彈塑性力學(xué)總結(jié)

彈塑性力學(xué)總結(jié)彈塑性力學(xué)的任務(wù)是分析各種結(jié)構(gòu)物或其構(gòu)件在彈性階段和塑性階段的應(yīng)力和位移，校核它們是否具有所需的強度、剛度和穩(wěn)定性，并尋求或改進它們的計算方法。并且彈塑性力學(xué)是以后有限元分析、解決具體工程問題的理論基礎(chǔ)，這就要求我們掌握其必要的基礎(chǔ)知識和具有一定的計算能力。通過一學(xué)期的彈塑性力學(xué)的學(xué)習(xí)，對其內(nèi)容總結(jié)如下：一、彈性力學(xué)1、彈性力學(xué)的基本假定求解一個彈性力學(xué)問題，通常是已知物體的幾何形狀（即已知物體的邊界），彈性常數(shù)，物體所受的外力，物體邊界上所受的面力，以及邊界上所受的約束；需要求解的是物體內(nèi)部的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量與位移分量。求解問題的方法是通過研究物體內(nèi)部各點的應(yīng)力與外力所滿足的靜力平衡關(guān)系，位移與應(yīng)變的幾何學(xué)關(guān)系以及應(yīng)力與應(yīng)變的物理學(xué)關(guān)系，建立一系列的方程組；再建立物體表面上給定面力的邊界以及給定位移約束的邊界上所給定的邊界條件；最后化為求解一組偏分方程的邊值問題。在導(dǎo)出方程時，如果考慮所有各方面的因素，則導(dǎo)出的方程非常復(fù)雜，實際上不可能求解。因此，通常必須按照研究對象的性質(zhì)，聯(lián)系求解問題的范圍，做出若干基本假定，從而略去一些暫不考慮的因素，使得方程的求解成為可能。（1）假設(shè)物體是連續(xù)的。就是說物體整個體積內(nèi)，都被組成這種物體的物質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，例如：應(yīng)力、應(yīng)變位移等，才可以用坐標的連續(xù)函數(shù)表示。（2）假設(shè)物體是線彈性的。就是說當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后物體能夠完全恢復(fù)原來形狀，不留任何殘余變形。而且，材料服從虎克定律應(yīng)力與應(yīng)變成正比。（3）假設(shè)物體是均勻的。就是說整個物體是由同一種質(zhì)地均勻的材料組成的。這樣，整個物體的所有部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性模量和泊松比才不隨位置坐標而變。（4）假設(shè)物體是各向同性的。也就是物體內(nèi)每一點各個不同方向的物理性質(zhì)和機械性質(zhì)都是相同的。（5）假設(shè)物體的變形是微小的。即物體受力以后，整個物體所有各點的位移都小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1。這樣，在考慮物

體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸代替變形后尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積都可以略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。2、外力和應(yīng)力的概念作用于彈性體的外力可以分為體（積）力和（表）面力。體力是分布在彈性體體積內(nèi)質(zhì)量上的力，例如重力和慣性力、磁力等。在物體內(nèi)任一點的體力，用作用于其上的單位體積的體力沿坐標軸上的投影X、Y、Z來表示。它們的指向以沿坐標軸正方向為正；反之為負。這三個投影稱為該點的體力分量。面力是指作用于彈性體表面上的外力，例如流體壓力和接觸力等。可以是分布力，也可以是集中力。在彈性表面上任一點的面力，用作用于其上的單位面積上面力沿坐標軸上的投影X、Y、Z來表示。它們的指向也以沿坐標軸正方向的為正，反之為負。這三個投影稱為該點的面力分量。彈性體在外力作用下變形，而在彈性體內(nèi)部為了阻止其變形就產(chǎn)生了內(nèi)力來平衡外力。作用在單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。3、 一點的應(yīng)力狀態(tài)為了研究彈性體內(nèi)任一點P的應(yīng)力，就在這一點設(shè)想從彈性體中取出一個微分體（無限小的平行六面體）如下圖1：BzBz圖1微小平行六面體的應(yīng)力狀態(tài)如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面就稱為一個正面，而這個面上的應(yīng)力分量就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面就稱為一個負面，而這個面上的應(yīng)力分量就以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。圖上所示的應(yīng)力分量全部都是正的。注意，雖然上述正負號

