自動(dòng)控制原理第六版課件 第二章

本章重點(diǎn)、難點(diǎn)與考點(diǎn)一、重點(diǎn)：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖變換與簡(jiǎn)化、梅遜公式二、難點(diǎn)：傳遞函數(shù)含義及性質(zhì)的理解、結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化、梅遜公式的應(yīng)用等章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型三、考點(diǎn)：1、求實(shí)際系統(tǒng)的微分方程、動(dòng)態(tài)框圖和傳遞函數(shù)；2、求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；3、把方框圖變換成信號(hào)流圖。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/912．1引言1．關(guān)于數(shù)學(xué)模型⑴定義：用以描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。有靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型之分。（Page21前言）⑵形式：時(shí)域模型（t）：微分/差分/狀態(tài)方程等；復(fù)域模型（s=σ+jω）：傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖；頻域模型（ω）：頻率特性。⑶特點(diǎn)及建模原則：（略）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/922．建模方法及步驟⑴方法：分析法（主）和實(shí)驗(yàn)法；⑵主要步驟：※

確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量；※

從輸入端開始，依次列寫各元件/環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程式（如微分方程）；※

消去中間變量，并將其化為標(biāo)準(zhǔn)注形式。注：標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，并將方程中的系數(shù)通過系統(tǒng)的參數(shù)化具有一定物理意義系數(shù)的一種表達(dá)形式。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/932．2實(shí)例分析例題1：P21例題2-1例題2：RC無源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u(píng)1為輸入量，u2為輸出量列寫該網(wǎng)絡(luò)的微分方程式。i2C1C2R2R1u1u2i1解：⑴u1為輸入量，u2為輸出量；⑵設(shè)回路電流分別為i1，i2，如圖所示；則有：i1R1+｛∫（i1－i2）dt｝/C1=u1

i2R2+(∫i2dt)/C2=｛∫（i1－i2）dt｝/C1

(∫i2dt)/C2=u2

AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/94⑶消去中間變量i1，i2后，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+R2C2)u2′+u2=u1

2．3非線性數(shù)學(xué)模型線性化1．線性系統(tǒng)的特性：1）能夠用線性微分方程來描述。2）不同類型的元件或系統(tǒng)可以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型。這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。3）可應(yīng)用疊加原理，即具有可疊加性和均勻性（齊次性）。2．小偏差線性化（自學(xué)）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/952．4線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.線性定常系統(tǒng)微分方程的求解：⑴．目的：尋求系統(tǒng)輸出隨時(shí)間t變化的規(guī)律。（求輸出響應(yīng)）⑵．方法：※

經(jīng)典法：微分方程

時(shí)域解c（t）※

拉氏變換法：微分方程復(fù)域解C（s）※

計(jì)算機(jī)求解法。例題1：右圖所示的RC電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/96解:設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，寫出電路微分方程其中：T=RC,且故有解得由于Ur(s)=uo/s,故所以u(píng)rAutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/97例題2：在下圖中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω，uc（0）=0.1V,i(0)=0.1A,ur(t)=1V。試求電路在通電瞬間uc（t）的變化規(guī)律。(P26例2-6)

uc（t）ur（t）CLR解：在教材P21例題2-1中已求得該電路的微分模型：對(duì)上式兩邊求拉氏變換：LC[s2Uc（s）-suc（0）-uc′（0）]+RC[sUc（s）-uc（0）]+Uc（s）=Ur（s）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/98由于uc′（0）=uc′（t）t=0=i（0）/C

將已知各條件代入后有：（s2+s+1）Uc（s）=Ur（s）+0.1(s+2)即通電瞬間,ur（t）=1或Ur（s）=L[ur（t）]=1/s

故再對(duì)上式兩邊求反拉氏變換：=1+1.15e-0.5tsin(0.866t-120°)+0.2e-0.5tsin(0.866t+30°)AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/99例題3：已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為其中x（t）,y（t）分別為輸入、輸出量,且知x（t）=δ(t),y’(0-)=y(0-)=0，求y（t）的表達(dá)式.解:對(duì)微分方程兩邊求拉氏變換：[s2Y（s）-sy(0-)-y′(0-)]+2[sy（s）-y(0-)]+2Y（s）=X（s）代入已知條件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）故y（t）=L-1[Y（s）]=L-1[1/（s2+2s+2）]=(1/2j)L-1[1/（s+1-j）-1/（s+1+j）]=(1/2j)[e-（1-j）t-e-（1+j）t]=e-tsintAutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/910⑶．拉氏變換法求解微分方程的過程：P27

