物化熱力學(xué)第二定律

物化熱力學(xué)第二定律第一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日第二章熱力學(xué)第二定律

熱二律的提出背景

方向問題：C(石墨)→C(金剛石)的變化極具價值，但歷史上的無數(shù)次試驗均告失敗。

事實表明：一定條件下，并非任何變化都能朝著人們預(yù)期的方向進行。提出的問題：確定條件下的方向為何？預(yù)期方向的實現(xiàn)需要何種條件？

應(yīng)用熱二律計算表明，常溫實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化所需壓力為大于1500MPa（～15000atm）。即常溫常壓下該變化正向是非自發(fā)的。反向？第二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日第二章熱力學(xué)第二定律

熱二律的提出背景

限度問題：在高爐煉鐵Fe3O4+4CO→3Fe+4CO2

事實表明：無法避免出口氣體中的CO。即一定條件下，變化是有限度的。

提出的問題：

確定條件下某變化的平衡位置在哪？影響平衡位置的因素有哪些，怎樣影響？如何控制條件來控制平衡位置及轉(zhuǎn)化率？

方向和限度兩個問題是熱一律所不能解決的。熱二律將引入S、G、A，解決這兩個問題。第三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日第二章熱力學(xué)第二定律學(xué)習(xí)要求及重點：深入理解熵、吉布斯函數(shù)等概念；了解熱力學(xué)能和熵的本質(zhì)；掌握封閉系統(tǒng)PVT變化、相變化及化學(xué)變化三類過程ΔS、ΔA、ΔG的計算；理解熱力學(xué)重要關(guān)系式及其意義；理解并掌握克拉貝龍方程及其應(yīng)用。說明：⑴本章內(nèi)容新且極其重要，除“*”者為提高部分內(nèi)容，不作要求外，皆以課堂講授為主，并要求預(yù)習(xí)；⑵本課程對于熱力學(xué)函數(shù)關(guān)系的證明不要求。本章習(xí)題：P155～1613-6、3-7、3-10、3-15、3-18、3-21；3-26

、3-28、3-33、3-38、3-43、3-44;第四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日第二章熱力學(xué)第二定律

§2-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述

§2-2卡諾循環(huán)及熱機效率

§2-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理

§2-4熵變的計算

§2-5Helmholtz函數(shù)及Gibbs函數(shù)

§2-6熱力學(xué)重要關(guān)系式

§2-7克拉貝龍(Clapeyron)方程

§2-8熱力學(xué)能的本質(zhì)與熵的統(tǒng)計意義第五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述一、自發(fā)過程的不可逆性自發(fā)過程推動力自發(fā)方向限度平衡態(tài)過程做功逆過程氣體擴散壓力差p高→p低Δp=0膨脹功壓縮機熱傳導(dǎo)溫度差T高→T低ΔT=0熱機制冷機電遷移電勢差φ高→φ低Δφ=0電功充電機溶質(zhì)溶解濃度差c高→c低Δc=0電池等蒸餾塔有，？有，?有，？電池等電解池化學(xué)反應(yīng)第六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述一、自發(fā)過程的不可逆性明顯的自發(fā)變化：中和反應(yīng)、置換反應(yīng)鐵在潮濕空氣中自動生銹經(jīng)引發(fā)明顯自發(fā)：2H2(g)

+O2(g)

→H2O(g)H2(g)

+Cl2(g)

→2HCl(g)難以覺察的自發(fā)：C(金剛石)→C(石墨)(動力學(xué)穩(wěn)態(tài))2CO+2NO→2CO2+N2非自發(fā)：C(石墨)→C(金剛石)N2+O2→2NO6CO2+6H2O→C6H12O6+6O2C+H2→汽油

放熱反應(yīng)吸熱反應(yīng)第七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述一、自發(fā)過程的不可逆性T>273.15K：H2O(s)

→H2O(l)一定溫度下：2NH3(g)

