察到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。（3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。 當(dāng)頻率改變，則輸出、輸入量的幅值之比A()和相位移()隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲(chǔ)能元件引起的。2021/5/918系統(tǒng)模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)微分方程頻率特性傳遞函數(shù)2021/5/9196.1.4頻率特性的表示方法(1)頻率特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式

（直角坐標(biāo)表示法）

（極坐標(biāo)表示法）2021/5/920(2)頻率特性的幾何表示法對(duì)數(shù)頻率特性曲線：Bode圖，對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖橫坐標(biāo)為頻率，采用對(duì)數(shù)分度。分作兩張圖，縱坐標(biāo)分別為幅值和相位，采用線性分度。幅值的單位采用分貝（dB）來表示。相位的單位采用度或弧度來表示。幅相頻率特性曲線：Nyquist圖，極坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)幅相特性曲線：Nichols圖，對(duì)數(shù)幅相圖，復(fù)合坐標(biāo)圖橫坐標(biāo)為實(shí)頻特性。縱坐標(biāo)為虛頻特性。橫坐標(biāo)為相頻特性，采用度或弧度來表示。縱坐標(biāo)為幅頻特性，采用分貝（dB）來表示。2021/5/921例：一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和頻率特性2021/5/922

由上式可知，一般系統(tǒng)的頻率特性是由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成。幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性之乘積。

相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。2021/5/923《控制工程基礎(chǔ)》第6章控制系統(tǒng)的頻率特性6.2頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）2021/5/924極坐標(biāo)圖（PolarPlots） 當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，根據(jù)頻率特性的極坐標(biāo)公式G(jω)=A(ω)∠φ(ω)，可以計(jì)算出每一個(gè)ω值所對(duì)應(yīng)的幅值A(chǔ)(ω)和相位φ(ω)，將其畫在極坐標(biāo)平面圖上，就得到頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）。

RC網(wǎng)絡(luò)的極坐標(biāo)圖6.2.1極坐標(biāo)圖概述2021/5/925

極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）是反映頻率特性的幾何表示。當(dāng)ω從0逐漸增長至+∞時(shí)，頻率特性G(jω)作為一個(gè)矢量，其矢量端點(diǎn)在復(fù)平面相對(duì)應(yīng)的軌跡就是頻率特性的極坐標(biāo)圖。2021/5/926乃奎斯特（H.Nyquist)1889~1976美國Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家

極坐標(biāo)圖也稱為奈奎斯特圖（NyquistPlots）或奈奎斯特曲線，也稱為幅相頻率特性曲線。2021/5/9276.2.2典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

如果系統(tǒng)如右圖所示,則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般表達(dá)式為典型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖－G(s)H(s)將其分子、分母分解因式，則常見有以下七種典型環(huán)節(jié)：①比例環(huán)節(jié)④一階慣性環(huán)節(jié)⑤一階微分環(huán)節(jié)②積分環(huán)節(jié)③微分環(huán)節(jié)⑥二階振蕩環(huán)節(jié)⑦二階微分環(huán)節(jié)2021/5/928（1）比例環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

所有元部件和系統(tǒng)都包含這種環(huán)節(jié)，如減速器、放大器、液壓放大器等。2021/5/929K=1;G=tf([K],[1]);nyquist(G,'*');axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/930（2）積分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率ω從0→∞時(shí)，特性曲線由虛軸的-∞趨向原點(diǎn)。G(j0)=-∞∠-90°G(j+∞)=0∠-90°2021/5/931G=tf([0,1],[1,0]);nyquist(G);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/932（3）微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率ω從0→∞時(shí)，特性曲線由虛軸的原點(diǎn)趨向+∞。G(j0)=0∠90°G(j+∞)=+∞∠90°2021/5/933G=tf([1,0],[0,1]);nyquist(G);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/934（4）一階慣性環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性-2021/5/935一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

一階慣性環(huán)節(jié)的實(shí)頻特性與虛頻特性滿足下列圓的方程，圓心在（0.5，0），半徑為0.5：G(j0)=1∠0°G(j1/T)=0.707∠-45°G(j+∞)=0∠-90°2021/5/936

一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓，對(duì)稱于實(shí)軸。證明如下：整理得：一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖2021/5/937T=1;G=tf([0,1],[T,1]);nyquist(G);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制一階慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/938↖一階慣性環(huán)節(jié)G(jω)0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ω=0ω=∞←↙2021/5/939（5）一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖ReIm12021/5/940tau=1;G=tf([tau,1],[0,1]);nyquist(G);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/941（6）二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性2021/5/942幅頻特性相頻特性2021/5/943

