第三章 軸心受壓桿件的整體穩(wěn)定

§3.1軸心受壓構(gòu)件的整體失穩(wěn)現(xiàn)象無(wú)缺陷的軸心受壓構(gòu)件在壓力較小時(shí)，只有軸向壓縮變形，并保持直線平衡狀態(tài)。此時(shí)如果有干擾力（或荷載繼續(xù)加大）使構(gòu)件產(chǎn)生微小彎曲，當(dāng)撤去干擾力（或荷載），構(gòu)件將恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)，則此構(gòu)件處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；若構(gòu)件不能恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)，則此構(gòu)件處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。我們研究的內(nèi)容就是找出從穩(wěn)定平衡狀態(tài)過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)之間的臨界狀態(tài)，并將構(gòu)件控制在臨界狀態(tài)之內(nèi)，那么構(gòu)件就是穩(wěn)定的。2021/5/91無(wú)缺陷的軸心受壓構(gòu)件（雙軸對(duì)稱(chēng)的工型截面）通常發(fā)生彎曲失穩(wěn)，構(gòu)件的變形發(fā)生了性質(zhì)上的變化，即構(gòu)件由直線形式改變?yōu)閺澢问剑疫@種變化帶有突然性。對(duì)某些抗扭剛度較差的軸心受壓構(gòu)件（十字形截面），當(dāng)軸心壓力達(dá)到臨界值時(shí)，穩(wěn)定平衡狀態(tài)不再保持而發(fā)生微扭轉(zhuǎn)。當(dāng)軸心力在稍微增加，則扭轉(zhuǎn)變形迅速增大而使構(gòu)件喪失承載能力，這種現(xiàn)象稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。截面為單軸對(duì)稱(chēng)（T形截面）的軸心受壓構(gòu)件繞對(duì)稱(chēng)軸失穩(wěn)時(shí)，由于截面形心和剪切中心不重合，在發(fā)生彎曲變形的同時(shí)必然伴隨有扭轉(zhuǎn)變形，這種現(xiàn)象稱(chēng)為彎扭失穩(wěn)。軸心受壓構(gòu)件的三種整體失穩(wěn)狀態(tài)2021/5/92

（a）彎曲失穩(wěn)（b）扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)（c）彎扭失穩(wěn)2021/5/93§3.2理想軸心受壓構(gòu)件彎曲失穩(wěn)

理想軸心受壓構(gòu)件（1）桿件為等截面理想直桿；（2）壓力作用線與桿件形心軸重合；（3）材料為勻質(zhì)，各項(xiàng)同性且無(wú)限彈性，符合虎克定律；（4）構(gòu)件無(wú)初應(yīng)力，節(jié)點(diǎn)鉸支。3.2.1理想軸心受壓桿件彎曲失穩(wěn)的臨界荷載

歐拉（Euler）早在1744年通過(guò)對(duì)理想軸心壓桿的整體穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行的研究，當(dāng)軸心力達(dá)到臨界值時(shí)，壓桿處于屈曲的微彎狀態(tài)。在彈性微彎狀態(tài)下，根據(jù)外力矩平衡條件，可建立平衡微分方程，求解后得到了著名的歐拉臨界力和歐拉臨界應(yīng)力。2021/5/94方程通解：臨界力：臨界應(yīng)力：歐拉公式：2021/5/95Ncr——?dú)W拉臨界力，常計(jì)作NE

cr——?dú)W拉臨界應(yīng)力，常計(jì)作E

E——材料的彈性模量A——壓桿的截面面積——桿件長(zhǎng)細(xì)比（=l0/i）i——回轉(zhuǎn)半徑（i2=I/A）m----構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)l----構(gòu)件的幾何長(zhǎng)度1、理想軸心受壓構(gòu)件彎曲屈曲臨界力隨抗彎剛度的增加和構(gòu)件幾何長(zhǎng)度的減小而增大；2、當(dāng)構(gòu)件兩端為其它支承情況時(shí)，通過(guò)桿件計(jì)算長(zhǎng)度的方法考慮。2021/5/96§3.3理想軸心受壓構(gòu)件的非彈性彎曲失穩(wěn)

