九年級(jí)數(shù)學(xué)教案(上)

1.1建立一元二次方程模型

教學(xué)目標(biāo)

1、在把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型的過程中，形成對(duì)一元二次方

程的感性認(rèn)識(shí)。

2、理解一元二次方程的定義，能識(shí)別一元二次方程。

3、知道一元二次方程的一般形式，能熟練地把一元二次方程整理成一般形

式，能寫出一般形式的二次項(xiàng)系數(shù)、-次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。

難點(diǎn)：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的模型。

教學(xué)過程

(-)創(chuàng)設(shè)情境

前面我們?cè)褜?shí)際問題轉(zhuǎn)化成一元一次方程和二元一次方程組的模型，大家

已經(jīng)感受到了方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具。本節(jié)課我們將繼續(xù)進(jìn)行建立

方程模型的探究。

1、展示課本P.2問題一

引導(dǎo)學(xué)生設(shè)人行道寬度為xm,表示草坪邊長(zhǎng)為35-2xm,找等量關(guān)系，列出

方程。

(35-2x)2=900①

2、展示課本P.2問題二

引導(dǎo)思考：小明與小亮第一次相遇以后要再次相遇，他們走的路程有何關(guān)系?

怎樣用他們?cè)俅蜗嘤龅臅r(shí)間表示他們各自行駛的路程？

通過思考上述問題，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)經(jīng)過ts小明與小亮相遇，用s表示他們各自行駛

的路程，利用路程方面的等量關(guān)系列出方程2t+，XO.OltMto②

2

3、能把①，②化成右邊為0,而左邊是只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式的

形式嗎？讓學(xué)生展開討論，并引導(dǎo)學(xué)生把①，②化成下列形式：

4X2-140X+325=0,③

0.01t2-2t=0o④

(-)探究新知

1、觀察上述方程③和④，啟發(fā)學(xué)生歸納得出：

如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0,而左邊是只含有一個(gè)未知數(shù)的二次

多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0,(a,b,c是已知數(shù)且aWO),

其中a,b,c分別叫作二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。

2、讓學(xué)生指出方程③，④中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

(三)講解例題

例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一

次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

［解］去括號(hào)，得3X2+5X-12=X2+4X+4,

2

化簡(jiǎn)，得2X+X-16=0O

二次項(xiàng)系數(shù)是2,一次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)是-16。

點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(aW0)具有兩個(gè)特征：一是方程

的右邊為0,二是左邊二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：二次項(xiàng)系數(shù)、

一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的。

例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1)2x+3=5x-2；(2)X2=25；

22

(3)(X-1)(X-2)=X+6；(4)(X+2)(3X-1)=(X-1)0

［解］方程(1),(3)是一元一次方程；方程(2),(4)是一元二次方程。

點(diǎn)評(píng)：通過一元一次方程與一元二次方程的比較，使學(xué)生深刻理解一元二次

方程的意義。

(四)應(yīng)用新知

課本P.4,練習(xí)第3題，

(五)課堂小結(jié)

1、一元二次方程的顯著特征是：只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)

是2。

2、一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0(a^0),一元二次方程的二次項(xiàng)

系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是根據(jù)一般形式確定的。

3、在把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方

程的必要性和重要性。

(六)思考與拓展

當(dāng)常數(shù)a,b,c滿足什么條件時(shí)，方程(a-l)x2-bx+c=0是一元二次方程？這

時(shí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是什么?當(dāng)常數(shù)a,b,c滿足什么條件時(shí),

方程(a-l)x2-bx+c=0是一元一次方程？

當(dāng)aWl時(shí)是一元二次方程，這時(shí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)是a-1,一次項(xiàng)系數(shù)是-b；

當(dāng)a=l,bWO時(shí)是一元一次方程。

布置作業(yè)

課本習(xí)題L1中A組第1,2,3題。

教學(xué)后記：

1.2.1因式分解法、直接開平方法(1)

教學(xué)目標(biāo)

1、進(jìn)一步體會(huì)因式分解法適用于解一邊為o,另一邊可分解成兩個(gè)一次因式乘積的一

元二次方程。

2、會(huì)用因式分解法解某些一元二次方程。

3、進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)“降次”化歸的思想。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。

難點(diǎn)：用因式分解法將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

教學(xué)過程

(-)復(fù)習(xí)引入1、提問：

(1)解一元二次方程的基本思路是什么？

(2)現(xiàn)在我們已有了哪幾種將一元二次方程“降次”為一元一次方程的方法？

2、用兩種方法解方程：9(14x)2=25

(二)創(chuàng)設(shè)情境

說明：可用因式分解法或直接開平方法解此方程。解得幣=2,X2=i。

99

1、說一說：因式分解法適用于解什么形式的一元二次方程。

歸納結(jié)論：因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個(gè)一次因式乘積的一元二

次方程。

2、想一想：展示課本1.1節(jié)問題二中的方程0.01t2-2t=0,這個(gè)方程能用因式分解法解

嗎？

(三)探究新知

引導(dǎo)學(xué)生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答課本1.1節(jié)問題二。

