復(fù)變函數(shù)與積分變換自測(cè)題

復(fù)變函數(shù)與積分變換自測(cè)題1：第一章至第三章已知函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)，且f(z0)≠0.求證：存在z0的某個(gè)鄰域，f(z)在其中處處不為0.試將1-cosθ+isinθ化為指數(shù)形式。計(jì)算（3+4i）1+i。計(jì)算tan(3-i)。（注意：指最后結(jié)果需將實(shí)部、虛部分離）求解方程sinz+icosz=4i。已知v(x,y)=epxsiny是調(diào)和函數(shù)，求實(shí)常數(shù)p的值，并求對(duì)應(yīng)的復(fù)變解析函數(shù)f(z)=u+iv。已知f(z)=ex[xcosy-ysiny+i(ycosy+xsiny)]，求f′(z)。已知解析函數(shù)f(z)滿足，當(dāng)z≠0時(shí)，f′(z)=，求f(z)。計(jì)算，其中C：由0到2+i的有向線段。計(jì)算，其中C：正向。計(jì)算，其中C：順時(shí)針?lè)较?。?jì)算，其中C：（1，0）沿單位圓的上半周至（-1,0）.計(jì)算，其中C：。已知條件：f(z)在內(nèi)解析，且f(0)=1,f′(0)=2.由此再計(jì)算的值。自測(cè)題1答案證明：反設(shè)題設(shè)結(jié)論不成立。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示：。于是由于f(z)在z0處連續(xù)（連續(xù)必極限存在），及復(fù)變函數(shù)極限的定義，知f(z0)=0，與題目已知條件矛盾?！囝}設(shè)結(jié)論獲證。化為指數(shù)形式意味著必須標(biāo)準(zhǔn)化，成為形式。我們首先計(jì)算復(fù)數(shù)的模。（逆用二倍角公式，這一點(diǎn)大家一定要掌握）（絕對(duì)值符號(hào)千萬(wàn)表丟了）下面考慮復(fù)數(shù)的輻角。（逆用二倍角公式，注意cot0無(wú)意義，事實(shí)上時(shí)，原復(fù)數(shù)為0，輻角不存在，也不需要表示為指數(shù)式了）。因此，只要時(shí)，原復(fù)數(shù)就可以表示為下面的指數(shù)式：。遇到這樣的問(wèn)題一定要用最原始的方法進(jìn)行計(jì)算，首先計(jì)算，則原式=（為什么可以這樣？因?yàn)椋┯纱丝梢?，我們絕對(duì)不能忽略Lnz的多值性，2kπi很重要！tan(3-i)=（和差角公式）（注意恒等式與二倍角公式的巧妙運(yùn)用）這個(gè)問(wèn)題顯然不經(jīng)處理是無(wú)法輕易解決的?？紤]原方程可化為，則我們可知-iz=Ln4.從而z=iLn4=iln4-2kπ。。（想想為什么可以這樣快地得到結(jié)果？知道前者就可以對(duì)偶地將后者設(shè)出來(lái)啦～）馬上被判不及格，實(shí)在是不幸之至。本題實(shí)際考查的核心即是sinz、cosz無(wú)界，因?yàn)楫?dāng)y為實(shí)數(shù)時(shí)，cos(iy)=chy=。因此，本題不證自明，級(jí)數(shù)發(fā)散。解本題的核心是視，對(duì)給定的z用一階導(dǎo)數(shù)公式，則可得f(z)=2πisin2z。這一函數(shù)的泰勒展式是十分簡(jiǎn)單的?？紤]十分復(fù)雜，對(duì)于這樣的分式多項(xiàng)式函數(shù)求洛朗展式，多采用分部分式法。，這樣一來(lái)展式也就十分簡(jiǎn)單了。復(fù)變函數(shù)與積分變換自測(cè)題3：第五章z=1是函數(shù)的什么奇點(diǎn)？求。設(shè)z=a為解析函數(shù)f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，求。求以及。設(shè)（C）：，求。求，其中（C）：。補(bǔ)充列出第四、五章作業(yè)題中很重要的一些題：第四章：3、4、9、10、16.第五章：2、5、12、20、50、51、55、（實(shí)積分部分）22、24.這些題目不是常規(guī)方法能夠很好解決的。希望大家復(fù)習(xí)時(shí)加以重視～其中第五章第5題正確答案為A，第51題正確答案為C，校內(nèi)流傳的“參考答案”是錯(cuò)的。第5題考慮z0是f(z)的本性奇點(diǎn)，則不存在；從而也不存在，z0是φ(z)的本性奇點(diǎn)。自測(cè)題3答案易見將f(z)展開成（z-1）的洛朗級(jí)數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，因此z=1為f(z)的本性奇點(diǎn)。極限不存在，因?yàn)閦=1為函數(shù)的本性奇點(diǎn)（道理同上）。令，其中g(shù)(a)≠0.那么，【注意在z=a點(diǎn)是解析的】（注意z=π是一級(jí)極點(diǎn)，用規(guī)則1）（注意z=0是一級(jí)極點(diǎn)，用規(guī)則1）這兩題考查的都是一級(jí)極點(diǎn)用規(guī)則1后，連續(xù)使用洛必達(dá)法則進(jìn)行變換。但請(qǐng)大家務(wù)必注意：洛必達(dá)法則在復(fù)變函數(shù)中，一般都只適用于0/0型的極限！考慮積分曲線是一個(gè)橢圓，我們令t=z-1，則=，其中C’是C向下做了1個(gè)單位的平移變換。顯然，C’仍然只包含被積函數(shù)的1個(gè)奇點(diǎn)——唯一的奇點(diǎn)——本性奇點(diǎn)0.因此本題結(jié)果顯然為πi。當(dāng)0<r<1時(shí)，C僅包含被積函數(shù)的本性奇點(diǎn)0；r>1時(shí)，C還包含被積函數(shù)的兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)i,-i，即包含了被積函數(shù)的一切奇點(diǎn)。因此，我們考慮一種另辟蹊徑的方法。r>1時(shí)，我們轉(zhuǎn)而考慮被積函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，按照公式易求得留數(shù)為0；又可按照一級(jí)極點(diǎn)的規(guī)則1求得，函數(shù)在i,-i兩點(diǎn)留數(shù)之和為-sin1。因此，函數(shù)在0點(diǎn)的留數(shù)為sin1.∴=2πisin1（當(dāng)0<r<1時(shí)）或0（當(dāng)r>1時(shí)）。