彈性屈曲與非彈性屈曲

歐拉公式只適用于彈性范圍，歐拉臨界應(yīng)力小于比例極限，即：2021/5/97

1889年恩格塞爾（EngesserF.）提出了切線模量理論，建議用變化的變形模量Et代替歐拉公式中的彈性模量E，從而得到彈塑性臨界力。切線模量理論采用如下假定：①桿件是挺直的；②桿件兩端鉸接，荷載沿桿軸線作用；③桿件產(chǎn)生微小的彎曲變形（小變形假定）；④彎曲前的平截面彎曲變形后仍為平面；⑤彎曲變形時(shí)全截面沒(méi)有出現(xiàn)反號(hào)應(yīng)變。軸向增加的平均壓應(yīng)力大于因彎曲引起桿件凸側(cè)纖維的拉應(yīng)力。

切線模量理論（tangentmodulustheory）2t2crlIEFp=2t2crlpsE=2021/5/9833圖3.52021/5/99

雙模量理論（doublemodulustheory）

雙模量的概念是康西德?tīng)枺–onsidereA.）于1891年提出的，該理論采用的基本假定除第5條外，其它均與切線模量理論的相同。軸心受壓構(gòu)件，認(rèn)為構(gòu)件從挺直位置到微彎位置時(shí)作用于兩端的軸向荷載保持常量；且構(gòu)件微彎時(shí)凹面為正號(hào)應(yīng)變，凸面為反號(hào)應(yīng)變，即存在著凹面的加載區(qū)和凸面的卸載區(qū)；由于彎曲應(yīng)力較軸向應(yīng)力小得多，可以認(rèn)為加載區(qū)（凹面）的變形模量均為Et，卸載區(qū)（凸面）的變形模量為彈性模量E，因?yàn)镋t<E，彎曲時(shí)截面的彎曲中性軸與截面形心軸不再重合而向卸載區(qū)偏移。，稱(chēng)為折算模量中性軸的位置確定2021/5/910§3.2.3缺陷對(duì)軸心受壓構(gòu)件彎曲屈曲的影響

理想軸心受壓構(gòu)件在實(shí)際結(jié)構(gòu)中并不存在，實(shí)際結(jié)構(gòu)都存在不同程度的缺陷，一般指幾何缺陷和力學(xué)缺陷。試驗(yàn)和理論分析均表明，缺陷的存在降低了構(gòu)件的穩(wěn)定承載力，因此不能直接用理想條件所得到的臨界力作為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)考慮缺陷的影響。

2021/5/9111、初彎曲（初撓度）的影響

經(jīng)實(shí)測(cè)得到的型鋼和焊接組合截面鋼構(gòu)件的初彎曲形狀如圖中實(shí)線所示2021/5/912

鋼構(gòu)件的初始彎曲形式多樣，分析中通常假設(shè)桿軸線的初始彎曲撓度曲線為正弦曲線（如圖中虛線所示），這樣能簡(jiǎn)化分析而不影響結(jié)果的普遍性。令其通解為

EI/Fα2=()00=++￠￠yyFyEIlxaαyαypsin22-=+￠￠lxFE/1aF/FEαxBαxAypFsincossin-++=2021/5/913