把方程左邊因式分解，得t(0.01t-2)=0,由此得出t=0或0.01t-2=0

解得：t|=01t2=200。

t1=0表明小明與小亮第一次相遇；t2=200表明經(jīng)過200s小明與小亮再次相遇。

(四)講解例題

1、展示課本P.8例3。

按課本方式引導(dǎo)學(xué)生用因式分解法解一元二次方程。

8若代數(shù)式0-X)與代數(shù)式4(x-3)的值相等，則*=

9已知方程(x-4)(x-9)=0的解是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)=.

10如果卜2a|+>/fe~2°,則關(guān)于*的一元二次方程a/+bx=0的解是

三解答題(每小題10分，共50分)

11解方程

22

(1)X+2x+1=0(2)4》-12x+9=0

⑶25(*-3)=9(尤+1)(4)7x(2x-3)=4(3-2x)

12解方程(24—3)=32)何-4)

2

13已知k是關(guān)于x的方程4kx-8x-k=0的一個(gè)根，求k的值。？

14解方程：^2-2W+l=0

1

二一7

15對(duì)于向上拋的物體，在沒有空氣阻力的情況下，有如F關(guān)系：h=vt-2g,2f，其中h是上升

到高度，V是初速度，g是重力加速度，(為方便起見，本題中g(shù)取10米/秒>，t是拋出

后所經(jīng)過的時(shí)間。

如果將一物體以每秒25米的初速向上拋，物體多少秒后落到地面

布置作業(yè):

1.2.2配方法（1）

教學(xué)目標(biāo)

1、理解“配方”是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，

讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)化歸的思想方法。

2、會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

難點(diǎn)：用配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方程。

教學(xué)過程

（-）復(fù)習(xí)引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用兩種方法解方程（X+3）2-5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（二）創(chuàng)設(shè)情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

1、利用“復(fù)習(xí)引入”中的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生思考，得知：反過來把方程x2+6x+4=0化成（x+3尸-5=0

的形式，就可用前面所學(xué)的因式分解法或直接開平方法解。

2、怎樣把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式呢？讓學(xué)生完成課本P.10的“做一

做”并引導(dǎo)學(xué)生歸納：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為“1”時(shí)，只要在二次項(xiàng)和一次項(xiàng)之后加上一次項(xiàng)系

數(shù)泮的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種做法叫作配

方.將方程一邊化為0,另一邊配方后就可以用因式分解法或直接開平方法解了，這樣解一

元二次方程的方法叫作配方法。

（四）講解例題

例1（課本P.11,例5）

［解］⑴X2+2X-3（觀察二次項(xiàng)系數(shù)是否為T）

=X2+2X+12-12-3（在一次項(xiàng)和二次項(xiàng)之后加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)

數(shù)，使它與原式相等）

=（X+1）2-4?（使含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里）

用同樣的方法講解(2),讓學(xué)生熟悉上述過程，進(jìn)一步明確“配方”的意義。

例2引導(dǎo)學(xué)生完成P.11?P.12例6的填空。

(五)應(yīng)用新知

I、課本P.12,練習(xí)。

2、學(xué)生相互交流解題經(jīng)驗(yàn)。

(六)課堂小結(jié)

1、怎樣將二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么？

(七)思考與拓展

解方程：(1)X2?6X+10=0；(2)x2+x+=0；A⑶x2-x?l=0。

4

說一說一元二次方程解的情況。

［解］(1)將方程的左邊配方，得(X?3)2+1=0,移項(xiàng)，得(X?3)2=?1,所以原方程無解。

(2)用配方法可解得X］=X2=?o

(3)用配方法可解得x尸1-"，=1+押

22

一元二次方程解的情況有三種：尢實(shí)數(shù)解，如萬桂(1);有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，如方程(2)；

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，如方程(3)。

課后作業(yè)：課本習(xí)題

教學(xué)后記：

1.2.2配方法（2）

教學(xué)目標(biāo)

1、理解用配方法解一元二次方程的基本步驟。

2、會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

3、進(jìn)一步體會(huì)化歸的思想方法。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)用配方法解一元二次方程.

難點(diǎn)：使一元二次方程中含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里。

教學(xué)過程

（-）復(fù)習(xí)引入

1、用配方法解方程x2+x-l=0,學(xué)生練習(xí)后再完成課本P.13的“做一做”.