※

考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)求拉氏變換；※

求取輸出量的拉氏變換式；※

再求取輸出量的拉氏變換式的反拉氏變換，求解之。2.傳遞函數(shù)⑴定義:在零初始條件

*下，線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。表示為：*零初始條件：指當(dāng)t﹤0時(shí)，系統(tǒng)輸入r（t）、輸出c（t）

以及它們的各界階導(dǎo)數(shù)均為零，即：r(0-)=c(0-)=r′(0-)=c′(0-)=…=r（n）(0-)=c（n）(0-)=0AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/911⑵傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)：①它是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)。具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；②它只與系統(tǒng)的自身結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)的形式（大小、性質(zhì)）無關(guān)；④其拉氏反變換是脈沖δ(t)輸入下的響應(yīng)函數(shù)g(t)；⑤它與S平面上一定的零、極點(diǎn)圖相對(duì)應(yīng)。③與微分方程可以相互轉(zhuǎn)換：dnx（t）/dtnsnX（s）；⑶傳遞函數(shù)的局限性：

只適用于描述線性定常SISO系統(tǒng)，也只直接反應(yīng)系統(tǒng)在零初始條件下的動(dòng)態(tài)特性。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/9122．5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其單位階躍響應(yīng)

序號(hào)典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)單位階躍響應(yīng)1比例環(huán)節(jié)G（s）=KC(t)=K1（t）2慣性環(huán)節(jié)G（s）=1/（Ts+1）C(t)=1-e-t/T3積分環(huán)節(jié)G（s）=1/Tsc（t）=t/T4純微分環(huán)節(jié)G（s）=Tsc（t）=?5一階微分環(huán)節(jié)G（s）=Ts+1c（t）=?6二階微分環(huán)節(jié)G（s）=T2s2+2ξTs+1c（t）=?7振蕩環(huán)節(jié)G（s）=1/（T2s2+2ξTs+1）c（t）=?8延遲環(huán)節(jié)G（s）=e-τSc（t）=?2.傳遞函數(shù)的求取

AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/913例題1：RC無源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u(píng)1為輸入量，u2為輸出量,試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(s)。i2C1C2R2R1u1u2i1解：⑴u1為輸入量，u2為輸出量；⑵設(shè)回路電流分別為i1，i2，如圖所示，則有：R1R2C1C2u2〞+(R1C1+R1C2+R2C2)u2′+u2=u1

在零初始條件下對(duì)上式求拉氏變換,得:R1R2C1C2s2U2(s)+(R1C1+R1C2+R2C2)sU2(s)+U2(s)=U1(s)G(s)=U2(s)/U1(s)=1/[R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1]即:AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/914例題2：在下圖中，已知L=1H，C=1F，R=1Ω。試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(s)。uc（t）ur（t）CLR解：在教材P21例題2-1中已求得該電路的微分模型：對(duì)上式兩邊求拉氏變換：LC[s2Uc（s）-suc（0）-uc′（0）]+RC[sUc（s）-uc（0）]+Uc（s）

=Ur（s）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/915即:LC[s2Uc（s）]+RC[sUc（s）]+Uc（s）=Ur（s）故:G(s)=Uc（s）/Ur（s）=1/[LCs2+RCs+1]=1/(s2+s+1)3.無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取復(fù)阻抗法

無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容和電感組成。無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取,一般有兩種方法：⑴傳遞函數(shù)定義法:微分方程拉氏變換傳遞函數(shù)⑵復(fù)阻抗法:依據(jù)電路理論復(fù)阻抗概念有電阻R的復(fù)阻抗為:ZR=R電容C的復(fù)阻抗為:ZC=1/Cs電感L的復(fù)阻抗為:ZL=LsAutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/916例題3:求下圖所示電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(s)。C2R2R1C1u1u2Z2Z1U1U2解：⑴將電源等效為復(fù)阻抗電路⑵Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1s+1）；Z2=ZR2+ZC2=（R2C2s+1）/C2s；⑶G（s）=U2/U1=Z2/（Z1+Z2）=（R1C1s+1）（R2C2s+1）/[（R1C1s+1）（R2C2s+1）+R1C2s]注：請(qǐng)用“傳遞函數(shù)定義法”求解該例題。

AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/9174.有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取

例題4：有源網(wǎng)絡(luò)如圖（1）所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果.直接用于圖（2）所示調(diào)節(jié)器，寫出其傳遞函數(shù)。圖（1）圖（2）解：1）對(duì)于圖（1）Zi和Zf分別表示放大器外部電路的輸入支路及反饋支路的復(fù)阻抗，設(shè)A點(diǎn)虛地，即UA=0，則I1=I2AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/918所以※

上述求得的傳遞函數(shù)表達(dá)式可以看做計(jì)算運(yùn)算放大器傳遞函數(shù)的一般公式。2）對(duì)于圖（2）因?yàn)樗訟utomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/919例題5：求下圖有源網(wǎng)絡(luò)的微分方程及傳遞函數(shù)（結(jié)構(gòu)圖）。R2R2uiuoR1R1C1C2Kiiiou1u2(1)、根據(jù)基爾霍夫列寫出網(wǎng)絡(luò)的微分方程式(2)、在零初始條件下對(duì)上述方程組求拉氏變換

(3)、消除中間變量，得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/920

試建立以下各圖所示系統(tǒng)的微分方程。圖中電壓ur和uc為輸入量和輸出量。（傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖）（a）（c）（b）（d）補(bǔ)充習(xí)題一、無源網(wǎng)絡(luò)AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/921求取下圖所示有源網(wǎng)絡(luò)的微分方程及傳遞函數(shù)，并畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。（a）（c）（b）（d）補(bǔ)充習(xí)題二、有源網(wǎng)絡(luò)AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/9222．6控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其簡(jiǎn)化1.結(jié)構(gòu)圖⑴、定義:由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的、并標(biāo)明信號(hào)流向的系統(tǒng)框圖。⑵、構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖的基本要素：①方框：表示環(huán)節(jié)。R（s）C（s）G（s）②信號(hào)線：表示信號(hào)流向。x（t）,X（s）③相加點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）：多個(gè)信號(hào)疊加。x（t）x（t）±y（t）

±y（t）④分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)）：同一信號(hào)分成多個(gè)信號(hào)。x（t）x（t）

x（t）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/9232.結(jié)構(gòu)圖的繪制

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的繪制,與傳遞函數(shù)求取一樣，亦相應(yīng)地有兩種方法。⑴繪制步驟：A、列寫每個(gè)元件的運(yùn)動(dòng)方程式或傳遞函數(shù)；B、畫出相應(yīng)的局部框圖；C、將這些方框圖按信號(hào)流向連接起來，得到系統(tǒng)框圖。⑵舉例說明例題1

畫出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

Ru1（t）Cu2（t）解：?。┝袑戇\(yùn)動(dòng)方程式或用復(fù)阻抗法u1=iR+u2u2=1/C∫idtAutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/924即I（s）=[U1（s）-U2（s）]/RU2（s）=I（s）/Csⅱ）繪制各元件框圖1/R1/CSⅲ）繪制系統(tǒng)框圖（連接等信號(hào)點(diǎn)）1/R1/Cs

U1（s）I（s）U2（s）

U2（s）U1（s）I（s）I（s）U2（s）U2（s）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/925i1Cu2u1i2R1R2解：?。┯脧?fù)阻抗法列寫方程U1（s）=I2（s）·R1+U2（s）…①U2（s）=I（s）·R2…②I1（s）·1/sC=I2（s）·R1…③I1（s）+I2（s）=I（s）…④ⅱ）繪制各元件框圖

由式①得：U1（s）I2（s）·R1I2（s）

U2（s）1/R1

由式②得：I（s）U2（s）R2由式③得I2（s）I1（s）

/CsI1（s）

R1Cs例題2

試畫出下圖所示四端網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/926由式④得：I1（s）I（s）

I2（s）ⅲ）繪制系統(tǒng)框圖（連接等信號(hào)點(diǎn)） 1/R1R1CsR2U1（s）U2（s）U2（s）I2（s）I1（s）I（s）例題3，RC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖下，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)。i2C1C2R2R1uruci1解：?。┯脧?fù)阻抗法列寫運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，依據(jù)是廣義的歐姆定律AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/927ii）用復(fù)阻抗法列寫復(fù)域方程式如下iii）結(jié)構(gòu)圖如下（分步過程略）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/928①串聯(lián)連接R（s）U（s）C（s）R（s）C（s）G1（s）G2（s）G（s）結(jié)論1：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。