→2N2(g)+3H2(g)CaCO3(s)CaO(s)+CO2(g)自發(fā)的吸熱反應(yīng)：NH4Cl(s)→NH4+(aq)+Cl-(aq)結(jié)論：放熱并非一定自發(fā)，吸熱也并非一定非自發(fā)。焓變只是影響自發(fā)性的因素之一，不是唯一。=9.76kJ·mol-1=178.32kJ·mol-1第八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述一、自發(fā)過程的不可逆性——自發(fā)過程的共同特征⑴都具明顯的單向自發(fā)傾向，逆過程需借助外力做功，且系統(tǒng)和環(huán)境不可同時復(fù)原；⑵都具一推動力，推動力消失為限度——平衡態(tài)；⑶加以控制和利用時，可獲得功；⑷都向著孤立體系中能量發(fā)散的方向自發(fā)進行。

結(jié)論：一切自發(fā)過程皆具有不可逆性。

這是由一定條件下的初末態(tài)決定的——找尋方向判據(jù)的依據(jù)。第九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述二、熱二律的經(jīng)典敘述克勞修斯(R.Clausius)說法，熱傳導(dǎo)的不可逆性；開爾文(Kelvin)說法，功熱轉(zhuǎn)換的不可逆性；奧斯瓦德(Ostwald)說法：第二類永動機不可能制造；

是大量實驗的總結(jié)，是熱力學(xué)系統(tǒng)所遵循的自然規(guī)律，三種說法相互等價。任何宏觀自發(fā)過程發(fā)生后，等價于一定數(shù)量的功轉(zhuǎn)化為熱，或一定數(shù)量的熱從高溫物體傳至低溫物體，等價于能量品味的降低。不可簡單逆轉(zhuǎn)和完全復(fù)原。

企圖找到簡單和普適的方向判據(jù)。第十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-1自發(fā)過程的共同特征及熱二律的表述二、熱二律的經(jīng)典敘述高溫熱源(T1)低溫熱源(T2)熱機(氣缸)Q1>0Q2<0-W熱機效率：第十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日Q1Q2§2-2卡若循環(huán)與熱機效率卡諾熱機：理想氣體為工質(zhì)，經(jīng)恒溫可逆膨脹絕熱可逆膨脹恒溫可逆壓縮絕熱可逆壓縮熱機效率：應(yīng)用第一章所學(xué)求WW第十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-2卡若循環(huán)與熱機效率熱機效率及卡諾定理(2-2-1)結(jié)論：理想氣體為工質(zhì)的卡若熱機的效率η，只與兩個熱源溫度(T1,T2)有關(guān)，溫差愈大，η愈高。不可逆可逆任意熱機：變化得:不可逆可逆(2-2-2)第十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達式熵的提出

將(2-2-2)式推廣到多個熱源的無限小的循環(huán)過程,有不可逆循環(huán)可逆循環(huán)(2-3-1)

即表明：熱溫商沿任何可逆循環(huán)閉積分等于零；沿任何不可逆循環(huán)的閉積分總小于零——克勞修斯(Clausius)定理。第十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達式對于可逆循環(huán)，如圖A→B→AABr,1r,2

可逆過程熱溫商的積分值只與始終態(tài)有關(guān)，而與途徑無關(guān)——狀態(tài)函數(shù)的變化量。def第十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達式(2-3-2)S稱為熵(entropy)；熵是狀態(tài)函數(shù)；是宏觀熱力學(xué)性質(zhì)，廣度量；單位為J·K-1。熵變（ΔS）由可逆途徑熱溫商的積分值來計算。宏觀熱力學(xué)只給出了熵變的定義，對于其物理意義不能定義，這將由統(tǒng)計熱力學(xué)完成。第十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理一、熵及熱二律的數(shù)學(xué)表達式熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表達式對一不可逆循環(huán)，如圖A→B→AABirr得：不可逆可逆(2-3-3)——熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表達式方向判據(jù)第十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理二、熵增原理及平衡的熵判據(jù)

絕熱過程，δQ=0，則有不可逆可逆(2-3-4)

