大學數(shù)學微積分教學與建模應用略析

大學數(shù)學微積分教學與建模應用略析數(shù)學教學中一向有建模的思路，中學訓練中同學也接受過隱性的數(shù)學建模訓練，因而同學進入高校之后也就有了基礎的數(shù)學建模閱歷與力量.但由于很少經(jīng)過系統(tǒng)的訓練，因而同學對數(shù)學建模及其應用又缺乏必要的理論熟悉，進而不能將數(shù)學建模轉(zhuǎn)換成有效的學習力量.而在微積分教學中假如能夠?qū)?shù)學建模運用到好處，則同學的建構(gòu)過程則會順當?shù)枚?本文試對此進行論述.

一、數(shù)學建模的學習價值再述

從同學的視角縱觀同學接受的教學，可以發(fā)覺現(xiàn)在的高校生所經(jīng)受的教學往往更多地將討論重心放在教學方式上，基礎訓練階段經(jīng)受過的自主合作探究的教學方式，成為當前高校生的主流學習方式.這種重心置于教學方式的教學思路，會肯定程度上掩蓋傳統(tǒng)且優(yōu)秀的教學思想，不幸的是，數(shù)學建模就是其中之一.高校數(shù)學教學中，數(shù)學建模理應彰顯出更充分的顯性價值.現(xiàn)以微積分教學為例進行分析.

高校數(shù)學教學中，微積分學問具有分析、解決實際問題的作用，其學問的建構(gòu)也能培育同學的應用數(shù)學并以數(shù)學眼光看待事物的意識與力量，而這些教學目標的達成，離不開數(shù)學建模.比如說作為建構(gòu)微積分概念的重要基礎，導數(shù)很重要，而對于導數(shù)概念的構(gòu)建而言，極值的教學又極為重要，而極值本身就與數(shù)學建模親密相關.極值在微積分教學中經(jīng)常以這樣的數(shù)學形式消失：設y=f（x）在x0處有導數(shù)存在，且f′（x）=0，則x=x0稱為y=f（x）的駐點.又假如有f″（x0）存在，且有f’（x）=0，f″（x）≠0，則可以得出以下兩個結(jié)論：假如f″（x）0，則f（x0）是其極大值；若f″（x0）0，則f（x0）是其微小值.在純粹的數(shù)學習題中，同學在解決極值問題的時候，往往可以依據(jù)以上思路來完成，但在實際問題中，這樣的簡潔情形是很難消失的，這個時候就需要借助一些條件來求極值，而在此過程中，數(shù)學建模就起著重要的作用.譬如有這樣的一個實際問題：為什么看起來體積相同的移動硬盤會有不同的容量？給定一塊硬盤，又如何使其容量最大？事實證明，即使是高校生，在面對這個問題時也往往束手無策.依據(jù)筆者調(diào)查討論，發(fā)覺同學在初次面對這個問題的時候，往往都是從表面現(xiàn)象入手的，他們真的將思維的重點放在移動硬盤的體積上.明顯，這是一種缺乏建模意識的表現(xiàn).

反之，假如同學能夠洞察移動硬盤的容量形成機制（這是數(shù)學建模的基礎，是透過現(xiàn)象看本質(zhì)的關鍵性步驟），知道硬盤的容量取決于磁道與扇區(qū)，而磁道的疏密又與磁道間的距離（簡稱磁道寬度）有關，有效的磁道及寬度是一個硬盤容量的重要打算因素.那就可以以之建立一個極限模型，來推斷出硬盤容量最大值.從這樣的例子可以看出，數(shù)學建模的意識存在與否，就打算了一個問題解決層次的凹凸，也反映出一名同學的真正的數(shù)學素養(yǎng).因而從教學的角度來看，數(shù)學建模在于引導同學抓住事物的關鍵，并以關鍵因素及其之間的聯(lián)系來構(gòu)建數(shù)學模型，從而完成問題的分析與求解.筆者以為，這就是包括數(shù)學建模在內(nèi)的教學理論對同學的巨大教學價值.

事實上，數(shù)學建模原本就是高校數(shù)學訓練的傳統(tǒng)思路，全國性的高校生數(shù)學建模競賽近年來也有快速進展，李大潛院士更是提出了“把數(shù)學建模的思想和方法融入高校主干數(shù)學課程教學中去”的口號，這說明從教學的層面，數(shù)學建模的價值是得到認可與執(zhí)行的.作為一線數(shù)學老師，更多的是通過自身的有效實踐，總結(jié)出行之有效的實踐方法，以讓數(shù)學建模不僅僅是一個漂亮的概念，還是一條能夠促進高校數(shù)學教學健康進展的光明大道.

二、微積分教學建模應用例析

高校數(shù)學中，微積分這一部分的內(nèi)容特別廣泛，從最基本的極限概念，到簡單的定積分與不定積分，再到多元函數(shù)微積分、二重積分、微分方程與差分方程等，每一個內(nèi)容都極為簡單抽象.從同學完整建構(gòu)的角度來看，沒有一個或多個堅實的模型支撐，同學是很難完成這么多內(nèi)容的學習的.而依據(jù)筆者的實踐，基于數(shù)學建模來促進相關學問的有效教學，是可行的.

