2023年江蘇數(shù)學(xué)高考真題(含答案)

絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔江蘇卷〕數(shù)學(xué)I考前須知考生在答題前請認(rèn)真閱讀本考前須知及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含非選擇題〔第1題~第20題，共20題〕.本卷總分值為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符。4.作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5.如需改動，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1.集合，，假設(shè)那么實數(shù)a的值為________2.復(fù)數(shù)z=〔1+i〕〔1+2i〕,其中i是虛數(shù)單位，那么z的模是__________3.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件，為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，那么應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件.4.右圖是一個算法流程圖，假設(shè)輸入x的值為，那么輸出的y的值是.5.假設(shè)tan,那么tan=.6.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，那么的值是7.記函數(shù)的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x，那么xD的概率是8.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q，其焦點是F1,F2,那么四邊形F1PF2Q的面積是9.等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前n項的和為Sn，，那么=10.某公司一年購置某種貨物600噸，每次購置x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，那么x的值是11.函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，假設(shè)，那么實數(shù)a的取值范圍是。12.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量,,,的模分別為1,1，，與的夾角為，且tan=7，與的夾角為45°。假設(shè)=m+n〔m，nR〕，那么m+n=13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A〔-12,0〕，B〔0,6〕，點P在圓O：x2+y2=50上，假設(shè)·20，那么點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是14.設(shè)f(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合D=，那么方程f(x)-lgx=0的解的個數(shù)是.15.〔本小題總分值14分〕如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F〔E與A、D不重合〕分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕AD⊥AC.16.〔本小題總分值14分〕向量a=〔cosx,sinx〕,b=(3,-3)〔1〕假設(shè)a∥b，求x的值；〔2〕記fx=a?b17.〔本小題總分值14分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.〔1〕求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕假設(shè)直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo).18.〔本小題總分值16分〕如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm.〔容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計〕〔1〕將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中局部的長度；〔2〕將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中局部的長度.19.〔本小題總分值16分〕對于給定的正整數(shù)k,假設(shè)數(shù)列l(wèi)anl滿足=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，那么稱數(shù)列l(wèi)anl是“P(k)數(shù)列〞.學(xué)科@網(wǎng)(1)證明：等差數(shù)列l(wèi)anl是“P(3)數(shù)列〞；假設(shè)數(shù)列l(wèi)anl既是“P(2)數(shù)列〞，又是“P(3)數(shù)列〞，證明：lanl是等差數(shù)列.20.〔本小題總分值16分〕函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點?！矘O值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值〕求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；證明：b2>3a;假設(shè)，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍。2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔江蘇卷〕數(shù)學(xué)II〔附加題〕考前須知考生在答題前請認(rèn)真閱讀本考前須知及各題答題要求1.本試卷共2頁，均為非選擇題〔第21題~第23題〕。本卷總分值為40分，考試時間為30分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符。4.作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5.如需改動，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗21.【選做題】此題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答。假設(shè)多做，那么按作答的前兩小題評分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A.【選修4-1：幾何證明選講】〔本小題總分值10分〕如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足。求證：〔1〕∠PAC=∠CAB;〔2〕AC2=AP·AB。B.[選修4-2：矩陣與變換]〔本小題總分值10分〕矩陣A=0110求AB;假設(shè)曲線C1;在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程.C.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]〔本小題總分值10分〕在平面坐標(biāo)系中xOy中，直線l的參考方程為〔t為參數(shù)〕,曲線C的參數(shù)方程為〔s為參數(shù)〕。設(shè)p為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值學(xué)@科@網(wǎng)Ｄ．［選修4-5：不等式選講］〔本小題總分值10分〕a,b,c,d為實數(shù)，且a2+b2=4,c2+d2=16,證明ac+bd8.22.〔本小題總分值10分〕如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120o.〔1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；〔2〕求二面角B-A1D-A的正弦值。23.〔本小題總分值10〕一個口袋有m個白球，n個黑球〔m,n,n2〕,這些球除顏色外全部相同。