孤立系統(tǒng)，δQ=0，則有自發(fā)平衡(2-3-5)熵增加原理：系統(tǒng)經(jīng)絕熱過程由一狀態(tài)到達另一狀態(tài)，熵值不減少；自發(fā)變化的結(jié)果，必使孤立系統(tǒng)的熵增加(孤立系統(tǒng)中可以發(fā)生的實際過程都是自發(fā)過程)。方向：孤立系統(tǒng)的熵增加限度：孤立系統(tǒng)熵值達到最大——平衡態(tài)。第十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-3熱力學(xué)第二定律及熵增加原理二、熵增原理及平衡的熵判據(jù)

封閉系統(tǒng)，由式不可逆可逆不可逆可逆

熱源足夠大且體積固定，過程中保持T均勻不變，即熱源的變化總是可逆的。(2-3-6)不可逆可逆第十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算二、理想氣體的混合過程ΔS的計算三、定T定p下相變化過程ΔS的計算四、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計算

計算原則：根據(jù)(2-3-2)

計算方法：利用狀態(tài)函數(shù)變化量特征，在確定的始末態(tài)間，設(shè)計適合的可逆過程。第二十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算1、氣、液、固體的定p或定V的變T過程定壓及定容下，T升高，則S增大

定容變溫過程：由δQV=dU=nCV,mdT

同理得：(2-4-2)(2-4-1)

定壓變溫過程：由δQp=dH=nCp,mdT第二十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算2、氣體定溫下的p、V變化過程液、固體定溫下p、V變化過程：熵變可忽略不計；實際氣體，關(guān)系復(fù)雜；本節(jié)僅討論理想氣體的定溫變化過程：結(jié)論：定T下，V增加，則S增大；p減小，則S增大；(2-4-3)第二十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算2、氣體定溫下的p、V變化過程例2-1：10.00mol理想氣體，由25℃，1.000MPa膨脹到25℃，0.100MPa。假定過程是：⑴可逆膨脹；⑵對抗恒外壓0.100MPa膨脹；⑶自由膨脹。計算系統(tǒng)(sy)熵變及環(huán)境(su)熵變。解：∵三過程的始終態(tài)相同，∴系統(tǒng)熵變相等。第二十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算2、氣體定溫下的p、V變化過程思考題1：計算結(jié)果表明？第二十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算2、氣體定溫下的p、V變化過程定溫可逆定溫恒psuPsu＝000可逆→不可逆，自發(fā)傾向增強第二十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算3、理想氣體T、p、V同時變化過程p1,T1,V1p2,T2,V2p2,T1,VTpp2,T,V1Vp或：定V→定p(2-4-4)(2-4-5)第二十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算3、理想氣體T、p、V同時變化過程例2-2：5mol氮氣（理氣），由25℃，1.01MPa對抗恒外壓0.101MPa絕熱膨脹到0.101MPa。計算ΔS。若為絕熱可逆膨脹到0.101MPa如何？解：絕熱膨脹ΔU=W，體系溫度降低，

首先需確定終態(tài)T2第二十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算一、單純p、V、T變化過程ΔS的計算3、理想氣體T、p、V同時變化過程S增加的V效應(yīng)>S減小的T效應(yīng)絕熱可逆膨脹例2-2：ΔS=0。即S減小的T效應(yīng)=S增加的V效應(yīng)。第二十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算二、理想氣體的混合過程∵yB<1，∴ΔmixS>0nA,p,T,VA

nB,p,T,VBnA+nB,p,T,VA+VB定溫定壓

nA,VnA+nB,V定溫定容

nB,V＋(2-4-6)結(jié)論：定T定p理氣混合過程系統(tǒng)熵增加第二十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算三、定T定p下相變化過程B(α,T,p?)B(β,T,p?)irB(α,Teq,p?)⑴⑵B(β,Teq,p?)⑶r