規(guī)定對于正應(yīng)力說來，結(jié)果是和材料力學(xué)中的規(guī)定相同(拉應(yīng)力為正而壓應(yīng)力為負)，但是，對于剪應(yīng)力說來，結(jié)果卻和材料力學(xué)中的規(guī)定不完全相同剪應(yīng)力的互等關(guān)系：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力，是互等的(大小相等，正負號也相同)。T=T,T=T,T=T (1)yzzyzxxzxyyx4、斜截面應(yīng)力公式,物體表面給定力的邊界條件現(xiàn)在，假定物體在任一點P的六個應(yīng)力分量a、◎、◎、T、T、T為已xyzyzzxxy知，試求經(jīng)過P點的任一斜面上的應(yīng)力。為此，在P點附近取一個平面ABC,平行于這一斜面，并與經(jīng)過P點而平行于坐標面的三個平面形成一個微小的2）設(shè)斜面ABC的向外法線為N，而N的方向余弦為：l=cos(n,x)m=cos(n,y)n=cos(n,z)2）由平衡條件工F=0、工F=0及工F=0可得出與上式相似的兩個方程。XYZ簡化后三個方程為：X=la+mT+nTTOC\o"1-5"\h\zN x yx zxY=ma+nT+It （3）N y zy xyZ=na+It+mTNzxzyz設(shè)三角形ABC上的正應(yīng)力為a，則由投影可得：Na=12a+m2a+n2a+ImrT+2nlT+2lmT （4）N x y z yz zx xy設(shè)三角形ABC上的剪應(yīng)力為t，則由于：N

S2=O2+T2=X2+Y2+Z2 (5)NNNNNN而有：T2=X2+Y2+Z2—O2 (6)NNNNN由公式(4)和(5)可見，在物體的任意一點，如果已知六個應(yīng)力分量O、O、O、T、T、T，就可以求得任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。因此，xyzyzzxxy可以說，六個應(yīng)力分量完全決定了一點的應(yīng)力狀態(tài)。在特殊情況下，如果ABC是物體的邊界面，則X、Y、Z成為面力分NNN量X、Y、Z,于是由公式(3)得出：lo+mT +nT=Xx yx zxmo+nT+lT=Y(7)y zy xyno+lT+mT=Zz xz yz這就是彈性體的應(yīng)力邊界條件，它表明應(yīng)力分量的邊界值與面力分量之間的關(guān)系。5、 應(yīng)力分量的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系若物體處在某一確定的應(yīng)力狀態(tài)，在某一組坐標系中，這個應(yīng)力狀態(tài)可以用六個應(yīng)力分量O表示，在另一組坐標系中，同一個應(yīng)力狀態(tài)卻以另外一ij組不同的應(yīng)力分量O表示。兩組應(yīng)力分量之間應(yīng)力滿足一定的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)kl系。在物體上任一點處，第一組坐標系的坐標軸為X、Y、Z，第二組坐標系OTTIIOTTIIlmI111213I11ITI21oT23I=IIlI2m222TTOlm31323333nI1TTOIIn33132331nIIottIIlII 11 12 13 II 1nTOTmII 21 22 23 II1lI3Imm2 3Inn238)的坐標軸為X',Y',Z'，它們之間的夾角方向余弦見表。坐標軸XYZX'￡mnY'I?mnZ'mn兩組不同坐標系中的應(yīng)力分量滿足以下關(guān)系：上式也可以表示成抽象的矩陣乘式:(9)klkiijjl例如：若第一組坐標系為直角坐標系(x、y、z),第二組坐標系為圓柱坐標系(廠、0、z)，可知兩組坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