相位角0o～-180o，表示與負(fù)虛軸有交點(diǎn)。G(j0)=1∠0°G(j+∞)=0∠-180°二階振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

令U(ω)=0，或令φ(ω)=-90o，可得與負(fù)虛軸的交點(diǎn)為：2021/5/944

由圖可見，無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。

當(dāng)過阻尼時(shí)，阻尼系數(shù)越大，其圖形越接近圓。2021/5/945T=1;Zeta1=0.3;G1=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta1*T,1]);Zeta2=0.4;G2=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta2*T,1]);Zeta3=0.5;G3=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta3*T,1]);Zeta4=0.6;G4=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta4*T,1]);Zeta5=0.7;G5=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta5*T,1]);Zeta6=0.8;G6=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta6*T,1]);Zeta7=0.9;G7=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta7*T,1]);Zeta8=1.0;G8=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta8*T,1]);Zeta9=2.0;G9=tf([0,0,1],[T*T,2*Zeta9*T,1]);nyquist(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制二階振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/946下面討論二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性可能出現(xiàn)的極值問題：二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性令得化簡(jiǎn)后為2021/5/947當(dāng)時(shí)，即將ω=ωr代入上式，可以解得二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性出現(xiàn)極值時(shí)的頻率值ωr。所以因?yàn)榇祟l率值ωr才是非負(fù)數(shù)。將此出現(xiàn)極值時(shí)的頻率值ωr代入二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性表達(dá)式，可得幅頻特性的極值Mr為此時(shí)要求，即當(dāng)時(shí)，2021/5/948又因?yàn)锳(0)=1，A(+∞)=0，所以Mr是極大值。因?yàn)樗?021/5/949定義：將使得二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性出現(xiàn)極大值Mr時(shí)的頻率值ωr稱為諧振頻率，并將此極大值Mr稱為諧振峰值。諧振（`resonance）也稱為共振。討論：（1）隨著阻尼比減小↓，諧振峰值Mr增大↑，諧振頻率r→趨近于無阻尼自然振蕩固有頻率n。（2）當(dāng)阻尼比=0時(shí)，r=n，Mr→，此時(shí)二階振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)，為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

（3）諧振峰值Mr越大，表示系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。2021/5/9500Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA點(diǎn)：諧振點(diǎn)B點(diǎn)：與負(fù)虛軸的交點(diǎn)二階振蕩環(huán)節(jié)G(jω)2021/5/951二階振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值Mr與阻尼比的關(guān)系：2021/5/952二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性2021/5/953二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性2021/5/954定義：控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)（1）諧振峰值Mr：是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值Mmax。出現(xiàn)諧振峰值，表明阻尼比<0.707。通常，Mr越大，系統(tǒng)的最大超調(diào)量σ%也越大。（2）諧振頻率r：閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時(shí)的頻率。（3）零頻幅值比M(0)：當(dāng)=0時(shí)閉環(huán)幅頻特性的數(shù)值，其大小反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。（4）頻帶寬度和截止頻率ωb：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值M()，從其初始值M(0)衰減到0.707M(0)時(shí)的頻率值，稱為頻帶寬度（通頻帶寬）。該頻率值也稱為截止頻率ωb，表示系統(tǒng)的幅值衰減到半功率點(diǎn)。 頻帶較寬，表明閉環(huán)系統(tǒng)能夠通過較高頻率的輸入信號(hào)，系統(tǒng)跟蹤信號(hào)的能力較強(qiáng)，響應(yīng)迅速，調(diào)節(jié)時(shí)間短，但對(duì)于高頻干擾信號(hào)的過濾能力就相對(duì)較差。2021/5/955（7）二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性二階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖2021/5/956tau=1;zeta=0.5;num=[tau*tau,2*zeta*tau,1];den=[0,0,1];G=tf(num,den);nyquist(G);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制二階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/957（8）延遲環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖G(j0)=1∠0°G(j+∞)=1∠-∞°相位角0o～-∞o，表示與實(shí)軸和虛軸有無窮多交點(diǎn)。2021/5/958tau=1;N=5;[num,den]=pade(tau,N);G=tf(num,den);nyquist(G);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖：2021/5/9596.2.3一般系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖Nyquist圖的一般作圖方法：（1）寫出頻率特性G(jω)的幅頻特性|G(jω)|和相頻特性∠G(jω)表達(dá)式；（2）分別求出ω=0和ω→+∞時(shí)的頻率特性G(jω)；（3）求Nyquist圖與實(shí)軸的交點(diǎn)，可以利用Im[G(jω)]=0的關(guān)系式求出，也可以利用關(guān)系式∠G(jω)=n·180°求出（其中n為整數(shù)）；（4）求Nyquist圖與虛軸的交點(diǎn)，可以利用Re[G(jω)]=0的關(guān)系式求出，也可以利用關(guān)系式∠G(jω)=n·90°求出（其中n為奇數(shù)）；（5）必要時(shí)畫出Nyquist圖的中間幾點(diǎn)；（6）根據(jù)G(jω)的變化趨勢(shì)，畫出Nyquist圖的大致曲線。2021/5/960例：繪制頻率特性的Nyquist圖G(j0)=1∠0°G(j+∞)=0∠-∞°乃氏圖與實(shí)軸和虛軸有無窮多交點(diǎn)。隨著頻率ω的增加大，曲線距離原點(diǎn)越來越近，相角越來越負(fù)。2021/5/961tau=1;N=5;[num,den]=pade(tau,N);G1=tf(num,den);T=1;G2=tf([0,1],[T,1]);G3=series(G1,G2);w=[0,logspace(-2,5,1000)];nyquist(G3,w);axis([-2,2,-2,2]);采用MATLAB繪制頻率特性的極坐標(biāo)圖：2021/5/962例：繪制頻率特性的Nyquist圖G(j0)=+∞∠-90°G(j+∞)=0∠-270°相角范圍從-90o~-270o，因此必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。2021/5/963解方程即兩邊取正切，得所以曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率為該交點(diǎn)距原點(diǎn)的距離為2021/5/964num=1;den1=[1,0];den2=[1,1];den3=[2,1];den=conv(conv(den1,den2),den3);g=tf(num,den);w=[0,logspace(-2,5,1000)];nyquist(g,w);axis([-11-0.20.2]);采用MATLAB繪制頻率特性的極坐標(biāo)圖：2021/5/965系統(tǒng)的型次定義系統(tǒng)的階次：n階（Order）系統(tǒng)定義系統(tǒng)的型次：λ型（Type）系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般表達(dá)式為2021/5/966按包含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)來分類：當(dāng)λ=0時(shí)，不包含積分環(huán)節(jié)，稱系統(tǒng)為0型系統(tǒng)；當(dāng)λ=1時(shí)，包含1個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)；當(dāng)λ=2時(shí)，包含2個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)；……2021/5/967（1）Nyquist圖的低頻段