2、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的基本步驟是什么？

（-）創(chuàng)設(shè)情境

現(xiàn)在我們已經(jīng)會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，而對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1

的一元二次方程能不能用配方法解？

怎樣解這類方程：2X2-4X-6=0

（三）探究新知

讓學(xué)生議一議解方程2x2-4x-6=0的方法，然后總結(jié)得出：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一

元二次方程，可將方程兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后按匕節(jié)課所

學(xué)的方法來解。讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)化歸的思想。

（四）講解例題

1、展示課本P.14例8,按課本方式講解。

2、引導(dǎo)學(xué)生完成課本P.14例9的填空。

3、歸納用配方法解一元二次方程的基本步驟：首先將方程化為二次項(xiàng)系數(shù)是1的一般

形式；其次加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平

方式里；最后將配方后的一元二次方程用因式分解法或直接開平方法來解。

（五）應(yīng)用新知

課本P.15,練習(xí)。

（六）課堂小結(jié)

1、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么？

2、配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中,

在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)都要經(jīng)常用到。

3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的過程要進(jìn)行較繁瑣的運(yùn)算，在解

一元二次方程時(shí)，實(shí)際運(yùn)用較少。

4、按圖1-1的框圖小結(jié)前面所學(xué)解

一元二次方程的算法。

(七)思考與拓展

不解方程，只通過配方判定下列方程解的

情況。

(1)4X2+4X+1=0；(2)X2-2X-5=0；

(3)-X2+2X-5=0；

［解］把各方程分別配方得

⑴(x+1)2=0：

⑵(X-1)2=6；

(3)(X-1)2=-4

由此可得方程(1)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程(2)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程(3)沒有實(shí)

數(shù)根。

點(diǎn)評(píng)：通過解答這三個(gè)問題，使學(xué)生能靈活運(yùn)用‘'配方法"，并強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一元二次方

程解的三種情況的認(rèn)識(shí)。

布置作業(yè)：

1.2.2配方法(3)

教學(xué)內(nèi)容

間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元二次方程的解法，

引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：用配方法解?元二次方程的步驟.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法

與技巧.

學(xué)習(xí)過程

一、復(fù)習(xí)反思

直接寫出下列方程的根：

(1)3x2-l=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9

二、自主學(xué)習(xí)，解讀目標(biāo)

針對(duì)目標(biāo)自學(xué)教材31—34頁內(nèi)容，自學(xué)后要求能講清問題2方程的建立過程，會(huì)用例I解

決問題的方法解一元二次方程，并通過演練34頁練習(xí)題檢查自己是否達(dá)到自學(xué)要求，然后

在小組交流。

三、總結(jié)反思，鞏固提高

總結(jié)自己學(xué)習(xí)新知情況，解決疑難問題后，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固提高：

鞏固訓(xùn)練：

1.將二次三項(xiàng)式x2-4x+l配方后得().

A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3

2.已知x2-8x+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().

A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1

C.x2+8x+42=lD.x2-4x+4=-ll

3.方程x2+4x-5=0的解是

4.解下列關(guān)于x的方程

(1)x2+2x-35=0(2)2x2-4x-l=0

5.如圖，在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂

直的道路，余下的六個(gè)相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2,道路的寬為多

少？

應(yīng)用拓展

f―x_2

6.代數(shù)式FT的值為O,則x的值為.

7.如圖，在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,點(diǎn)P、Q同時(shí)由A,B兩點(diǎn)出發(fā)

分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是lm/s,幾秒后APCQ的面積為Rt

△ACB面積的一半.

8.已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4,第三邊是方程x24x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

9.如果x2-4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)z的值.

1.2.2配方法(4)

教學(xué)任務(wù)分析

教學(xué)1、會(huì)用開平方法解形如X2=p或(mx+ny=p(p2O)的一元二次方程。

目標(biāo)2、能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果是否合理，并對(duì)其進(jìn)行取舍。

教學(xué)過程

問題與情景師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

一、知識(shí)回顧：第一題為口答題，復(fù)

習(xí)平方根，旨在引出

1、求出或表示出下列各數(shù)的平方根。

第二題。

9

(1)25(2)0.04(3)0(4)7(5)16(6)121

第2題要結(jié)合平方根

2、求出下列各式中的x.的意義，看能否求取

(1)X2=49(2)9x2=16(3)x2=6(4)x2=—9X.的值。

二、自主學(xué)習(xí)：

自學(xué)課本P30---P31思考問題:老師點(diǎn)評(píng)：學(xué)生通過自學(xué)經(jīng)

歷思考、討論、

1、教材問題1中由X2=25得x=1、同學(xué)們?cè)诮涣髦畜w會(huì)利用平

分析的過程，最

±5依據(jù)是什么？方根的意義來解一元二次方

終形成把一個(gè)一

程的方法。

2、問題1中所列的方程是一元二

元二次方程“降

2、在自學(xué)的基礎(chǔ)上，教師要重

次方程嗎？有幾個(gè)根？它們都符

次”，轉(zhuǎn)化為兩

點(diǎn)對(duì)問題、及問題點(diǎn)撥，

合問題的實(shí)際意義嗎？為什么？47

個(gè)一元一次方

幫助學(xué)生更好的理解、學(xué)習(xí)，

3、請(qǐng)你總結(jié)一下問題1解方程的程.我們把這種

讓學(xué)生真正明白“降次”思

過程。

思想稱為“降次

想。

4、在“問題1”解方程的過程中，轉(zhuǎn)化思想”.