即：G（s）=G1（s）G2（s）…Gn（s）U（s）=G1（s）R（s）

C（s）=G2（s）U（s）即C（s）=G2（s）[G1（s）R（s）]=[G1（s）G2（s）]R（s）故C（s）=G（s）R（s）C（s）=G（s）·R（s）其中G（s）=G1（s）G2（s）3.結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化原則：簡(jiǎn)化前后保持“信號(hào)等效”的原則。⑴結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/929②并聯(lián)連接G1（s）G2（s）G（s）R(s)C1（s）

C2（s）C（s）

C（s）

R(s)C1（s）=G1（s）·R（s）C2（s）=G2（s）·R（s）C（s）=C1（s）±C2（s）C（s）=G（s）·R（s）即C（s）=[G1（s）±G2（s）]R（s）=G（s）·R（s）其中G（s）=G1（s）±G2（s）結(jié)論2：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

即G（s）=G1（s）+G2（s）+…+Gn（s）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/930③反饋連接

R（s）E（s）

C（s）R（s）C（s）

B（s）G（s）H（s）Ф（s）±E（s）=R（s）±B（s）

B（s）=H（s）C（s）

C（s）=G（s）E（s）消去中間變量E（s）、B（s）：C（s）=G（s）[R（s）±H（s）C（s）]G（s）C（s）=R（s）C（s）=Ф（s）·R（s）

1G（s）H（s）±故:

G（s）Ф（s）=————————1G(s）H（s）±AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/931當(dāng)H（s）=1時(shí)系統(tǒng)為單位反饋：

G（s）Ф（s）=————————1G(s）±⑵開環(huán)傳遞函數(shù)：定義：反饋信號(hào)B（s）與誤差信號(hào)E（s）之比?；颍?/p>

前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)之乘積。表示為：B（s）/E（s）=G（s）H（s）其中G（s）為前向通道傳遞函數(shù)；

H（s）為反饋通道傳遞函數(shù)。注意：1）開環(huán)傳遞函數(shù)指的是閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)時(shí)的傳遞函數(shù)，而不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；

2）它與梅遜公式中回路增益的含義不同，因?yàn)樗话答伒臉O性，回路增益則包含反饋的極性。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/932⑶閉環(huán)傳遞函數(shù)（教材P55-56）：G1HG2REX1X2NCBE=R－B由上圖知：X1=G1·

EX2=X1+NC=G2·X2（Ⅰ）消去中間變量E、B、X1

、X2后，得到系統(tǒng)的總輸出為：

G1（s）G2（s）G2（s）C（s）=——————————R（s）+———————————N（s）

1+G1（s）G2（s）H（s）1+G1（s）G2（s）H（s）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/933上式說明：C（s）是R（s）與N（s）共同作用的結(jié)果。討論如下：①R（s）≠0，N（s）=0時(shí)，則有:G1（s）G2（s）C（s）=————————————R（s）

1+G1（s）G2（s）H（s）

C（s）G1（s）G2（s）ф（s）=——=——————————R（s）1+G1（s）G2（s）H（s）輸入信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/934②N（s）≠0，R（s）=0時(shí)，則有

G2（s）C（s）=————————————N（s）

1+G1（s）G2（s）H（s）

C（s）G2（s）Φn（s）=——=——————————N（s）1+G1（s）G2（s）H（s）擾動(dòng)信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。綜上所述，系統(tǒng)的總輸出為：C（s）=Ф（s）R（s）＋Фn（s）N（s）其等效結(jié)構(gòu)圖為：Ф（s）Фn（s）R（s）N（s）C（s）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/935（Ⅱ）消去中間變量C、B、X1

、X2后，得到系統(tǒng)的總誤差為：上式說明：E（s）也是R（s）與N（s）共同作用的結(jié)果。討論如下：①R（s）≠0，N（s）=0時(shí)，則有輸入信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/936②N（s）≠0，R（s）=0時(shí)，則有擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)。綜上所述，系統(tǒng)的總誤差為：E（s）=фe（s）R（s）＋Фen（s）N（s）Фe（s）Фen（s）R（s）N（s）E（s）同樣地，其等效結(jié)構(gòu)圖為：AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/937⑷相加點(diǎn)的移動(dòng)：根據(jù)信號(hào)等效的原則，可以將相加點(diǎn)順著或逆著信號(hào)傳遞的方向移動(dòng)。①前往后移±G（s）X1X2X3±G（s）G（s）X1X2X3（X1±X2）G（s）=X3