0型系統(tǒng)的乃氏圖曲線起始于實(shí)軸的有限值處，即（K，j0）點(diǎn)。例如：一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)。

Ⅰ型系統(tǒng)的乃氏圖曲線起始于相位角為-90°的無窮遠(yuǎn)處。例如：積分環(huán)節(jié)。

Ⅱ型系統(tǒng)的乃氏圖曲線起始于相位角為-180°的無窮遠(yuǎn)處。例如：兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)。

……

結(jié)論：低頻段的頻率特性與系統(tǒng)的型數(shù)有關(guān)。2021/5/968例：繪制頻率特性的Nyquist圖num=1;den1=[1,1];g1=tf(num,den1);den2=[1,1,0];g2=tf(num,den2);den3=[1,1,0,0];g3=tf(num,den3);w=[0,logspace(-2,5,1000)];nyquist(g1,g2,g3,w);axis([-22-22]);2021/5/969（2）Nyquist圖的高頻段 在一般情況下，機(jī)電系統(tǒng)頻率特性分母的階次大于或等于分子的階次。當(dāng)頻率特性分母的階次大于分子的階次，即n>m時(shí)，當(dāng)ω→∞時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)原點(diǎn)處。例如：一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)。當(dāng)頻率特性分母的階次等于分子的階次，即n=m時(shí)，當(dāng)ω→∞時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)實(shí)軸上的有限值。見下面的例題。結(jié)論：高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。2021/5/970例：繪制頻率特性的Nyquist圖（考慮m=n）tau1=1;T1=2;num1=[tau1,1];den1=[T1,1];g1=tf(num1,den1);tau2=3;T2=1;num2=[tau2,1];den2=[T2,1];g2=tf(num2,den2);nyquist(g1,g2);2021/5/971（3）Nyquist圖的負(fù)頻段 令ω從?∞增長到0，相應(yīng)得出的乃氏圖是與ω從0增長到+∞得出的乃氏圖以實(shí)軸對(duì)稱的。 采用MATLAB繪制乃氏圖，可以顯示范圍：?∞<ω<+∞結(jié)論：①在系統(tǒng)頻率特性的分母上增加極點(diǎn)（串聯(lián)積分環(huán)節(jié)），可以使系統(tǒng)相角滯后。②在系統(tǒng)頻率特性的分子上增加零點(diǎn)（串聯(lián)微分環(huán)節(jié)），可以使系統(tǒng)相角超前。2021/5/972T=1;Zeta=0.2;num=1;den=[T*T,2*Zeta*T,1];g=tf(num,den);nyquist(g);例：繪制二階振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖（顯示負(fù)頻段）2021/5/973例：設(shè)系統(tǒng)的頻率特性為解：試列出實(shí)頻和虛頻特性的表達(dá)式。繪制奈氏圖。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2021/5/9740-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。

