電磁波與電磁場第三章

第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第三章靜電場的邊值問題

主要內(nèi)容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。3-1.電位微分方程

3-2.

鏡像法

3-3.直角坐標(biāo)系中的分離變量法3-4.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

3-5.

球坐標(biāo)系中的分離變量法

第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)第二章，知道電荷分布有多種途徑求解靜電場問題。實際中，往往并不知道電荷分布。此時，只能根據(jù)邊界條件，通過求解電位滿足的微分方程，從而獲知電場的分布特性，這就是靜電場的邊值問題。第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日3-1.電位微分方程已知，電位

與電場強度E

的關(guān)系為

對上式兩邊取散度，得對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場強度E的散度為

那么，線性各向同性的均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程式為(3-1-1)第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日該方程稱為泊松方程。

對于無源區(qū)，上式變?yōu)樯鲜椒Q為拉普拉斯方程。在靜電場中，如果需要獲知無源區(qū)中的電位分布及電場分布，僅需求解電位滿足的拉普拉斯方程

泊松方程的求解。

已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產(chǎn)生的電位為因此，上式就是電位微分方程在自由空間的特解。

(2-2-11)第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日為了求泊松方程（3-1-1）的通解，定義格林函數(shù)，滿足下列方程式中，為三維函數(shù)。電荷量為的點電荷密度可用函數(shù)表示為（3-1-4）根據(jù)函數(shù)的定義。第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日比較方程（3-1-1）和方程（3-1-4），滿足方程（3-1-4）的格林函數(shù)可以理解為位于處的點源在處產(chǎn)生的響應(yīng)。因此格林函數(shù)又稱點源函數(shù)

已知方程（3-1-1）在自由空間的特解為式（3-1-3），由此推知方程（3-1-4）在自由空間的特解為：對于點源，為常數(shù)，因此，可移出積分之外，得（3-1-7）第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

電位滿足的泊松方程（3-1-1）在自由空間的特解（3-1-3），可以用（3-1-7）的格林函數(shù)表示（3-1-1）（3-1-3）（3-1-7）（3-1-8）第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

若所討論的靜電場位于有限區(qū)域V中，利用第二標(biāo)量格林定理式（1-8-5），并設(shè)，得將方程（3-1-1）及式（3-1-4）代入上式函數(shù)的性質(zhì)第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日即格林函數(shù)具有對稱特性（3-1-9）（3-1-10）將（3-1-9）中的與對調(diào)，并考慮式（3-1-10）上式是（3-1-1）的通解第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

對于無限大的自由空間，表面S

趨向無限遠處，由于格林函數(shù) 及電位

均與距離成反比，而dS與距離平方成正比，所以，對無限遠處的S

表面，上式中的面積分為零。

若V為無源區(qū)，那么上式中的體積分為零。因此，第二項面積分可以認為是泊松方程在無源區(qū)中的解，或者認為是拉普拉斯方程以格林函數(shù)表示的積分解。第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場的場量與時間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

通常給定的邊界條件有三種類型：

第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。

第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。

第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷問題。第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2.鏡像法

實質(zhì):是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。

依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日（1）點電荷與無限大的導(dǎo)體平面

以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。

由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

電荷守恒：當(dāng)點電荷q

位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢姡鲜鲧R像法的實質(zhì)是以一個異性的鏡像點電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論。

半空間等效：上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日q

對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3

連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日fqo（2）點電荷與導(dǎo)體球

Padrq

若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點電荷q'位于球心與點電荷q的連線上。那么，球面上任一點電位為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形△OPq

與△

OqP相似，則常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為鏡像電荷離球心的距離d應(yīng)為這樣，根據(jù)q及q'

即可計算球外空間任一點的電場強度。fqOPadrq第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

若導(dǎo)體球不接地，則位于點電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷為負值，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡像電荷q'

后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q"，且必須令

顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷q“必須位于球心。事實上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由q及q‘在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷q“

以提供一定的電位。第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日l（3）線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱。Pafdr-lO

在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d

處，平行放置一根鏡像電荷。已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為因此，離線電荷r處，以為參考點的電位為第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點，則及在圓柱面上P點共同產(chǎn)生的電位為

已知導(dǎo)體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，必須要求比值為常數(shù)。與前同理，可令，由此得第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

（4）點電荷與無限大的介質(zhì)平面E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+

為了求解上半空間的場可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1

的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"等效原來的點電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2

的均勻空間。第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應(yīng)該相等，即

已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為即第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日求得兩個鏡像電荷如下：鏡像電荷q’及q’’完全取決于兩種介質(zhì)的介電常數(shù)。當(dāng)時，邊界消失，因此q’=0,q”=q,完全符合預(yù)料的結(jié)果第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電位為V，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。

解對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標(biāo)系。由于場量僅與坐標(biāo)r

有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式只剩下包含變量r的一項，即電位微分方程為第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日求得利用邊界條件：求得最后求得第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是非常重要的。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系。

此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個坐標(biāo)變量r有關(guān)，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標(biāo)變量有關(guān)。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于11種坐標(biāo)系都是行之有效的。第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日3.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中的展開式為令代入上式，兩邊再除以X(x)Y(y)Z(z)，得

第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日顯然，式中各項僅與一個變量有關(guān)。因此，將上式對變量x求導(dǎo)，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項等于常數(shù)。同理，再分別對變量y

及z求導(dǎo)，得知第二項及第三項也分別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為，分別求得式中kx，ky，kz

稱為分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。顯然，三個分離常數(shù)并不是獨立的，它們必須滿足下列方程第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量x

的常微分方程的通解為或者式中A,B,C,D為待定常數(shù)。第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日

分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng)kx

為虛數(shù)時，令，則上述通解變?yōu)榛蛘吆兞縳

、y

或z的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。

第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例兩個相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導(dǎo)電平面封閉，且與無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日解選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿z

軸無限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與z無關(guān)，因此，這是一個二維場的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程