sin0

cos00cos0sin0

cos00卩ki-sin0卩ki06、主應(yīng)力、應(yīng)力主方向、主剪應(yīng)力若經(jīng)過物體中一點P處的某一斜面上的剪應(yīng)力等于零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為P點的一個主應(yīng)力，該斜面稱為P點的一個主應(yīng)力面，而該斜面的垂線方向稱為P點的一個主應(yīng)力方向?？梢宰C明，在彈性體的任一點，一定存在三個相互垂直的主應(yīng)力面及和它們對應(yīng)的三個主應(yīng)力，通常用C、Q、Q。而且，任何一個斜面上的正應(yīng)力123都不會大于三個主應(yīng)力中最大的一個，也不會小于三個主應(yīng)力中最小的一個主應(yīng)力與主方向可以用以下的方法求得：假設(shè)N是P點應(yīng)力狀態(tài)C的一個主方向，N與原始坐標系x、y、z的夾角ij方向余弦為1、m、n，它們間總滿足：TOC\o"1-5"\h\z12+m2+n2=1 （11）在垂直于N的截面上只有正應(yīng)力c（某個主應(yīng)力）作用，則由柯西公式知：1c+mt+nt=1cxyx zxmc+nt+1t=mc（12）y zy xync+1t+mt=nczxz yz上式中1、m、n為待求的方向余弦，將上式移項可以得到求解的齊次線性方程組：13)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1G-c)+m+n=0x zx13)1t +m- nr =0xy y zy1t +mt +nmj-j)=0xzyz z方程（13）零解的條件是其系數(shù)行列式值為零，即：G-c)xG-c)xtxytxztmjyx-jytyztzxtG-c)z=c3-Ic2+Ic-I=012314)式（14）稱為該應(yīng)力狀態(tài)的特征方程式，它是一個三次代數(shù)方程，可以證明它有三個實根，稱為特征根，就是應(yīng)力狀態(tài)C所對應(yīng)的主應(yīng)力?？梢宰Cij明，特征方程（14）式的系數(shù)I，I，I是只與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，與所選擇的原始123坐標系無關(guān)的量，分別稱為該應(yīng)力狀態(tài)的第一、第二、第三不變量。即I=c+c+c（15）1xyz