根據(jù)邊界條件：x=0,y=0;x=l,y=0得：當(dāng)有初彎曲時(shí),則,只有方程的解為

從上述求解過(guò)程可以看出，利用邊界條件并不能得到穩(wěn)定方程解出臨界力。不妨分析荷載—撓度曲線，從中找出臨界力。在P作用下，桿件任一點(diǎn)的總撓度為Y0=B0sin=αlA0sin1αl0=AlxaF/FE1F/FEypsin-=lxaF/Flxa1F/FEyyyppsin11sin1E0-=????è?-+=+=F/FE2021/5/914當(dāng)時(shí)，桿件中點(diǎn)的總撓度為相應(yīng)的荷載—撓度曲線見(jiàn)圖。圖中實(shí)線表示構(gòu)件是完全彈性的，以時(shí)的水平線為其漸近線，當(dāng)桿件中點(diǎn)撓度時(shí)，F(xiàn)才逼近臨界荷載FE，與初始撓度值無(wú)關(guān)。實(shí)際材料不是無(wú)限彈性的，對(duì)于有初始彎曲的實(shí)際軸心受壓構(gòu)件，當(dāng)截面承受較大彎矩時(shí)就開(kāi)始屈服而進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，荷載—撓度曲線如圖中虛線所示，從圖中可知，有初始彎曲的軸心受壓柱實(shí)際上是極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題，其極限荷載并不是FE而是Fu。E1F/Fa-=dEFF=2021/5/915構(gòu)件初彎曲（初撓度）的影響0.50a=3mm1.0Ym/aa=1mma=0ABB’A’有初彎曲的軸心受壓構(gòu)件的荷載－撓度曲線如圖，具有以下特點(diǎn)：①y和Y與a成正比，隨P

的增大而加速增大；②初彎曲的存在使壓桿承載力低于歐拉臨界力PE；當(dāng)y趨于無(wú)窮時(shí)，P趨于PE

fy0λ歐拉臨界曲線對(duì)x軸僅考慮初彎曲的柱子曲線對(duì)y軸xxyyscr2021/5/9163、殘余應(yīng)力的影響

型鋼軋制、組合截面鋼構(gòu)件制作過(guò)程中的焊接及火焰切割等，都可以在構(gòu)件中產(chǎn)生自相平衡的應(yīng)力，即殘余應(yīng)力。殘余應(yīng)力雖然不影響結(jié)構(gòu)的靜力強(qiáng)度，但對(duì)疲勞強(qiáng)度、鋼材的低溫冷脆性能、結(jié)構(gòu)的剛度和穩(wěn)定性能均有不利影響。

殘余應(yīng)力降低構(gòu)件的剛度

殘余應(yīng)力降低構(gòu)件的臨界力

2021/5/917

由于柱截面有殘余應(yīng)力（本例中其峰值為）而提前屈服，導(dǎo)致截面彈性區(qū)縮小所造成的。理想彈塑性體本應(yīng)該在平均應(yīng)力達(dá)到時(shí)屈服，現(xiàn)在提前在應(yīng)力為時(shí)開(kāi)始屈服，當(dāng)翼緣端部的殘余應(yīng)力值更大時(shí)，纖維開(kāi)始屈服時(shí)的平均應(yīng)力將更小。如果不是短柱而是一般的中長(zhǎng)柱，由于有殘余應(yīng)力使構(gòu)件截面提前屈服、彈性部分減小，當(dāng)構(gòu)件開(kāi)始屈曲而變?yōu)槲澾^(guò)程中，構(gòu)件截面只有彈性部分起抗彎作用，構(gòu)件截面彈性部分減小導(dǎo)致剛度不斷降低。

殘余應(yīng)力降低構(gòu)件的剛度

2021/5/918

殘余應(yīng)力降低構(gòu)件的臨界力

以?xún)啥算q接的挺直軸心受壓軋制寬翼緣工字鋼構(gòu)件為例，由于有殘余應(yīng)力，對(duì)存在彈塑性屈曲問(wèn)題的中長(zhǎng)柱，發(fā)生屈曲時(shí)構(gòu)件截面只有彈性部分起抗彎作用，則構(gòu)件的臨界力為比值稱(chēng)為臨界力折減系數(shù)。

相應(yīng)的臨界應(yīng)力為當(dāng)繞強(qiáng)軸（x軸）彎曲時(shí)，若忽略腹板的影響，有IIlEIlEtIFe222e2cr′==pp2021/5/919當(dāng)繞弱軸（y軸）彎曲時(shí)，有