找出幾個(gè)特殊點(diǎn)（如，與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對(duì)準(zhǔn)確，可以再算幾個(gè)點(diǎn)。2021/5/975下圖是用Matlab工具繪制的奈氏圖。K=1;num=K;den=conv([1,1],[5,1]);G=tf(num,den);nyquist(G);grid;2021/5/976極坐標(biāo)圖小結(jié)：（1）極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）的概念（2）典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）（3）極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）的一般作圖步驟（4）系統(tǒng)的型次，各型次極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）的特點(diǎn)6.2.4極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)極坐標(biāo)圖的影響

（略）習(xí)題：P.225：6-2，6-5，6-6(1)(2)2021/5/977《控制工程基礎(chǔ)》第6章控制系統(tǒng)的頻率特性6.3頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）2021/5/978引例：已知二階振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）如下圖所示，是一條以頻率ω為參變量的平面曲線。2021/5/979

因?yàn)槎A振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性分別是頻率ω的一元函數(shù)，所以其幅頻特性和相頻特性可以分別用下面兩個(gè)圖來表示。2021/5/980

對(duì)上述兩個(gè)圖的坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，如下圖所示，稱為頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。因?yàn)榇朔N圖示方法由Bode提出，所以又被稱為Bode圖。2021/5/981對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（LogarithmicPlots） 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是將幅值與頻率的關(guān)系和相位與頻率的關(guān)系分別畫在兩張圖上，采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙繪制，即頻率坐標(biāo)按對(duì)數(shù)分度，而幅值和相位坐標(biāo)則分別以線性分度。對(duì)數(shù)幅頻特性：（單位：分貝~弧度/秒）對(duì)數(shù)相頻特性：（單位：度或弧度~弧度/秒）6.3.1對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖概述2021/5/982半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙2021/5/983對(duì)數(shù)坐標(biāo)刻度圖(dB)octdecdec.為decade的縮寫：十，十年，十個(gè)一組oct.為octave的縮寫：八個(gè)一組，八度音階Theintervalofeightdiatonicdegreesbetweentwotones,oneofwhichhastwiceasmanyvibrationspersecondastheother.八度音程：兩個(gè)音程之間有八個(gè)音度的間隔，其中一個(gè)每秒的振動(dòng)是另一個(gè)的兩倍。2021/5/984伯德（H.W.Bode)1905~1982美國Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家

對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖也稱伯德圖(BodePlots)，包括對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線等兩條曲線。2021/5/985只標(biāo)注ω的對(duì)數(shù)值。用L(ω)簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)幅頻特性，也稱L(ω)為增益。用(ω)簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)相頻特性。ω=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來；橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定；關(guān)于Bode圖的幾點(diǎn)說明2021/5/986Bode圖的特點(diǎn)（即工程中采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)）：（1）橫坐標(biāo)按頻率取對(duì)數(shù)分度，可以展寬或壓縮頻帶。頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻段、中頻段和高頻段的幅頻特性和相頻特性。低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20LgA(ω)］后，使各因子間的乘除法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加減法運(yùn)算，而在Bode圖上則表示為各因子幅頻特性曲線的疊加，大大簡(jiǎn)化了作圖過程，使系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析變得容易。（3）所有典型環(huán)節(jié)的頻率特性可以用分段直線（漸進(jìn)線）近似表示。即可以采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確的Bode圖，使繪圖十分簡(jiǎn)便。（4）將實(shí)驗(yàn)所得到的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法繪制頻率特性曲線，可以方便地確定頻率特性的函數(shù)表達(dá)式。（5）在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和調(diào)試中，開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對(duì)數(shù)幅頻特性的形狀，只會(huì)使幅頻特性曲線作上下平移。2021/5/987補(bǔ)充：分貝的概念decibeln.分貝abbr.dB Aunitusedtoexpressrelativedifferenceinpowerorintensity,usuallybetweentwoacousticorelectricsignals,equaltotentimesthecommonlogarithmoftheratioofthetwolevels.