QTQTQTQTQT2=xyx+yzy+xzxTQTQTQxyyyzzxzzQ T Tx yx zxT Q Txy y zyT T Qxz yz z17)7、疊加原理與圣維南原理在解決一個彈性力學(xué)問題時，我們常常利用疊加原理來有效地處理各種復(fù)雜載荷作用的情況。疊加原理是：考慮同一物體受兩組載荷作用，第一組為體力廣C=1,2,3）和面力F.（i = 1,2,3）；第二組為體力f”C= 1,2,3）和面力F'. （i =1,2,3），它們引起的應(yīng)力和i i i全移場分別為q'和u'以及q”和u'' （i, j=1,2,3）。如果物體處于線彈性、小變形ij i ij i狀態(tài)，兩組載荷同時作用時物體內(nèi)的應(yīng)力和位移場等于它們單獨作用時相應(yīng)的應(yīng)力與位移場之和。彈性理論要求在物體的每個邊界點上都給定邊界條件。實際工程問題卻往往只知道總的載荷量，只能提出等效的近似邊界條件，給不出詳細的載荷分布規(guī)律。另外，解題時往往難于滿足逐點給定的精確邊界條件，因而也希望能找到一種邊界條件的簡化方案。圣維南原理指出:由作用在物體局部表面上的自平衡力系（即合力與合力矩為零的力系），所引起的應(yīng)變，在遠離作用區(qū)（距離遠大于該局部作用區(qū)的線性尺寸）的地方可以忽略不計。圣維南原理的另一種提法是:若把作用在物體局部表面上的外力，用另一組與它靜力等效的力系來代替。則這種等效處理對物體內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的影響將隨遠離作用區(qū)的距離增加而迅速衰減。顯然，上述兩種提法是完全等效的。8、 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力：只在平面內(nèi)有應(yīng)力，與該面垂直方向的應(yīng)力可忽略，例如薄板拉壓問題。平面應(yīng)變：只在平面內(nèi)有應(yīng)變，與該面垂直方向的應(yīng)變可忽略，例如水壩側(cè)向水壓問題。具體說來：平面應(yīng)力是指所有的應(yīng)力都在一個平面內(nèi)，如果平面是oxy平面，那么只有正應(yīng)力Q、Q和剪應(yīng)力T（它們都在一個平面內(nèi)），沒有xy xyQ、T、T。zyzzx平面應(yīng)變是指所有的應(yīng)變都在一個平面內(nèi)，同樣如果平面是oxy平面，則只有正應(yīng)變&、匕和剪應(yīng)變丫，而沒有￡、丫、丫。xy xy zyzzx舉例說來：平面應(yīng)變問題比如壓力管道、水壩等,這類彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體,橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。平面應(yīng)力問題討論的彈性體為薄板，薄壁厚度遠遠小于結(jié)構(gòu)另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面面內(nèi)，并沿厚度方向不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。9、彈性力學(xué)的基本方法在彈性力學(xué)里求解問題，主要有三種基本方法，分別是按位移求解、按應(yīng)力求解和混合求解。按位移求解時，以位移分量為基本未知函數(shù)，根據(jù)基本方程和邊界條件求出位移分量，從而求出其他分量。按應(yīng)力求解一般有逆解法和半逆解法。所謂逆解法，就是先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)申,從而求出應(yīng)力分量。然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來考察，在各種形狀的彈性體上，這些應(yīng)力分量對應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。所謂半逆解法，就是針對所要解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應(yīng)力函數(shù)申，然后來考察這個應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程以及原來假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個應(yīng)力函數(shù)求出其他應(yīng)力分量，是否滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件。相容方程：上+QG）=0 （21）、Qx2dy2丿xy二、塑性力學(xué)1、 塑性力學(xué)的基本假設(shè)當作用在物體上的外力取消后，物體的變形不完全恢復(fù)，而產(chǎn)生一部分永久變形時，這中變形為塑性變形。在實驗的基礎(chǔ)上，塑性力學(xué)一般采用以下假設(shè)：（1） 材料是連續(xù)的，均勻的。（2） 平均正應(yīng)力（靜水壓力）不影響屈服條件和加載條件。（3） 體積的變化是彈性的。（4） 不考慮時間因素對材料性質(zhì)的影響。2、 變形體的模型對于不同的材料，不同的應(yīng)用領(lǐng)域，我們可以采用不同的變形體的模型

這種模型必須符合材料的實際性質(zhì)。不同的材料有不同的拉伸曲線，但它們具有一些共同性質(zhì)。其拉伸曲線圖如圖3。如按上面曲線來解決具體問題將異常復(fù)雜，因此將其簡化，具體見圖4。ss剛塑性材料剛塑性線性強化材料冪強化材料（o=A￡n）ss剛塑性材料剛塑性線性強化材料冪強化材料（o=A￡n）圖4常用的應(yīng)力應(yīng)變曲線3、屈服條件對于處于單向拉伸（或壓縮）的物體，當應(yīng)力達到屈服極限時，材料開始進入塑性狀態(tài)，對于處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的物體，由彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)的臨界條件稱為屈服條件。在應(yīng)力空間將初始屈服的應(yīng)力點連成的彈性和塑性的分界面稱為屈服面。描述屈服面的數(shù)學(xué)表達式稱為屈服函數(shù)。常用的各向同性金屬材料的屈服試驗表明，屈服應(yīng)力數(shù)據(jù)點介于屈雷斯卡（Tresca）屈服條件和密賽斯（Mises）屈服條件之間，而更接近于密賽斯屈服條件。1）、屈雷斯卡屈服條件（最大切應(yīng)力條件）

屈雷斯卡屈服條件為：當最大切應(yīng)力達到某一極限值時，材料開始進入塑性狀態(tài)，即b_b=b_b=b，b>b>b1 3s 1 2在主應(yīng)力空間，當差值I材料進入塑料性狀態(tài)，即"2_^j“

b_b<b1 3 1b1_b2I<b3b_o112（22）|中任意一個達到2k時,23)因此用屈雷斯卡條件表示的屈服面為由下列六個平面組成