現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如下圖的編號為1,2,3，……，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號為k的抽屜〔k=1,2,3，……，m+n〕.〔1〕試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;〔2〕隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學(xué)期望，證明2023年高考江蘇卷數(shù)學(xué)試題〔標(biāo)準(zhǔn)答案〕一、填空題:此題考查根底知識、根本運算和根本思想方法.每題5分，共計70分.1.1 2. 3.18 4. 5.6. 7. 8. 9.32 10.3011. 12.3 13. 14.8二、解答題15.本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力.總分值14分.證明：〔1〕在平面內(nèi)，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.〔2〕因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因為平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC.16.本小題主要考查向量共線、數(shù)量積的概念及運算，考查同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和(差)的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查運算求解能力.學(xué)科.網(wǎng)總分值14分.解：〔1〕因為，，a∥b，所以.假設(shè)，那么，與矛盾，故.于是.又x∈[0,π]，所以〔2〕.因為x∈[0,π]，所以從而.于是，當(dāng)，即時，fx取到最大值3；當(dāng)，即時，fx取到最小值.17.本小題主要考查直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)等根底知識，考查分析問題能力和運算求解能力.總分值14分.解：〔1〕設(shè)橢圓的半焦距為c.因為橢圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是.〔2〕由〔1〕知，，.設(shè)，因為點為第一象限的點，故.當(dāng)時，與相交于，與題設(shè)不符.當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為.因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：，①直線的方程：.②由①②，解得，所以.因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或.又在橢圓E上，故.由，解得；，無解.因此點P的坐標(biāo)為.18.本小題主要考查正棱柱、正棱臺的概念，考查正弦定理、余弦定理等根底知識，考查空間想象能力和運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.總分值16分.解:〔1〕由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，.記玻璃棒的另一端落在上點處.因為，所以，從而 ，記與水面的焦點為,過作P1Q1⊥AC,Q1為垂足，那么P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，從而AP1=.答：玻璃棒l沒入水中局部的長度為16cm.(如果將“沒入水中局部冶理解為“水面以上局部冶，那么結(jié)果為24cm) 〔2〕如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處.學(xué)科&網(wǎng)過G作GK⊥E1G，K為垂足，那么GK=OO1=32.因為EG=14，E1G1=62，所以KG1=，從而.設(shè)那么.因為，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因為，所以.于是.記EN與水面的交點為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，那么P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，從而EP2=.答:玻璃棒l沒入水中局部的長度為20cm.(如果將“沒入水中局部冶理解為“水面以上局部冶，那么結(jié)果為20cm)19.本小題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式等根底知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力.總分值16分.證明:〔1〕因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，那么，從而，當(dāng)時，，所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列〞.〔2〕數(shù)列既是“數(shù)列〞，又是“數(shù)列〞，因此，當(dāng)時，，①當(dāng)時，.②由①知，，③，④將③④代入②，得，其中，所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.在①中，取，那么，所以，在①中，取，那么，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.20.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點問題,考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.總分值16分.解：〔1〕由，得.當(dāng)時，有極小值.因為的極值點是的零點.所以，又，故.因為有極值，故有實根，從而，即.時，，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；時，有兩個相異的實根，.列表如下x+0–0+極大值極小值故的極值點是.從而，因此，定義域為.〔2〕由〔1〕知，.設(shè)，那么.當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增.因為，所以，故，即.因此.〔3〕由〔1〕知，的極值點是，且，.從而記，所有極值之和為，因為的極值為，所以，.因為，于是在上單調(diào)遞減.因為，于是，故.因此a的取值范圍為.21.【選做題】此題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.假設(shè)多做，那么按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修4-1：幾何證明選講]本小題主要考查圓與相似三角形等根底知識,考查推理論證能力.總分值10分.證明：〔1〕因為切半圓O于點C，所以，因為為半圓O的直徑，所以,因為AP⊥PC，所以，所以.〔2〕由〔1〕知，故，所以.B.[選修4-2：矩陣與變換]本小題主要考查矩陣的乘法、線性變換等根底知識,考查運算求解能力.總分值10分.解：〔1〕因為A=，B=，所以AB=QUOTE01101002=QUOTE0210〔2〕設(shè)為曲線上的任意一點，它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?那么，即，所以.因為在曲線上，所以，從而，即.因此曲線在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到曲線.C.[選修4-5：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]本小題主要考查曲線的參數(shù)方程及互化等根底知識,考查運算求解能力.總分值10分.解：直線的普通方程為.因為點在曲線上，設(shè)，從而點到直線的的距離，當(dāng)時，.因此當(dāng)點的坐標(biāo)為時，曲線上點到直線的距離取到最小值.D.[選修4-5：不等式選講]本小題主要考查不等式的證明,考查推理論證能力.總分值10分.證明：由柯西不等式可得：，因為所以，因此.22.【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等根底知識,考查運用空間向量解決問題的能力.總分值10分.解：在平面ABCD內(nèi)，過點A作AEAD，交BC于點E.因為AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因為