分貝通常表示兩個(gè)聲音信號(hào)或電力信號(hào)在功率或強(qiáng)度方面的相對(duì)差別的單位，相當(dāng)于兩個(gè)水平的比率的常用對(duì)數(shù)的十倍。Bode圖中的幅頻特性曲線：decibel-log-frequencyn.分貝對(duì)數(shù)(振幅)頻率(特性)2021/5/988分貝的定義： 對(duì)于大于0的正數(shù)N（沒有量綱的純數(shù)），定義其分貝值n為：n=20lgN（dB）。分貝的物理意義： 設(shè)有功率P，定義其參考功率為P0，二者的比值記作N=P/P0。 因?yàn)楣β实谋戎礜是一個(gè)沒有量綱的純數(shù)，所以可以對(duì)此比值N取常用對(duì)數(shù)lgN，并將此lgN的單位定義為“貝（Bel）”，其物理意義表示兩個(gè)功率值的相對(duì)大小。因此，單位“貝（Bel）”是對(duì)于功率的相對(duì)值的一種度量單位，必需有一個(gè)參考功率作比較。2021/5/989

在工程中，由于“貝（Bel）”的單位太大，使用起來不方便，所以取其1/10作為一個(gè)單位，即10lgN，稱為“分貝（deci-Bel）”，縮寫為dB。前綴deci-表示“十分之一”。（這種做法，類似于公里、米的關(guān)系。） 對(duì)于非功率的信號(hào)，例如電流信號(hào)I，通過電阻R后，所產(chǎn)生的功率為P=I*I*R。設(shè)其參考電流信號(hào)為I0，則其參考功率為P0=I0*I0*R。代入上述的分貝的定義，有

設(shè)電流信號(hào)I與其參考電流信號(hào)I0的比值為N=I/I0，則其分貝值為n=20lgN（dB）。2021/5/990

對(duì)于聲音信號(hào)，一般采用聲音壓強(qiáng)（簡(jiǎn)稱聲強(qiáng)）作為描述其強(qiáng)度的物理量。在工程中，定義參考聲強(qiáng)為p0=2*10^(-5)Pa，將其定義為0dB，作為參考量。用實(shí)際聲音的聲強(qiáng)p與此參考聲強(qiáng)p0進(jìn)行比較，采用分貝的概念所得到的數(shù)值，就是實(shí)際聲音的分貝數(shù)。 人耳能夠分辨的最小分貝數(shù)為0.5dB。人耳能夠承受的最大分貝數(shù)為120dB。在室內(nèi)大聲說話的聲音分貝數(shù)為68~74dB。公共車站等嘈雜環(huán)境的聲音分貝數(shù)為85~95dB。 分貝（decibel）dB是以美國發(fā)明家亞歷山大·格雷厄姆·貝爾命名的，他因發(fā)明電話而聞名于世。因?yàn)樨悹柕膯挝惶致?，不能充分用來描述我們?duì)聲音的感覺，因此前面加了“分”字，代表十分之一。一貝爾等于十分貝。聲學(xué)領(lǐng)域中，分貝的定義是聲源功率與基準(zhǔn)聲功率比值的對(duì)數(shù)乘10的數(shù)值。用于形容聲音的響度。2021/5/991考察幅頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性：分貝值為正，表示系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)有增益作用。分貝值為零，表示系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)有復(fù)現(xiàn)作用。分貝值為負(fù)，表示系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)有衰減作用。例：如果信號(hào)的功率衰減一半，稱為信號(hào)衰減到半功率點(diǎn)，則信號(hào)幅值的衰減比例為：則其分貝值為：2021/5/9926.3.2典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖①比例環(huán)節(jié)④一階慣性環(huán)節(jié)⑤一階微分環(huán)節(jié)②積分環(huán)節(jié)③微分環(huán)節(jié)⑥二階振蕩環(huán)節(jié)⑦二階微分環(huán)節(jié)⑧延遲環(huán)節(jié)2021/5/993（1）比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性比例環(huán)節(jié)的Bode圖02021/5/994K=10;G=tf([K],[1]);bode(G);grid;采用MATLAB繪制比例環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/995（2）積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性

當(dāng)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，斜率為－40dB/dec，相位為-180°。 當(dāng)有n個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，斜率為n(－20)dB/dec，相位為n(-90°)。積分環(huán)節(jié)的Bode圖2021/5/996G1=tf([1],[1,0]);G2=tf([1],[1,0,0]);G3=tf([1],[1,0,0,0]);G4=tf([1],[1,0,0,0,0]);w=logspace(-1,1,100);bode(G1,G2,G3,G4,w);grid;采用MATLAB繪制積分環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/997（3）微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性微分環(huán)節(jié)的Bode圖