3、形如x2=a(a20)得x=±&

仔細(xì)體會(huì)(2x-l)2=5與X2=25相

即直接開平方法。

同點(diǎn)是什么？結(jié)合x2=25的解法，

4、師生共同交流教材歸納中

嘗試解(2x-l)2=5。

x2=p或(mx+n)2=p(p20)為什

5、舉例說明，什么是一元二次方

么p20。

程的“降次”？

6、觀察方程x?+6x+9=2,請(qǐng)你把由應(yīng)用直接開平方法解形如

它化為與方程(2x-l)2=5相同的x2=p(p20),那么x=±詬轉(zhuǎn)

形式為___________；

化為應(yīng)用直接開平方法解形如

進(jìn)行降次(開平方)得_____;方(mx+n)2=p(p20),那么mx+n=

程的兩根X1=_____X2=______O土6,達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.

7、以上方程在形式和解法上有什

么類似的地方，可歸納為怎樣的

步驟？

三、例題學(xué)習(xí)：牢牢把握通過根據(jù)平

方根的意義解形如

例：解下列方程教師最好書寫一個(gè)完整的解題

x2=n,知識(shí)遷移到根

過程，給學(xué)生以示范作用。在直

(1)(1+X)2-2=0

據(jù)平方根的意義解形

接開平方時(shí)注意符號(hào)，這是易錯(cuò)

(2)(2X+3)2+3=0

如(x+m)2=n(n20)

之處。

(3)4X2-4X+1=0的方程.

(4)9(X-1)2-4=0

四、課堂練習(xí)：1、解下列方程：通過練習(xí)加深學(xué)生對(duì)

直接開平方法解一元

(1)2X2-8=0(2)9X2-5=3

二次方程的方法。

(3)(X+6)2-9=0(4)3(X-1)2-6=0(讓學(xué)生分組板演，教師點(diǎn)評(píng))

(5)X2-4X+4=5(6)9X2+6X+1=4

五、布置作業(yè)1、教材P42習(xí)題22.2第1題

六、總結(jié)反思：(針對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo))可由學(xué)生自己完成，教師作適當(dāng)補(bǔ)充。

1、用直接開平方解一元二次方程。理解“降次”思想。理解X2=p或(mx+n)2=p(p20)為什

么p20。

2、對(duì)照目標(biāo)，自查完成情況。

1.2.2配方法(5)

教學(xué)任務(wù)分析

教1、能說出用配方法解一元二次方程的基本步驟；知道“配方法”是一種常用的數(shù)學(xué)

學(xué)方法。

目2、會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。

標(biāo)

教學(xué)過程

問題與情景師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

一、溫故知新：第一題為口答

題，復(fù)習(xí)完全平

1、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列各式成立，并總結(jié)其中的規(guī)律。

方公式，旨在引

(1)x2+6x+________=(X+3)2(2)X2+8X+_____=(x+_____)2

出配方法，培養(yǎng)

2X

(3)x2-l2x+_______=(x-)2(4)x2-5+=(x-______)2學(xué)生探究的興

(5)a2+2ab+_______=(a+_______)2(6)a2-2ab+_______=(a-_______)2趣。

2、用直接開平方法解方程：X2+6X+9=2

二、自主學(xué)習(xí)：自學(xué)課本思考：交流與點(diǎn)撥：

1.仔細(xì)觀察教材問題2,所列出的重點(diǎn)在第2個(gè)問題，可以互相交流框

方程X2+6X-16=0利用直接開平方圖中的每一步，實(shí)際上也是第個(gè)問

3學(xué)生通過自學(xué)經(jīng)

法能解嗎？題的討論，教師這時(shí)對(duì)框圖中重點(diǎn)步

歷思考、討論、

2.怎樣解方程X2+6X-16=0?看教驟作講解，特別是兩邊加是配方的

9分析的過程，最

材框圖，能理解框圖中的每一步關(guān)鍵，使之配成完全平方式。利用

a終形成把一個(gè)一

嗎？討論:在框圖中第二步為什么

2±2ab+b2=(a±b)2?注意9=(2)2,元二次方程配成

方程兩邊加9?加其它數(shù)行嗎？

而6是方程一次項(xiàng)系數(shù)。所以得出配完全平方式形式

3.什么叫配方法？配方法的目的

方是方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半來解方程的思想

是什么？

的平方，從而配成完全平方式。

4.配方的關(guān)鍵是什么？

三、例題學(xué)習(xí)：交流與點(diǎn)撥：

例(教材P33例1)解下列方程：配方法解一元二次方程的一般步驟：

(1)X2-8X+1=0(1)將方程化成一般形式并把二次牢牢把握通過配

(2)2X2+1=-3X項(xiàng)系數(shù)化成1;(方程兩邊都除以二方將原方程變?yōu)?/p>

次項(xiàng)系數(shù))(x+k)2=a的形式

(3)3X2-6X+4=0

方法。

(2)移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次

教師要選擇例題書寫解題過程,通

項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)。

過例題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)用

配方法解方程的一般步驟。(3)配方，方程兩邊都加上一次項(xiàng)