截面殘余應(yīng)力對(duì)穩(wěn)定承載力的影響：（1）殘余應(yīng)力降低了構(gòu)件的穩(wěn)定承載力；（2）同樣的截面形式，不同的殘余應(yīng)力發(fā)布影響不同；（3）同樣的截面，同樣的殘余應(yīng)力，對(duì)不同的軸影響不同。2021/5/920殘余應(yīng)力對(duì)構(gòu)件穩(wěn)定承載力的影響

fy0λ歐拉臨界曲線σcrxσcryσE僅考慮殘余應(yīng)力的柱子曲線lp2021/5/921實(shí)際軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定a、b、c、d四條柱子曲線2021/5/9223.2.6有彈性支承的軸心受壓桿件的穩(wěn)定圖3.13

實(shí)際工程中受壓桿件的端部大多既非鉸接又非固接，而是介于鉸接和固接之間，可稱(chēng)為具有彈性支承的受壓桿件。2021/5/923（1）一端固定一端彈性水平約束支承的壓桿或δ—彈性支承端B的水平位移；kb-—彈簧剛度令α2=F/E，式（3.35）的通解為：由邊界條件y(0)=0,y`(x)=0,y(l)=-δ得到線性代數(shù)方程組：；2021/5/924由α2=F/EI

和，得令則；可表示為：2021/5/925（2）一端自由一端彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束支承的壓桿圖3.15桿件在微彎曲平衡狀態(tài)下，任一截面的彎矩為M=-F（δ-y），桿件失穩(wěn)的平衡方程為：邊界條件為：y（0）=0;y`(0)=θ=Fδ/R;y(L)=δ（3.42）解微分方程（3.4.2），并利用邊界條件，得穩(wěn)定方程：；2021/5/926（3）一端鉸支一端彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束支承的壓桿圖3.16桿件在微彎曲平衡狀態(tài)下，任一截面的彎矩為M=Fy+FQ(l-x),桿件失穩(wěn)的平衡微分方程為：（3.44）相應(yīng)的邊界條件為：有y（0）=0，y`（0）=-FQl/R,y(l)=0解微分方程（3.44），并利用邊界條件，得穩(wěn)定方程：(3.45)2021/5/9273.2.7變截面軸心壓桿的穩(wěn)定如圖所示的一級(jí)臺(tái)階軸心受壓桿件平衡方程其通解分別為：2021/5/928由邊界條件及連續(xù)性條件得到：方程（3.52）中A1、B1和δ不全為0的條件是：展開(kāi)式（3.53）后，得到穩(wěn)定方程（3.54）2021/5/929令β=l1/l2,m=I2/I1,則，式（3.54）可寫(xiě)為（3.55）

對(duì)在臺(tái)階處還有軸向力F2的情況，可采用相同的方法得到穩(wěn)定方程：式中，2021/5/9303.3.1剪切變形對(duì)臨界力的影響EIGAlFP設(shè)彎矩和剪力影響所產(chǎn)生的撓度分別為和

同時(shí)考慮彎矩和剪力對(duì)變形的影響時(shí)的撓曲微分方程的建立:二者共同影響產(chǎn)生的撓度為彎矩引起的變形曲率為剪力引起變形曲率為撓曲微分方程為或2021/5/931EIGAlFP對(duì)于圖示兩端鉸支的等截面桿,有令方程的通解邊界條件代入曲微分方程得Sinml=02021/5/932臨界荷載為：式中剪力的影響為式中，為單位剪力FQ=1作用下產(chǎn)生的附加轉(zhuǎn)角，為歐拉臨界應(yīng)力2021/5/933

大型結(jié)構(gòu)的壓桿常采用組合壓桿的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使兩個(gè)型鋼離開(kāi)一定的距離，獲得較大的I，增強(qiáng)穩(wěn)定性?？奂Y條式：斜桿、橫桿與柱肢鉸接。P綴板式：橫桿與柱肢剛接。Pdb

組合壓桿的臨界荷載不僅與肢桿