X1G（s）±X2G（s）=X3

AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/938±G（s）1/G（s）X1X2X3±G（s）X1X2X3X1G（s）±X2=X3

[X1±X2/G（s）]G（s）=X3

小結(jié)，相加點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則為：

a、從前往后移動(dòng)相加點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)的方框；

b、從后往前移動(dòng)相加點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)之倒數(shù)的方框；

②后往前移AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/939⑸分支點(diǎn)的移動(dòng)：移動(dòng)原則同“⑷相加點(diǎn)的移動(dòng)”。①前往后移G（s）X1X2X1G（s）1/G（S）X1X2X1②后往前移G（s）X1X2X2G（s）G（s）X1X2X2①從前往后移動(dòng)分支點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)之倒數(shù)的方框；②從后往前移動(dòng)分支點(diǎn)時(shí)，要在移動(dòng)支路中串入相同傳遞函數(shù)的方框；

小結(jié)，分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則為：

AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/940－G（S）H（S）R（S）C（S）－H（S）G（S）1/H（S）R（S）C（S）⑹等效單位反饋（非單位反饋單位反饋）：AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/941⑺相鄰相加點(diǎn)之間、相鄰分支點(diǎn)之間可以互相調(diào)換位置。⑻相鄰相加點(diǎn)與分支點(diǎn)之間不可以互相調(diào)換位置，而需要按照“信號(hào)等效原則”進(jìn)行變換。4．結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化例題分析例題1

利用結(jié)構(gòu)圖等效簡(jiǎn)化方法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/942解：在簡(jiǎn)化過程中，可以有多種形式，比如此例：④①②③采用第①種情況簡(jiǎn)化：再簡(jiǎn)化橢圓區(qū)域的局部正反饋，得：AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/943再依次逐步簡(jiǎn)化：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/944解：G4（s）G1（s）G2（s）G3（s）H（s）RC方法1：A移動(dòng)到B①A移動(dòng)到B后，A、B互相調(diào)換位置G4G1G2G3G2H例題2

試?yán)媒Y(jié)構(gòu)圖等效變換原則，簡(jiǎn)化下述結(jié)構(gòu)圖，并求取系統(tǒng)的C（s）/R（s）。ABAutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/945G4+G1G2G3————1+G2G3HG3（G4+G1G2）——————1+G2G3H③系統(tǒng)的C（s）/R（s）方法2：B移動(dòng)到A（略）②局部簡(jiǎn)化AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/946例題3

試?yán)媒Y(jié)構(gòu)圖等效變換原則，簡(jiǎn)化下述結(jié)構(gòu)圖，并求取系統(tǒng)的C（s）/R（s）。G1（s）G2（s）H（s）R（s）C（s）解：（1）同時(shí)將B處相加點(diǎn)前移、C處分支點(diǎn)后移：（2）同時(shí)進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián)ABCG2G1H11/G11/G2AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/947G1G21/G1＋1/G2＋H1（3）系統(tǒng)的C（s）/R（s）G1G2————————1+G1＋G2＋G1G2HC（s）G1(s)G2(s)——=——————————————R（s）1+G1(s)＋G2(s)＋G1(s)G2(s)H(s)例題4

教材P45：例2-11、P46：例2-12。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/948例題5．在保持系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)不變的條件下將圖(a)所示框圖變換成圖(b)、(c)，并求H(s)、G(s)的表達(dá)式。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/949解：(1)、框圖（a）變換為圖（b）的變換過程如下比較圖（b）可得框圖（a）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/950比較圖（c）可得（2）、框圖（a）變換為圖（c）的變換過程如下框圖（a）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/951例題4．求取下述結(jié)構(gòu)圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。

為了求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，先計(jì)算下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：解：方法一AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/952由上圖可得即AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/953故有因此，上述系統(tǒng)可等效為所以，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/954將代入上式，得方法二：信號(hào)流圖法—利用梅遜公式求取(后續(xù)內(nèi)容)該圖有5個(gè)回路，4條前向通路。L1=－G1，L2=G1G2，L3=－G2，L4=－G2G1，L5=－G1G25個(gè)回路分別是AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/9554條前向通路及對(duì)應(yīng)的特征余子式分別為P1=－G1，P2=－G1G2，P3=G2，P4=G2G1Δ1=1，Δ2=1，Δ3=1，Δ4=1特征式為同樣，將G1、G2代入下式可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/956⑵信號(hào)流圖的構(gòu)成①構(gòu)成信號(hào)流圖的基本元素是：節(jié)點(diǎn)和支路