系數(shù)一半的平方。

(4)原方程變?yōu)?x+k)2=a的形式。

(5)如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可用直

接開平方法求取方程的解。

四、課堂練習(xí)：通過練習(xí)加深學(xué)

生用配方法解一

1、教材P34練習(xí)1(做在課本上，對(duì)于第二題根據(jù)時(shí)間可以分兩組完

元二次方程的方

學(xué)生口答)成，學(xué)生板演，教師點(diǎn)評(píng)。

法。

2、教材P34練習(xí)2

五、布置作業(yè)1、教材P42習(xí)題22.2第3題

六、總結(jié)反思：(針對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo))可由學(xué)生自己完成，教師作適當(dāng)補(bǔ)充。

1、理解配方法解方程的含義。

2、要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，

3、掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯(cuò)點(diǎn)。

4、配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為?次。

1.2.2配方法（6）

一、教學(xué)目標(biāo)：

（一）使學(xué)生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0,）可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法

的形式（x+m）』；

（二）記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項(xiàng)等于?次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”；

（三）在數(shù)學(xué)思想方法方面，使學(xué)生體會(huì)"轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握用配方法配一元二次方程。

難點(diǎn)：湊配成完全平方的方法與技巧。

三、教學(xué)指導(dǎo)：

1.從逆向思維啟發(fā)學(xué)生，關(guān)鍵在于把方程左邊構(gòu)造出一個(gè)完全平方式.

2.通過練習(xí)加深學(xué)生對(duì)“添一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”這句話的認(rèn)識(shí)和理解.

四、教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)

1.?元二次方程的?般形式是什么樣的?（注意時(shí)0）

2.對(duì)于一元二次方程ax2=0（a#））和ax2+c=0（a/O）,我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了它們的解法。

例如解方程：（X-3）2=4（讓學(xué)生說出過程）。

解：方程兩邊開方，得x-3=±2,移項(xiàng)，得x=3±2o

所以X1=5,X2=1.（并代回原方程檢驗(yàn)，是不是根）

3.其實(shí)（x-3）2=4展開、整理為一元二次方程。（把這個(gè)展開過程寫在黑板上）

（X-3）2=4,①X2-6X+9=4,②X2-6X+5=0.③

（二）新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①一方程②-＞方程③的變形逆轉(zhuǎn)過來，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)的一元二

次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個(gè)

未知數(shù)的一次式的完全平方式（x+m）2。

2.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問：在x?+2x上添加一個(gè)什么數(shù)，能成為一個(gè)完全平方（x+?）2。（添一項(xiàng)+1）

即（X2+2X+1）=（X+1）2.

3.練習(xí)：填空：

X2+4X+()=(X+)2;y2+6y+()=(y+)2.

222

算得X+4X=2X-2,所以添2的平方，y+6y=y+2y3,所以添3的平方。

總結(jié)規(guī)律：對(duì)于x?+px,再添上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，就能配出一個(gè)含未知數(shù)的一個(gè)次式的

+px+由"-(X*—

完全平方式。即22.④

(讓學(xué)生對(duì)④式的右邊展開，體會(huì)括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)與第二項(xiàng)乘積的2倍，恰是左邊的一次項(xiàng)，

括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)的平方，恰是配方時(shí)所添的常數(shù)項(xiàng))

總結(jié)：左邊的常數(shù)項(xiàng)是?次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

問：如果左邊的一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，那么右邊括號(hào)里第二項(xiàng)的正負(fù)號(hào)怎么取?算理是什么?

4.鞏固練習(xí)(填空配方)

x2-bx+()=(x-)2;x2-(m+n)x+()=(x-)2.

5.用配方法解一元二次方程(先將左邊化為(x±)2形式)

例1解方程：X2-8X-9=0.

解：移項(xiàng)，得X2-8X=9,

兩邊都加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，

x2-8x+42=q+42,

配方，得(X-4)2=25,

解這個(gè)方程，得x-4=±5,

移項(xiàng)，得x=4±5.即xl=9,x2=-l.

例2解方程：X2-8X-8=0.

解：原方程移項(xiàng)，像X2-8X=8,方程左邊配方添一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程右邊也添

一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

X2-8X+(X-4)2=8+(-4)2,

(X-4-=24,

x-4=±26,

所以X]=4+26△2=4?26.