當(dāng)有兩個(gè)微分環(huán)節(jié)時(shí)，斜率為40dB/dec，相位為180°。 當(dāng)有n個(gè)微分環(huán)節(jié)時(shí)，斜率為n×20dB/dec，相位為n×90°。2021/5/998G1=tf([1,0],[1]);G2=tf([1,0,0],[1]);G3=tf([1,0,0,0],[1]);G4=tf([1,0,0,0,0],[1]);w=logspace(-1,1,100);bode(G1,G2,G3,G4,w);grid;采用MATLAB繪制微分環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/999積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)的對(duì)比（Bode圖）：微分環(huán)節(jié)的Bode圖積分環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2021/5/9100（4）一階慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性2021/5/9101低頻段：當(dāng)時(shí)

低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)

高頻段近似斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性定義轉(zhuǎn)角頻率：用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。一階慣性環(huán)節(jié)的Bode圖2021/5/9102Bode圖誤差分析（實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差）當(dāng)時(shí)，誤差為：當(dāng)時(shí)，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為ωT0.10.20.512510L(ω)(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-7.00-14.2-20.04漸近線(dB)0000-6.00-14.0-20.0誤差(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-1.00-0.2-0.042021/5/9103相頻特性的說明：

作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn)：

由圖不難看出，相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于(1/T，-45°)點(diǎn)是斜對(duì)稱的，這是對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)角頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。 當(dāng)增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.42021/5/9104T=1;G=tf([1],[T,1]);bode(G);grid;采用MATLAB繪制一階慣性環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/9105（5）一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性twwj1tg)(-=2021/5/9106低頻段：當(dāng)時(shí)

低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)

高頻段近似斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性定義轉(zhuǎn)角頻率：用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。2021/5/9107tau=1;G=tf([tau,1],[1]);bode(G);grid;采用MATLAB繪制一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/9108一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖一階慣性環(huán)節(jié)的Bode圖一階慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)比（Bode圖）：2021/5/9109（6）二階振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性2021/5/9110對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段：當(dāng)時(shí)低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)高頻段近似斜率為-40dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。即為無阻尼振蕩角頻率定義轉(zhuǎn)角頻率：2021/5/91110.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-20000二階振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。2021/5/91120.1/T1/T10/T-6-4-202468101214dB二階振蕩環(huán)節(jié)以漸近線表示時(shí)引起的對(duì)數(shù)幅值誤差2021/5/9113T=1;Zeta1=0.3;G1=tf([1],[T*T,2*Zeta1*T,1]);Zeta2=0.4;G2=tf([1],[T*T,2*Zeta2*T,1]);Zeta3=0.5;G3=tf([1],[T*T,2*Zeta3*T,1]);Zeta4=0.6;G4=tf([1],[T*T,2*Zeta4*T,1]);Zeta5=0.7;G5=tf([1],[T*T,2*Zeta5*T,1]);Zeta6=0.8;G6=tf([1],[T*T,2*Zeta6*T,1]);Zeta7=0.9;G7=tf([1],[T*T,2*Zeta7*T,1]);Zeta8=1.0;G8=tf([1],[T*T,2*Zeta8*T,1]);Zeta9=2.0;G9=tf([1],[T*T,2*Zeta9*T,1]);bode(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9);grid;采用MATLAB繪制二階振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/9114（7）二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性2021/5/9115對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段：當(dāng)時(shí)低頻段近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng)時(shí)高頻段近似斜率為40dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。定義轉(zhuǎn)角頻率：2021/5/9116-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。2021/5/9117tau1=1;zeta1=0.5;G1=tf([tau1*tau1,2*zeta1*tau1,1],[1]);bode(G1);grid;采用MATLAB繪制二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/9118-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二階振蕩環(huán)節(jié)與二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)比（Bode圖）二階振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖0.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-200002021/5/9119（8）延遲環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性2021/5/9120tau=1;N=5;[num,den]=pade(tau,N);G=tf(num,den);w=logspace(-1,1,100);bode(G,w);grid;采用MATLAB繪制延遲環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/9121tau=1;N=5;[num,den]=pade(tau,N);G=tf(num,den);G1=tf([1],[1,1]);w=logspace(-1,1,100);bode(G,G1,w);grid;采用MATLAB繪制延遲環(huán)節(jié)的Bode圖：2021/5/9122總結(jié)2021/5/91232021/5/9124說明：普通直角坐標(biāo)系中的幅頻特性曲線沒有明顯的規(guī)律。2021/5/91256.3.3一般系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖幅頻特性和相頻特性分別為：對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別為：對(duì)數(shù)幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。對(duì)數(shù)相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性之代數(shù)和。且有：2021/5/9126Bode圖的一般作圖方法(1)寫出頻率特性表達(dá)式，分析系統(tǒng)由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標(biāo)準(zhǔn)形式。(2)繪制出各個(gè)因子（典型環(huán)節(jié)）的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線及相頻特性曲線。(3)將對(duì)應(yīng)頻率下各個(gè)因子（典型環(huán)節(jié)）的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線及相頻特性曲線分別疊加，即得出系統(tǒng)頻率特性的Bode圖。(4)如果需要，再按典型因子的誤差曲線對(duì)相應(yīng)的分段直線進(jìn)行修正。2021/5/9127例：繪制頻率特性的Bode圖num=2.39;den1=[1,0];den2=[1,2.78];den3=[0.39,0.75,1];den=conv(conv(den1,den2),den3);g=tf(num,den);w=logspace(-1,2,100);bode(g,w);grid;2021/5/9128例：繪制頻率特性的Bode圖該系統(tǒng)由下列五個(gè)典型環(huán)節(jié)組成：

