復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用

復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班數(shù)學(xué)是一門很抽象的學(xué)科，而復(fù)變函數(shù)更是如此，如果直接想象很難和實際聯(lián)系起來。

經(jīng)過兩年的大學(xué)學(xué)習(xí)就目前學(xué)習(xí)的知識而言，感覺和復(fù)變函數(shù)聯(lián)系比較緊密的是有兩方面，一是電流方面；二是在信號方面。

我們?nèi)粘Ｖ械碾娏鞫际墙涣魅嗟?，而相位如果通過三角函數(shù)計算的話較為復(fù)雜和抽象，很多工程問題無法解決，引入虛數(shù)則較大簡化了計算的過程，是很多工程問題迎刃而解。可以通過RCL電路我們也用虛數(shù)去處理相角關(guān)系，但電感本身并不是虛的。這是人為的定義，但這也在一定意義上揭示了虛數(shù)有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解決了電流的相位問題。

我們打電話，發(fā)短信是通過電磁波傳遞信號，在信號方面也極大的應(yīng)用了復(fù)變函數(shù)。信號分析和其他領(lǐng)域使用復(fù)數(shù)可以方便的表示周期信號。模值|z|表示信號的幅度，輻角arg(z）表示給定頻率的正弦波的相位。利用傅立葉變換可將實信號表示成一系列周期函數(shù)的和。這些周期函數(shù)通常用形式如下的復(fù)函數(shù)的實部表示：其中ω對應(yīng)角頻率，復(fù)數(shù)z包含了幅度和相位的信息。于是當(dāng)我們要的信息得以傳遞。

所以，不管是我們使用家用電器，用手機(jī)問候遠(yuǎn)方的朋友，還是使用衛(wèi)星電視觀看電視劇，我們無時無刻不在接觸著這位很抽象而無處不在的朋友——復(fù)變函數(shù)。一、復(fù)變函數(shù)的簡介

復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況,它的一般形式是：，其中是虛數(shù)單位。

多復(fù)分析是數(shù)學(xué)中研究多個復(fù)變量的全純函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的分支學(xué)科，它和單復(fù)變函數(shù)有著很強(qiáng)的淵源，但其特有的困難和復(fù)雜性，導(dǎo)致在研究的重點和方法上，都和單復(fù)變函數(shù)論有明顯的區(qū)別.因為多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)的性質(zhì)在很大程度上由定義區(qū)域的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)所制約，因此，其研究的重點經(jīng)歷了一個由局部性質(zhì)到整體性質(zhì)的逐步的轉(zhuǎn)移.它廣泛地使用著微分幾何學(xué)、代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程等相鄰學(xué)科中的概念和方法，不斷地開辟前進(jìn)的道路，更新和拓展研究的內(nèi)容和領(lǐng)域。

就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué).當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國的Laplace也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū).。二、復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用

近代有些函數(shù)論研究工作是考慮把具有某種性質(zhì)的一族函數(shù)合在一起研究。事實上，P·蒙泰爾的解析函數(shù)正規(guī)族就應(yīng)屬于這種類型的研究，并且顯示了其威力.從這種觀點出發(fā)的研究有了很大發(fā)展.它與其他數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生了較密切的聯(lián)系.

復(fù)變函數(shù)理論從一個變數(shù)推廣到多個變數(shù)是十分自然的想法，總稱為復(fù)分析.但是多變數(shù)時，定義域的復(fù)雜性大大增加了，函數(shù)的性質(zhì)較之單變數(shù)時也有顯著的差異，它的研究需要借助更多的近代數(shù)學(xué)工具.。

從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有了150年的歷史.它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個重要組成部分.它曾經(jīng)推動過一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應(yīng)用在實際問題中.它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程.復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。物理學(xué)中的流體力學(xué)，穩(wěn)定平面長，航空力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論.復(fù)變函數(shù)論已經(jīng)深入到微積分方程，數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響.現(xiàn)如今.復(fù)變函數(shù)論中仍有不少尚待研究的課題，它將在更多數(shù)學(xué)家們的不懈努力下，繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用.比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機(jī)的時候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn).