根據(jù)狀態(tài)函數(shù)變化量的特征，焓變的計算方法：(2-4-7)整理得：第三十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算三、定T定p下相變化過程例2-3：已知水的沸點是100℃，汽化焓ΔvapHm=40.67kJ·mol-1，Cp,m(l)=75.20J·K·mol-1，Cp,m(g)=33.50J·K·mol-1（且視Cp,m與T無關(guān)）計算在60℃、101kPa下，水蒸氣凝結(jié)為液態(tài)水過程的ΔU、ΔH和ΔS。H2O(g,60℃,101kPa)H2O(l,60℃,101kPa)H2O(g,100℃,101kPa)⑴⑵H2O(l,100℃,101kPa)⑶60℃100℃解：第三十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算三、定T定p下相變化過程例2-3：熵減？第三十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算四、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計算1、熱三律的經(jīng)典表述能斯特(Nernst)說法：隨著絕對溫度趨于零，凝聚體系定溫反應(yīng)的熵變趨于零。(2-4-8)

普朗克(Planck)說法：凝聚態(tài)純物質(zhì)在0K時的熵值為零。后修正為：純物質(zhì)完美晶體在0K時的熵值為零。第三十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算四、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計算

3、標準摩爾熵（規(guī)定摩爾熵）物質(zhì)B在溫度T時的規(guī)定摩爾熵(也有稱為“絕對熵”)標準態(tài)下(pθ=100kPa)的規(guī)定摩爾熵又稱為標準摩爾熵，表示為：S

θm(B,β,T)

(2-4-9)

在手冊中可查到物質(zhì)B在298K下的標準摩爾熵，即：S

θm(B,β,298K)

第三十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算四、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計算

其中0K→10K時，德拜(Debye)的公式求算：CV,m=aT3

a為物理常數(shù)，低溫下晶體的Cp,m與CV,m幾乎相等。純物質(zhì)的標準摩爾熵可通過以下步驟求得:第三十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算四、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計算(2-4-10)4、化學(xué)反應(yīng)熵變的計算溫度T下反應(yīng)的標準摩爾熵[變]：aAbB＋yYzZ＋aAbB＋yYzZ＋第三十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算四、熱力學(xué)第三定律及化學(xué)反應(yīng)熵變的計算4、化學(xué)反應(yīng)熵變的計算溫度T下反應(yīng)的標準摩爾熵[變]：(2-4-11)>0：<0：=0：T升高，ΔrSm增加；T升高，ΔrSm降低；T改變，ΔrSm不變。習(xí)題：P155～1613-6、3-7、3-10、3-15、3-18、3-21；第三十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-4熵變的計算分析自發(fā)及非自發(fā)反應(yīng)：C(金剛石)→C(石墨)，自發(fā)，放熱、熵增；2H2(g)

+O2(g)

→H2O(g)，自發(fā)，放熱、熵減；H2O(g)

→H2O(l)，>100℃非自發(fā)，放熱、熵減；C+H2→汽油

，非自發(fā)，吸熱、熵減；H2O(s)

→H2O(l)，>0℃自發(fā)，吸熱、熵增；2NH3(g)

→2N2(g)+3H2(g)，可自發(fā)，吸熱、熵增；CaCO3(s)＝CaO(s)＋CO2(g)，常溫非自發(fā)，吸熱、熵增；顯然，放熱和熵增有利于自發(fā)——能量的發(fā)散方向第三十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)一、亥姆霍茨(Helmholtz)函數(shù)及其判據(jù)(2-5-1)對于定溫過程：由熱二律：不可逆可逆不可逆可逆不可逆可逆自發(fā)可逆第三十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)一、亥姆霍茨(Helmholtz)函數(shù)及其判據(jù)自發(fā)可逆自發(fā)平衡(2-5-2)自發(fā)可逆自發(fā)可逆結(jié)論：定溫定容、W’=0條件下，封閉系統(tǒng)亥姆霍茨函數(shù)減小的過程為自發(fā)過程，且其減至最小時達平衡。第四十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)二、吉布斯(Gibbs)函數(shù)及其判據(jù)(2-5-3)自發(fā)平衡(2-5-4)對于定溫定壓過程，由自發(fā)可逆自發(fā)可逆自發(fā)可逆結(jié)論：定溫定壓、W’=0條件下，封閉系統(tǒng)吉布斯函數(shù)減小的過程為自發(fā)過程，且其減至最小時達平衡。第四十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)三、引入A、G的意義

