2023學(xué)年完整公開課版弧弦圓心角

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書九年級上冊人民教育出版社24.1.3弧、弦、圓心角圓是中心對稱圖形嗎?它的對稱中心在哪里?·一、思考圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.圓的特性：旋轉(zhuǎn)不變性·

圓心角：我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.OBA二、概念

圓心角所對的弧為AB，

過點(diǎn)O作弦AB的垂線,垂足為M,OABM1.有關(guān)概念：頂點(diǎn)在圓心的角,叫圓心角，如,所對的弦為AB；

則垂線段OM的長度,即圓心到弦的距離，叫弦心距,圖1中，OM為AB弦的弦心距。1、判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。①②③④2、下列圖中弦心距做對了的是（）┐┐①②③④

如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A’OB’的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？·OAB探究·OABA′B′A′B′三、猜想與證明如圖，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。猜想：弧AB與弧A`B`，AB與A`B`，OC與OC`之間的關(guān)系，并證明你的猜想。定理

相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。在同圓或等圓中，OABCA'B'C'圓心角所對的弧相等，圓心角所對的弦相等，圓心角所對弦的弦心距相等。推論

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等嗎？題設(shè)結(jié)論在同圓或等圓中(前提)圓心角相等（條件）定理推論OABCA'B'C'推論在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角_____，所對的弦________；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角______，所對的弧_________．這樣，我們就得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．相等相等相等相等同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．四、定理圓心角,弧,弦,弦心距之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏由條件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出拓展與深化在同圓或等圓中,如果輪換下面四組條件:①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距,你能得出什么結(jié)論?與同伴交流你的想法和理由.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′推論在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，OE、OF為AB、CD的弦心距，如果AB＝CD，那么

，

，

；如果OE＝OF，那么

，

，

；如果弧AB＝弧CD，那么

，

，

；如果∵∠AOB＝∠COD，那么

，

，

。下列說法正確嗎？為什么？在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’在⊙O和⊙O’中，∵AB＝A’B’，∴弧AB＝弧A’B’注意前提：在同圓或等圓中OABECDF復(fù)習(xí)回顧OAB下面的說法正確嗎?為什么?如圖,因為，根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系定理可知：

⌒⌒已知：如圖，點(diǎn)P在⊙O上,點(diǎn)O在∠EPF的平分線上，∠EPF的兩邊交⊙O于點(diǎn)A和B。求證：PA=PB.EFABPO基礎(chǔ)練習(xí)已知：如圖，點(diǎn)O在∠EPF的平分線上，⊙O和∠EPF的兩邊分別交于點(diǎn)A，B和C，D。求證：AB＝CDEFOPACBD變式1已知：如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠DPO=∠BPO

。求證：AB＝CDOCDABP變式2已知：如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點(diǎn)P，過P、O的直徑為MN，∠APO=∠CPO

。求證：PB＝PD變式3OCDABPNMOCBDAP3、已知：如圖，PB＝PD.求證：AB=CD

。變式4例1.如圖,在⊙O中,∠ACB=600,求證:∠AOB=∠BOC=∠AOC︵AB︵AC=CBAO證明：∵∴AB=AC,△ABC等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO五、例題例1如圖在⊙O中，

，∠ACB=60°，求證∠AOB=∠BOC=∠AOC.猜想與證明定理

相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。在同圓或等圓中，OABCA'B'C'推論在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏七、思考如圖，已知AB、CD為的兩條弦，，求證AB＝CD.

⌒⌒已知：如圖，AD=BC.求證：AB＝CDOCBDAE1°圓心角1°弧CDn°圓心角n°弧把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1°的角。1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧。圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等。一般地，n°的圓心角對著n°的弧?；〉亩葦?shù)判斷題：在兩個圓中，分別有弧AB和弧CD，若弧AB和弧CD的度數(shù)相等，則有：（1）弧AB和弧CD相等； （ ）（2）弧AB所對的圓心角和弧CD所對的圓心角相等。 （ ）注意：等弧的度數(shù)一定相等，但度數(shù)相等的弧不一定是等?。《x辨析1、已知：在⊙O中，弦AB所對的劣弧為圓的1/3，圓的半徑為2cm。求AB的長。2、已知AB和CD為⊙O的兩條直徑，弦EC//AB,弧EC的度數(shù)為40°，求∠BOD的度數(shù)。OBADCE練習(xí)OCBDAP3、已知：如圖，PB＝PD.求證：AB=CD

。變式4弧、弦、弦心距之間的不等量關(guān)系在同圓或等圓中，是不是弧越長，它所對的弦越長？是不是弦越長，它所對的弧越長？?OABCDEF5、在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等。（）×思維拓展:小林根據(jù)在一個圓中圓心角、弦、弧三個量之間的關(guān)系認(rèn)為在如圖中已知∠AOB=2∠COD,則有=2,AB=2CD,你同意他的說法嗎?︵AB︵CD．ABOCD?OABCDEF已知AB和CD是⊙O的兩條弦，OE和OF分別是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么關(guān)系？為什么？想一想？如圖⊙A與⊙B是兩個等圓,直線CF∥AB,分別交⊙A于點(diǎn)C、D，交⊙B于點(diǎn)E、F。求證：∠CAD=∠EBF?A?BCDEFGH?ABCDMNO如圖M、N為AB、CD的中點(diǎn),且AB=CD.求證：∠AMN＝∠CNMOBACDFE4、已知：如圖，⊙O的兩條半徑OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分點(diǎn)。求證：CD＝AE＝BF。繼續(xù)提高5、已知：如圖，⊙O的兩條直徑AB⊥CD，四條弦AE//FD//CG//HB。求證：E、F、H、G四等分圓周。OBADCFEGH3、如圖，A、B分別為CD和EF的中點(diǎn)，AB分別交CD、EF于點(diǎn)M、N，且AM=BN。求證：CD=EF⌒⌒證：連結(jié)OA、OB，設(shè)分別與CD、EF交于點(diǎn)F、G∵A為CD中點(diǎn)，B為EF中點(diǎn)∴OA⊥CD，OB⊥EF

故∠AFC=∠BGE=90°①

又由OA=OB，∴∠OAB=∠OBA②

且AM=BN③∴△AFM≌△BGN∴AF=BG∴OF=OG∴DC=EF

FG1.如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，______________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE與OF相等嗎？為什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD相等

因為AB=CD

，所以∠AOB=∠COD.

又因為AO=CO，BO=DO，

所以△AOB≌△COD.

又因為OE

、OF是AB與CD對應(yīng)邊上的高，所以O(shè)E=OF.六、練習(xí)2.