節(jié)點(diǎn)：表示變量或信號(hào)的點(diǎn)。以“o

”表示，并標(biāo)明變量名。支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段。以“→”表示。其中，節(jié)點(diǎn)又分為三種：輸入節(jié)點(diǎn)（源節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。輸出節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)或匯點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。2.7信號(hào)流圖及梅遜公式

1信號(hào)流圖⑴定義：指由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)?；蛑敢环N表示一個(gè)線性代數(shù)方程組的網(wǎng)絡(luò)圖。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/957開通道：通道與任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)只相交一次。閉通道（回環(huán)）：通路的終點(diǎn)回到起點(diǎn)，而通道與任何其它節(jié)點(diǎn)只相交一次?！白原h(huán)”即閉通道的一種特殊情況。前向通道：從源點(diǎn)開始到匯點(diǎn)結(jié)束的開通道。（ⅱ）、傳輸：兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益，即支路增益。通道傳輸：通道中各支路傳輸?shù)某朔e。回環(huán)傳輸（回路增益）：閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。自環(huán)傳輸：自回環(huán)所具有的傳輸。⑶信號(hào)流圖的性質(zhì)（教材P48）（1）~（4）②信號(hào)流圖中常用術(shù)語（?。⑼ǖ溃ㄍ罚簭囊粋€(gè)節(jié)點(diǎn)開始，沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/9582信號(hào)流圖的運(yùn)算⑴加法（并聯(lián)）X1X2abX1X2a+b⑵乘法（串聯(lián)）X1X2X3abX1X3a·b⑶分配法（消去混合節(jié)點(diǎn)）X1X3X4a1a3X2a2X1X4a1·a3

X2a2·a3AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/959X1X2X3a1a2X4a3X1X4a1a2

X2a1a3X1X3X4a1a3X5a4X2a2X1X4a1a3

X5a1a4X2a2a3

a2a4

⑷自回路簡(jiǎn)化x1x2a1a2x1x2a11-a2a1X1+a2X2=X2

AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/960⑸反饋回路簡(jiǎn)化a1a2/(1+a2a3)x1x3x3x1x2a1a2-a3X2=a1X1

－a3X3X3=a2X23信號(hào)流圖的繪制例題1

設(shè)有某線性系統(tǒng)的性能可由下列方程組來描述，試?yán)L制該系統(tǒng)的信號(hào)流圖。⑴代數(shù)方程信號(hào)流圖y2=a12y1+a32y3

y3=a23y2+a43y4y4=a24y2+a34y3+a44y4y5=a25y2+a45y4AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/961解：①畫出節(jié)點(diǎn)（變量）：y1、y2

、y3

、y4

、y5。②分別繪制各方程的信號(hào)流圖。③整理系統(tǒng)信號(hào)流圖。y1y2y3y4y5y5a12a23a34a451a44a43a32a24a25⑵微分方程信號(hào)流圖方法：A).微分方程拉氏變換

s域代數(shù)方程；AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/962B).以s域代數(shù)方程中的每一個(gè)變量為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，各系數(shù)為支路增益，繪制各方程的信號(hào)流圖。C).連接整理系統(tǒng)信號(hào)流圖。⑶結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖方法：A.確定節(jié)點(diǎn)。同信號(hào)點(diǎn)為一個(gè)節(jié)點(diǎn)；

B.確定支路增益。支路中的傳遞函數(shù)為支路增益；

C.注意符號(hào)。負(fù)反饋的負(fù)號(hào)隨支路增益走。

D.連接整理系統(tǒng)信號(hào)流圖。例題2

見下頁。AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/963例題2．已知控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。繪出相應(yīng)的信號(hào)流圖。G1G2G3KR（s）C（s）解：系統(tǒng)信號(hào)流圖為（先確定各個(gè)節(jié)點(diǎn)、支路及其增益）AutomaticControlTheory§2.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2021/5/964例題3試?yán)L制下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。(教材P50例2-13)G2G1G3G4HRC12