先分析上面的極限例子.這是同學學習微積分的基礎，也是數(shù)學建模初次的顯性應用，在筆者看來該例子的分析具有重要的奠基性作用，也是一次重要的關于數(shù)學建模的啟蒙.在實際教學過程中，筆者引導同學先建立這樣的熟悉：

首先，全面梳理計算機硬盤的容量機制，建立實際熟悉.通過資料查詢與梳理，同學得出的有效信息是：磁盤是一個繞軸轉(zhuǎn)動的金屬盤；磁道是以轉(zhuǎn)軸為圓心的同心圓軌道；扇區(qū)是以圓心角為單位的扇形區(qū)域.磁道間的距離打算了磁盤容量的大小，但由于辨別率的限制，磁道之間的距離又不是越小越好.同時，一個磁道上的比特數(shù)也與磁盤容量親密相關，比特數(shù)就是一個磁道上被確定為1B的數(shù)目.由于計算的需要，一個扇區(qū)內(nèi)每一個磁道的比特數(shù)必需是相同的（這意味著離圓心越遠的磁道，鋪張越多）.最終，打算磁盤容量的就是磁道寬度與每個磁道上的比特數(shù).

其次，將實物轉(zhuǎn)換為數(shù)學模型.明顯，這個數(shù)學模型應當是一個圓，而磁盤容量與磁道及一個磁道的容量關系為：磁盤容量=磁道容量×磁道數(shù).假如磁盤上可以有效磁化的半徑范圍為r至R，磁道密度為a，則可磁化磁道數(shù)目則為R-ra.由于越靠近圓心，磁道越短，因此最內(nèi)一條磁道的容量打算了整體容量，設每1B所占的`弧長不小于b，于是就可以得到一個關于磁盤容量的公式：B（r）=R-ra2πrb.

于是，磁盤容量問題就變成了求B（r）的極大值問題.這里可以對B（r）進行求導，最終可以發(fā)覺當從半徑為R2處開頭讀寫時，磁盤有最大容量.

而在其后的反思中同學會提出問題：為什么不是把整個磁盤寫滿而獲得最大容量的？這個問題的提出實際上既反映了這部分同學沒有完全理解剛才的建模過程，反過來又是一個深化理解本題數(shù)學模型的過程.反思第一步中的分析可以發(fā)覺，假如選擇靠近圓心的磁道作為第一道磁道，那么由于該磁道太短，而使得一個圓周無法寫出太多的1B弧長（比特數(shù)），進而影響了同一扇區(qū)內(nèi)較長磁道的利用；反之，假如第一磁道距離圓心太遠，又不利于更多磁道的利用.而本題極值的意義恰恰就在于磁道數(shù)與每磁道比特數(shù)的積的最大值.通過這種數(shù)學模型的建立與反思，同學往往可以有效地生成模型意識，而通過求導來求極值的數(shù)學力量，也會在此過程中悄然形成.

又如，在當前比較熱門的房貸問題中，也運用到微積分的相關學問，更用到數(shù)學建模的思想.眾所周知，房貸還息有兩種方式：一是等額本金，一是等額本息.依據(jù)這兩種還款方式的不同，設某人貸款額為A，利息為m，還款月數(shù)為n，月還款額為x.依據(jù)還款要求，兩種方式可以分別生成這樣的數(shù)學模型：

x1=Am（1+m）n（1+m）n-1，

x2=Amemnemn-1.

明顯，可以通過微積分的相關學問對兩式求解并比較出x1和x2的大小，從而推斷哪種還款方式更為合理.在這個例子當中，同學思維的關鍵點在于對兩種還款方式進行數(shù)學角度的分析，即將還款的相關因子整合到一個數(shù)學式子當中去，然后求解.實際上本題還可以進一步升級，即通過考慮貸款利率與理財利率，甚至CPI，來考慮貸款基數(shù)與利差關系，以求最大收益.這樣可以讓實際問題變得更為簡單，所建立的數(shù)學模型與所列出的收益公式自然也就更為簡單，但同樣能夠培育同學的數(shù)學建模力量.限于篇幅，此不贅述.

三、高校數(shù)學建模的教學淺思

在實際教學中筆者發(fā)覺，高校數(shù)學教學中，數(shù)學建模有兩步必走：

一是數(shù)學建模本身的模式化過程.依托詳細的教學內(nèi)容，將數(shù)學建模作為教學重點，必需遵循這樣的四個步驟：合理分析；建立模型；分析模型；解釋驗證.其中合理分析是對實際事物的建模要素的提取，所謂合理，即是要從數(shù)學規(guī)律的角度分析討論對象中存在的規(guī)律聯(lián)系，所謂分析即將無關因素去除；建立模型實際上是一個數(shù)學抽象的過程，將實際事物對象抽象成數(shù)學對象，用數(shù)學模型去描述實際事物，將實際問題中的已知與未知關系轉(zhuǎn)換成數(shù)學上的已知條件與待求問題；在此基礎上利用數(shù)學學問去求解；解釋驗證更多的是依據(jù)結(jié)果來推斷模型的合理程度.通常狀況下，課堂上同學建立的模型有老師的推斷作楸Ｖぃ因而合理程度較高，而假如讓同學在課后采集現(xiàn)實問題并利用數(shù)學建模的思路去求解，則往往受建立模型過程中考慮因素是否全面，以及數(shù)學工具的運用是否合理等因素影響，極有可能消失數(shù)學模型不夠精確的情形.這個時候，解釋驗證就是極為重要的一個步驟，而假如模型不恰當，則需要重走這四個步驟，于是數(shù)學模型的建立就成為一個類似于課題討論的過程，這對于高校生的數(shù)學學習來說，也是一個必需的過程.

二是必需基于詳細學問去引導同學理解數(shù)學建模.數(shù)學建模作為一種數(shù)學思想，只有與詳細實例結(jié)合起來才有其生命力.在微積分教學中之所