逆命題與逆定理線段垂直平分線

19.4逆命題與逆定理4.線段垂直平分線線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?回顧思考已知:如圖,AC=BC,MN⊥AB于點(diǎn)C,P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.ACBPMN老師期望:你能說(shuō)出規(guī)范的證明過(guò)程嗎?證明:因?yàn)镸N⊥AB(已知)

所以∠PCA=PCB=90°(垂直的定義)

在⊿PCA和⊿PCB中,因?yàn)?/p>

AC=BC,(已知)∠PCA=PCB,(已證)PC=PC,(公共邊)

所以△PCA≌△PCB(SAS)

因此PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).ACBPMN于是就有定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

過(guò)程再現(xiàn)過(guò)程再現(xiàn)

基礎(chǔ)闖關(guān)如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上的一點(diǎn),如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=

0.EDABC760′反過(guò)來(lái):

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上嗎?ABP已知:如圖,PA=PB.求證:點(diǎn)P在AB的垂直平分線上..思考分析?定理:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.ACBPMN如圖,∵PA=PB(已知),∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.NABPMPA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

已知:如圖,在ΔABC中,AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，那么點(diǎn)O在AC的中垂線嗎？為什么？BACMNEFO·開(kāi)啟智慧這點(diǎn)o是三角形的

心外從這里我們可以看到,要想證明三角形三條垂直平分線交于一點(diǎn),只需證明其中的兩條垂直平分線的交點(diǎn)一定在第三條垂直平分線上就可以了.練習(xí)1．如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB．提示：連結(jié)AB,作AB的垂直平分線，交直線L于P,點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。2．如圖，已知AE＝CE，BD⊥AC．求證：AB＋CD＝AD＋BC．證明：∵AE＝CE，BD⊥AC∴BA=BCDA=DC(線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)∴BA+DA=BC+DC

3．如圖，在△ABC上，已知點(diǎn)D在BC上，且BD＋AD＝BC．求證：點(diǎn)D在AC的垂直平分線上．證明：∵BD＋AD＝BC∴AD=BC-BD=CD∴點(diǎn)D在AC的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上)·

楚州區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。ABC生活中的數(shù)學(xué)角的平分線ODEABPC定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)