例3解方程：X2-8X+18=0.

解：移項(xiàng)，得X2-8X=-18.

方程兩邊都加(-4))得x2-8x+(-4)2=-l8+(-4)2,

(x-4)2=-2.

因?yàn)槠椒讲荒苁秦?fù)數(shù)，x-4不存在，所以x不存在，即原方程無解.

例4解方程x2+2mx+2=0,并指出n?取什么值時(shí)，這個(gè)方程有解.

分析：由例3可見，在方程左邊配方后，方程右邊式子的值決定了此方程是否有解,

當(dāng)方程右邊式子的值是正數(shù)或零，此方程有解，當(dāng)方程右邊式子的值是負(fù)數(shù)，此方程無解.

解：移項(xiàng)，得x2+2mx=-2.

配方，兩邊加n?,得

x2+2mx+m2=m2-2,

(x+m)2=m2-2,

當(dāng)m2-2>0,即m與2時(shí)，］=±m(xù)2-2.

所以m2>2,原方程有解心=一次+#與，工2=一…Jm2-2.

例5解方程：3X2+2X-3=0.

提問：二次項(xiàng)系數(shù)不是1,怎么辦？

五、課堂練習(xí)

1.用配方法解方程：X2-4X-3=0.2.用配方法解法程：2X2+5X-1=0.

六、小結(jié)

1.填空:x2+px+()=(x+)2.

2.用語言說出對(duì)于x2+px添上什么，才能成為一個(gè)完全平方？

3.用配方法解一元二次方程的步驟是：

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1;

(2)移項(xiàng)，使方程左邊只有二次項(xiàng)及一次項(xiàng)；

(3)在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

(4)變形為(x+m2)n的形式，如果n>0,得x+m=±Jn,,x=-m±J"?.所以

Xi=-m+Jn*,X2=-m-Jn

七、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

用配方法解方程：

(1)X2-10X+24=0;(2)X2+2X-99=0;

(3)y2+5y+2=0;(4)3x2-l=4x;(5)ax2+x-2=0(a>0)；

1.2.3公式法(1)

教學(xué)目標(biāo)

1、理解求根公式法與配方法的聯(lián)系.

2、會(huì)用求根公式法解一元二次方程.

3、注意培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用求根公式法解一元二次方程.

難點(diǎn)：由配方法導(dǎo)出一元二次方程的求根公式.

教學(xué)過程

(-)創(chuàng)設(shè)情境

由用配方法解一元二次方程的基本步驟知：對(duì)于每個(gè)具體的一元二次方程，都使用了相

同的一些計(jì)算步驟，這啟發(fā)我們思考，能不能對(duì)一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(aN

0)使用這些步驟，然后求出解x的公式？

這樣做了以后，我們可以運(yùn)用這個(gè)公式來求每一個(gè)具體的一元二次方程的解，取得一通

百通的效果.

(-)探究新知________

按課本P.16的方式弓用學(xué)1岫<和掙法導(dǎo)出一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0),當(dāng)b2-40c

20時(shí)的求根公式為：x=2a(b2>4ac20).并讓學(xué)生知道，運(yùn)用一元二次方程

的求根公式直接求每一個(gè)一元二次方程的解，這種解一元二次方程的方法叫公式法.

(三)講解例題

1、展示課本P.16?P.17例10(1),(2),按課本方式引導(dǎo)學(xué)生用公式法解一元二次方程,

并提醒學(xué)生注意a,b,c的符號(hào).

2、引導(dǎo)學(xué)生完成P.17例10(3)的填空，并提醒學(xué)生在確定a,b,c的值時(shí)，先要將一元

二次方程式化為一般形式.

3、引導(dǎo)學(xué)生歸納用公式法解一元二次方程的基本步驟：首先要把原方程化為一般形式，從

而正確地確定a,b,c的值；其次要計(jì)算t>2-4ac的值，當(dāng)時(shí)，再用求根公式求解.

(四)應(yīng)用新知

課本P18練習(xí),第(1卜(4)題.

(五)課堂小結(jié)

1、熟記一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的條件：a#0,bMac^O.

2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步驟.

3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的適用性，即可以解任何一元二次方程.

布置作業(yè)

教學(xué)后記：

1.2.3公式法⑵

教學(xué)目標(biāo)

1、會(huì)熟練運(yùn)用求根公式解一元二次方程。

2、了解b2-4ac的值與一元二次方程解的情況的關(guān)系。

3、會(huì)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>

4、通過訓(xùn)練，提高學(xué)生運(yùn)算的正確率，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：熟練地運(yùn)用公式法解一元二次方程。

難點(diǎn)：選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>

教學(xué)過程

(~)復(fù)習(xí)引入

1、一元二次方程的求根公式是什么？其成立的條件是什么？

2、引導(dǎo)學(xué)生完成P.17例11填空，并讓學(xué)生思考：此方程可以直接用因式分解法求

解嗎？試一試。

(-)探究新知

1、讓學(xué)生觀察課本P.16-P.17例10,例11,并思考問題：b?-4ac的值與一元二次方

程ax2+bx+c=0的解的情況有什么關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生歸納：由例10知，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，一元二

次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；由例11知，當(dāng)6242。=0時(shí)-，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

2、讓學(xué)生觀察方程(x+)2-_L=0,當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW

2ab1-^ac

0)有實(shí)數(shù)解嗎？試討論方程x2+x+l=0有沒二,￥?