畫伯德圖時(shí)，可以不必先畫出各環(huán)節(jié)伯德圖，而是可以根據(jù)比例環(huán)節(jié)的靜態(tài)放大倍數(shù)和其它各個(gè)環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，直接畫出整個(gè)系統(tǒng)伯德圖。2021/5/9129num1=[10];num2=[1,3];den1=[1,0];den2=[1,2];den3=[1,1,2];num=conv(num1,num2);den=conv(conv(den1,den2),den3);g=tf(num,den);w=logspace(-1,1,100);bode(g,w);grid;采用MATLAB繪制頻率特性的Bode圖：2021/5/9130小結(jié)（1）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）的概念（2）典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）（3）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）的一般作圖步驟習(xí)題：P.226：6-72021/5/9131《控制工程基礎(chǔ)》第6章控制系統(tǒng)的頻率特性6.4最小相位系統(tǒng)2021/5/9132 “最小相位”這一概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般是關(guān)于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質(zhì)是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的性質(zhì)決定的。根據(jù)零極點(diǎn)的不同，一般分為以下兩種系統(tǒng)： 在s平面的右半平面既無極點(diǎn)又無零點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)。否則，稱為非最小相位傳遞函數(shù)。 具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。 對(duì)于相同階次的基本環(huán)節(jié)，當(dāng)頻率ω從0變到+∞時(shí)，最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。 最小相位系統(tǒng)的相頻特性和幅頻特性是一一對(duì)應(yīng)的，如果已知最小相位系統(tǒng)的幅頻特性，其相頻特性就唯一確定了。也就是說，只要知道了最小相位系統(tǒng)的幅頻特性，就能寫出此最小相位系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，而無需再畫出其相頻特性。2021/5/9133最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性的對(duì)應(yīng)關(guān)系2021/5/9134例：繪制頻率特性的Bode圖設(shè)有下列兩個(gè)系統(tǒng)，其中T1>T2>0，系統(tǒng)1為最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)2為非最小相位系統(tǒng)。兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性相同：兩個(gè)系統(tǒng)的相頻特性不同：系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的幅頻特性系統(tǒng)1的相頻特性系統(tǒng)2的相頻特性2021/5/9135T1=10;T2=1;g1=tf([T1,1],[T2,1]);g2=tf([-T1,1],[T2,1]);w=logspace(-2,1,100);bode(g1,g2,w);grid;采用MATLAB繪制頻率特性的Bode圖：2021/5/9136《控制工程基礎(chǔ)》第6章控制系統(tǒng)的頻率特性6.5傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定方法2021/5/9137

由穩(wěn)態(tài)的輸入、輸出信號(hào)的幅值比和相位差繪制出被測(cè)對(duì)象的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（Bode圖），再得漸近對(duì)數(shù)幅頻曲線。 對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻曲線進(jìn)行分段處理。即用斜率為20dB/dec整數(shù)倍的直線段來近似測(cè)量到的曲線。 注意：求得的傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線與實(shí)驗(yàn)曲線應(yīng)當(dāng)基本一致，兩條曲線在低頻和高頻段應(yīng)嚴(yán)格相符。信號(hào)源對(duì)象記錄儀器

由Bode圖確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)，與繪制系統(tǒng)Bode圖相反。即由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的Bode圖，經(jīng)過分析和測(cè)算，確定系統(tǒng)所包含的各個(gè)典型環(huán)節(jié)，從而建立起被測(cè)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。 傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)方法：2021/5/9138