A、G皆為狀態(tài)函數(shù)；具有能量量綱，單位為J或kJ。其絕對值難以求得(如同焓)，但重要的是變化量ΔA、ΔG。1、對兩類過程方向(可能性)的判斷：⑴定溫定容；⑵定溫定壓；2、對特定條件下平衡位置的判定——如化學(xué)平衡、相平衡。第四十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)四、定溫過程ΔA、ΔG的計算A、G為狀態(tài)函數(shù)，可設(shè)為定溫可逆過程求之。當W’=0(2-5-5)1、定溫下理想氣體單純p、V變化過程積分：第四十三頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)四、定溫過程ΔA、ΔG的計算2、定溫定壓相變化（W’＝0）⑵非平衡T、p下：B(β,T,p)irB(α,Teq,peq)⑴⑵B(β,Teq,peq)⑶rB(α,T,p)⑴平衡Teq、peq下：第四十四頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)四、定溫過程ΔA、ΔG的計算例2-4：已知水在0℃、100kPa的凝固焓，計算在-5℃、100kPa下，5mol水凝固為冰的ΔG和ΔA。（1）已知：ΔfusHm=-6009J·mol-1，在0～－5℃間水和冰的Cp,m(l)=75.3J·K·mol-1，Cp,m(s)=37.6J·K·mol-1。（2）已知-5℃過冷水和冰的飽和蒸氣壓分別為421Pa和401Pa，密度分別為1.0g·cm-3和0.91g·cm-3

；第四十五頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)四、定溫過程ΔA、ΔG的計算268.2K下得：ΔG＝ΔH－T

ΔS＝－540JH2O(l,0℃,100kPa)⑴⑵H2O(s,0℃,100kPa)⑶0℃5H2O(l,-5℃,100kPa)5H2O(s,-5℃,100kPa)-5℃解法一：ΔfusHm=-6009J·mol-1，在0～－5℃間水和冰的Cp,m(l)=75.3J·K·mol-1，Cp,m(s)=37.6J·K·mol-1。據(jù)前方法，分別計算268.2K下的ΔH和ΔS第四十六頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)四、定溫過程ΔA、ΔG的計算解法二：

-5℃過冷水和冰的飽和蒸氣壓分別為421Pa和401Pa，密度分別為1.0g·cm-3和0.91g·cm-3

；⑴⑶⑸5H2O(l,-5℃,100kPa)5H2O(s,-5℃,100kPa)H2O(l,-5℃,421Pa)⑵H2O(g,-5℃,421Pa)H2O(g,-5℃,401Pa)H2O(s,-5℃,401Pa)⑷第四十七頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)四、定溫過程ΔA、ΔG的計算3、定溫定壓化學(xué)變化（W’=0）無機化學(xué)課程中已學(xué)：或：非298K：第四十八頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-5亥姆霍茨函數(shù)和吉布斯函數(shù)四、定溫過程ΔA、ΔG的計算3、定溫定壓化學(xué)變化（W’=0）由：和：第四十九頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-6熱力學(xué)函數(shù)的重要關(guān)系式HUpVApVTSGTS一、定義式

H=U+pV=G+TS=A+TS+pV(2-6-1)一、定義式二、熱力學(xué)基本方程三、對應(yīng)系數(shù)方程四、麥克斯韋方程五、其它關(guān)系第五十頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-6熱力學(xué)函數(shù)的重要關(guān)系式二、熱力學(xué)基本方程封閉系統(tǒng)發(fā)生W’=0的微小可逆過程：U=H+pV代入H=G+TS代入U=A+TS代入第五十一頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-6熱力學(xué)函數(shù)的重要關(guān)系式三、對應(yīng)系數(shù)方程

在基本方程基礎(chǔ)上：第五十二頁，共六十三頁，編輯于2023年，星期日§2-6熱力學(xué)函數(shù)的重要關(guān)系式四、麥克斯韋方程

全微分函數(shù)如z=f(x,y)，有由基本方程可得：第五十三頁，共六十三頁，編輯于2023