4a*

通過對(duì)此問題的討論讓學(xué)生明確：當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解。所以在

運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí)，先要計(jì)算b24ac的值，當(dāng)b2-4ac)0時(shí)，可以用公式法求解;

當(dāng)b2>4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，就不必再代入公式計(jì)算了。

3、談一談：我們已學(xué)了哪些解一元二次方程的方法？怎樣選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉?/p>

方程？

讓學(xué)生展開討論，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：我們已學(xué)了因式分解法、直接開平方法、配方法

和公式法四種解一元二次方程的方法。在這些解法中，公式法是通法，即能解任何一個(gè)一元

二次方程，但對(duì)某些特殊形式的一元二次方程，用因式分解法或直接開平方法較簡(jiǎn)便，配方

法也是解一元二次方程的通法，但不如公式法簡(jiǎn)便，在解一元二次方程時(shí)，實(shí)際上很少用。

(三)應(yīng)用新知

1、不解方程判定下列方程的根的情況。

(l)4y+2y2-3=0；(2)x2+=32(3)x2-6>2_21=0

42

提醒學(xué)生：在運(yùn)用b2-4ac的值判定一元二次方程根的情況時(shí)，先要將一元二次方程化

為-一般形式，從而才能正確地確定a,b,c的值。

[解]⑴原方程可化為2y

因?yàn)閎2-4ac=42-4X2X(-3)=40>0,

所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2)原方程可化為X2-3X+=2,

,,4o

因?yàn)閎2-4ac=(-3)2-4X1X=0?

所以原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

⑶因?yàn)閎2-4ac=(-6尸-4XX21=l<0,所以原方程無實(shí)數(shù)根。

2

2、課本P.19習(xí)題1.2,B組1⑴，(3),(5),(7)。

注意：選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>

(四)課堂小結(jié)

1、舉例證明怎樣運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>

2、用公式法解一元二次方程為什么要先算b?-4ac的值？怎樣由b?-4ac的值判定一元二

次方程根的情況？

3、一元二次方程的四種解法各不相同，可用于不同形式的方程；但又相互緊密聯(lián)系，

都體現(xiàn)了“降次”的轉(zhuǎn)化思想，即把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。

(五)思考與拓展

已知關(guān)于x的方程：x2-(m-2)x+m2=0o

(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的范圍；

(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值；

(3)無實(shí)數(shù)根，求m的范圍.

闕b2-4ac=[-(m-2)]2-4X>2_i2=-4m+4,

4

(1)因?yàn)樵匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以-4m+4>0,即m<l。

(2)因?yàn)樵匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以-4m+4=0,即m=l。

(3)因?yàn)樵匠虩o實(shí)數(shù)根，所以-4m+4<0,即m>l。

布置作業(yè):

教學(xué)后記:

1.3一元二次方程的應(yīng)用（1）

教學(xué)目標(biāo)

1、讓學(xué)生在經(jīng)歷運(yùn)用一元二次方程解決一些代數(shù)問題的過程中體會(huì)一元二

次方程的應(yīng)用價(jià)值。

2、在應(yīng)用一元二次方程的過程中，提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：建立一元二次方程模型解決一些代數(shù)問題。

難點(diǎn)：把一些代數(shù)問題化歸為解一元二次方程的問題。

教學(xué)過程

（-）復(fù)習(xí)引入

1、回顧：你已經(jīng)學(xué)過了用什么樣的方程解應(yīng)用題？“列方程解應(yīng)用題“你有

什么經(jīng)驗(yàn)？讓學(xué)生自己總結(jié)，因人而異，教師可以加以引導(dǎo)歸納。

2、填空:

（1）當(dāng)*=時(shí)，代數(shù)式3x-5與3-2x的值互為相反數(shù)。

（2）當(dāng)x=,y=時(shí)，代數(shù)式2x+y的值為6,代數(shù)式3x-y的值為

9O

（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0）,當(dāng)b2/ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b?-4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b?-4ac0

時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

（-）創(chuàng)設(shè)情境

前面我們已經(jīng)體會(huì)到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，現(xiàn)在通過學(xué)習(xí)一