根據(jù)漸近對(duì)數(shù)幅頻曲線確定傳遞函數(shù)的方法，即由Bode圖求取傳遞函數(shù)的一般規(guī)則： （1）系統(tǒng)最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)決定。即由低頻段的斜率λ(-20)dB/dec來確定包含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)λ。如果低頻段斜率為λ(-20)dB/dec，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有λ個(gè)積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為λ型系統(tǒng)。 （2）開環(huán)增益K的確定。 由低頻段在ω=1處的幅頻高度L(ω)=20lgK來求得比例環(huán)節(jié)的增益K值。也可以由低頻段斜線（或其延長線）與零分貝線的交點(diǎn)頻率來求得比例環(huán)節(jié)的增益K。設(shè)與零分貝線的交點(diǎn)頻率為ω，當(dāng)λ=1時(shí)，K=ω；當(dāng)λ=2時(shí)，K=ω*ω。具體方法為： ①由=1作垂線，此垂線與低頻段(或其延長線)的交點(diǎn)的分貝值L(ω)=20lgK(dB)，由此求出開環(huán)增益K值。 ②低頻段斜率為-20dB/dec時(shí)，此線(或其延長線)與0dB線交點(diǎn)處的值等于開環(huán)增益K值。 ③當(dāng)?shù)皖l段斜率為-40dB/dec時(shí)，此線(或其延長)與0dB線交點(diǎn)處的值即等于開環(huán)增益K值的平方根。2021/5/9139

（3）在頻率從低頻向高頻逐漸增加的過程中，當(dāng)某處系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此即為某個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 ①斜率每增加一個(gè)-20dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率處即包含一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)。 ②斜率每增加一個(gè)+20dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率處即包含一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)。 ③斜率每增加一個(gè)-40dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率處即包含一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，再由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比ζ?；蛘甙瑑蓚€(gè)一階慣性環(huán)節(jié)。 ④斜率每增加一個(gè)+40dB/dec時(shí)，在此轉(zhuǎn)折頻率處即包含一個(gè)二階微分環(huán)節(jié)，再由峰值偏離漸進(jìn)線的偏差求得阻尼比ζ?；蛘甙瑑蓚€(gè)一階微分環(huán)節(jié)。2021/5/91400型系統(tǒng)開環(huán)頻率特性有如下形式：其對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如圖所示。0型系統(tǒng)的特點(diǎn)①低頻段斜率為0dB/dec；②低頻段的幅值為L(ω)=20lgK。0型系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性低頻段示意圖2021/5/9141I型系統(tǒng)開環(huán)頻率特性有如下形式：其對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如圖所示。I型系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性低頻段示意圖I型系統(tǒng)特點(diǎn)①低頻段斜率為-20dB/dec；位置由下式確定當(dāng)時(shí)，②低頻漸近線（或其延長線）與0分貝線的交點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，2021/5/9142Ⅱ型系統(tǒng)開環(huán)頻率特性有如下形式：其對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如圖所示。Ⅱ型系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性低頻段示意圖Ⅱ型系統(tǒng)特點(diǎn)①低頻段斜率為-40dB/dec；位置由下式確定當(dāng)時(shí)，②低頻漸近線（或其延長線）與0分貝線的交點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，2021/5/9143例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。解：1）由于低頻段斜率為-20dB/dec，所以有一個(gè)積分環(huán)節(jié)2）在ω=1處，L(ω)=15dB=20lgK，可得K=5.63）在ω=2處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有一階慣性環(huán)節(jié)1/(s/2+1)4）在ω=7處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/7+1)2021/5/9144例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：1）由于低頻段斜率為-40dB/dec，所以有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，λ=23）在ω=30處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有一階慣性環(huán)節(jié)1/(s/30+1)2）在ω=0.8處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/0.8+1)4）在ω=50處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?60dB/dec，故有一階慣性環(huán)節(jié)1/(s/50+1)5）低頻段延長線與零分貝線的交點(diǎn)頻率ω=2，因?yàn)棣?2，所以K=2×2=4習(xí)題：P.226：6-92021/5/9145《控制工程基礎(chǔ)》第6章控制系統(tǒng)的頻率特性6.6閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性2021/5/91466.6.1開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)頻率特性的定義

根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是工程設(shè)計(jì)中常用的方法。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為2021/5/9147對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為處理方法：可以將非單位反饋系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式來處理:（1）其中一個(gè)環(huán)節(jié)是以非單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)為前向通道傳遞函數(shù)的單位反饋環(huán)節(jié)；（2）另外一個(gè)環(huán)節(jié)是非單位反饋系統(tǒng)的反饋通道傳遞函數(shù)的倒數(shù)。2021/5/91482021/5/91496.6.2根據(jù)開環(huán)頻率特性近似分析閉環(huán)頻率特性

根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是工程設(shè)計(jì)中常用的方法。 在進(jìn)一步分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常需要用到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。

下面介紹如何利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來近似分析系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。2021/5/9150例①：采用MATLAB分別繪制單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的Bode圖。MATLAB