復(fù)變函數(shù)理論以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個非常重要組成部分.它推動了許多學(xué)科的發(fā)展，在解決某些實際問題中也是強(qiáng)有力的工具，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復(fù)變函數(shù)理論推動了許多學(xué)科的發(fā)展，在解決某些實際問題中也是強(qiáng)有力的工具，復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)，彈性理論中的平面問題的有力工具。而自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展有極大的推動了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展，豐富了它的內(nèi)容。復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。

復(fù)變函數(shù)在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，其涵蓋面極廣，甚至可以用來解決一些復(fù)雜的計算問題。復(fù)變函數(shù)可以應(yīng)用在地理信息系統(tǒng)中，因為GIS對復(fù)雜函數(shù)的計算要求以及空間函數(shù)的分析，復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用也滲透到了這個領(lǐng)域，它對復(fù)雜函數(shù)的計算能力使得在GIS上的應(yīng)用也不可或缺。

GIS的操作對象是空間數(shù)據(jù)和屬性數(shù)據(jù)，即點線，面，體這類有三維要素的地理實體。空間數(shù)據(jù)的最根本特點是每一個數(shù)據(jù)都按統(tǒng)一的地理坐標(biāo)進(jìn)行編碼，實現(xiàn)對其定位，定性和定量的描述，這是其技術(shù)難點之所在。而復(fù)變函數(shù)中的黎曼曲面理論就是用來解決這種問題的。復(fù)變函數(shù)研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多

層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面，利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)作為最豐饒的數(shù)學(xué)學(xué)科的分支，復(fù)變函數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用尤為可見。特別是在解析函數(shù)的微分理論，積分理論等方面的應(yīng)用，而在這些方面，它與一個實際的電路是一一對應(yīng)的關(guān)系，是為我們求解響應(yīng)與激勵的關(guān)系服務(wù)的，這也就是它的基礎(chǔ)應(yīng)用。

針對連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的時域分析，相對應(yīng)的有三個變換域或傅立葉變換，拉普拉斯變換和Z變換。變換域是信號與系統(tǒng)的核心內(nèi)容，也是比較難的一部分，原因是變換域的分析方法涉及到工程數(shù)學(xué)的知識很多，如果沒有扎實的基礎(chǔ)，學(xué)起來就有一定的難度。

復(fù)變函數(shù)中還有很多知識點都可以對應(yīng)到電路中，這可以使我們在求解電路問題時，使問題變得簡單化。例如：積分變換可以把微分方程變換成初等方程，這樣就可以使求解方便得多，減少大量的計算，使復(fù)雜的問題簡單化。另外在求線性系統(tǒng)的響應(yīng)時，用積分變換也是十分方便的，因為用積分變換不需要考慮初始狀態(tài)，直接運用積分變換來求解就可以了，減少了很多思考的過程，加快速度。起到了重要的作用。

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數(shù)學(xué)中繞流問題的復(fù)變函數(shù)方法

我們總是使用共形映射的方法研究一般剖面的繞流問題，特別是機(jī)翼剖面繞流問題，我們只要求出平面穩(wěn)定繞流的復(fù)勢，便可導(dǎo)出此繞流的速度分布，而要求出一般剖面繞流的復(fù)勢，通常先計算対圓柱剖面繞流的的復(fù)勢，然后再求一般剖面繞流區(qū)域到圓柱剖面外部區(qū)域的共形映射，把上述兩個函數(shù)復(fù)合起來，便可得到對一般剖面環(huán)流的復(fù)勢，這就是研究任意剖面繞流問題的基本方法。

此外，我們還介紹機(jī)翼剖面外部共形映射到圓柱剖面外部的函數(shù)的近似計算方法以及具有自由邊界的一般剖面繞流問題的處理方法。

我了解到了滲流問題中的復(fù)變函數(shù)方法，所謂滲流就是流體（液體、氣體、含氣液體）在多孔介質(zhì)里的流動。我們主要討論不可壓縮的液體如水與石油在各向同性勻質(zhì)的土壤”中作平面穩(wěn)定滲流的情形或作軸對稱穩(wěn)定滲流的情形。下面先把上述一些滲流問題化為復(fù)變函數(shù)的問題，然后使用共形映射與邊值問題等方法來處理這些復(fù)變問題。

一般彈性理論基本問題在解法上是比較復(fù)雜的，因此，常常較多地研究一些特殊的情形，其中最重要的一類就是所謂“平面彈性理論”或叫“彈性理論的平面問題”。我們將導(dǎo)出平面彈性理論的基本方程及其通解的復(fù)變函數(shù)表示式，然