元二次方程的應(yīng)用能使我們更進(jìn)一步感受到方程的作用，數(shù)學(xué)的價(jià)值。

（三）講解例題

1、展示課本P.19?P.20,例1,例2。

說明和建議：（1）讓學(xué)生明確解這尖題的步驟是：首先用方程表示題中的

數(shù)量關(guān)系（即列出方程），然后將方程整理成一般形式并求解，最后作答。

（2）對(duì)于基礎(chǔ)較好學(xué)生可讓他們自己探索解題方法，然后看書上的解答，交

換批改，并交流解題經(jīng)驗(yàn)，教師加以適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)。

2、展示課本P.21,例3。

注意：（1）利用“復(fù)習(xí)引入”中的內(nèi)容讓學(xué)生明確，當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方

程ax2+bx+c=0（ar。），有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

（1）解這類題，首先要將方程整理成關(guān)于x2的一般形式，從而正確地確定x的二

次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)a,b,c（此題是用t表示），然后把問題化歸為

解一個(gè)（此題是關(guān)于t的）一元二次方程。

（四）應(yīng)用新知

課本P.21,練習(xí)第1,2題

（五）課堂小結(jié)

1、用一元二次方程解一些代數(shù)問題的基本步驟是什么？

2、在本節(jié)課的解題中要注意一些什么問題？

（六）思考與拓展

將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每

個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，若這種商品漲價(jià)x元，則可賺得y元的利

潤(rùn)。

（1）寫出x與y之間的關(guān)系式；

（2）為了賺得8000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

[解]（1）商品的單價(jià)為50+x元，每個(gè)的利潤(rùn)是（50+x）-40元，銷售量是

50-10x個(gè)，則依題意得y=[（50+x）-40]（500-10x）,即y=-10x2+1000x+5000。

（2）依題意，得-10X2+400X+5000=8000。

整理，得X2-40X+300=0。

解得xi=10,X2=30O

所以商品的單價(jià)右定為50+10=60（元）或50+30=80（元）

當(dāng)商品和單價(jià)為60元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是500-10x10=400（個(gè)）；當(dāng)商品

每個(gè)單價(jià)為80元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是500-10x30=200（個(gè)）

布置作業(yè)

課本習(xí)題1.A組第1,2題，選做B組第1題。

教學(xué)后記：

1.3一元二次方程的應(yīng)用（2）

教學(xué)目標(biāo)

1、會(huì)建立一元二次方程的模型解決實(shí)際問題，并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意

義，對(duì)方程解的合理性作出解釋。

2、讓學(xué)生進(jìn)一步感受一元二次方程的應(yīng)用價(jià)值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

重點(diǎn)難重

重點(diǎn)：應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：從實(shí)際問題中建立一元二次方程的模型

教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1、復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）審題：仔細(xì)閱讀題目，分析題意，明確題目要求，弄清已知數(shù)、未知數(shù)

以及它們之間的關(guān)系；

（2）設(shè)未知數(shù)：用字母（如x）表示題中的未知數(shù)，通常是求什么量，就設(shè)

這個(gè)量為X;

（3）列方程：根據(jù)題中已知量和未知量之間的關(guān)系列出方程；

（4）解方程：求出所給方程的解；

（5）檢驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所求方程的解是否滿足所列出的方程，又要檢驗(yàn)它是否

能使實(shí)際問題有意義；

（6）作答：根據(jù)題意，選擇合理的答案。

2、說一說，菱形的面積與它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)有什么關(guān)系？

（-）講解例題

1、展示課本P.22例4,按下列步驟講解：

（1）引導(dǎo)學(xué)生審題，弄清已知數(shù)、未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系；

（2）確定本題的等量關(guān)系是：菱形的面積=￡x矩形面積；

（3）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)；

（4）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等量關(guān)系列方程；

（5）引導(dǎo)學(xué)生求出所列方程的解；

（6）檢驗(yàn)所求方程的解合理性；

（7）根據(jù)題意作答；

（8）按課本P.22sp.23格式寫出解答過程。

注意：設(shè)未知數(shù)和作答時(shí)都不要漏寫單位。

2、展示課本P.23例5,讓學(xué)和仿照例4解答此題，然后看書上的解答，交

換批改，并交流解題經(jīng)驗(yàn)。在檢驗(yàn)所求方程解的合理性時(shí)，教師要特別注意用圖

形引導(dǎo)學(xué)生思考，作出正確判斷。

（三）應(yīng)用新知

課本P.24,練習(xí)。

（四）課堂小結(jié)

1、用“（1）審、（2）設(shè)、（3）列、（4）解、（5）驗(yàn)、（6）答“六個(gè)

字概括列方程解應(yīng)用題的六步，使學(xué)和生對(duì)方程解應(yīng)用題的步驟更熟悉。

2、在運(yùn)用一元二次方程解實(shí)際問題時(shí)，一定要注意檢查求得的方程的解

是否符合實(shí)際情況。

（五）思考與拓展

如圖1-2,一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離

為8米，（1）如果子的頂端下滑1米，那么底端也將滑動(dòng)1米嗎