第五節(jié)矩陣的初等變換

第五節(jié)矩陣的初等變換第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一2第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)一、矩陣的初等變換1、引例求解線性方程組分析：用加、減消元法解下列方程組,觀察其過程．第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一3第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)解×第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一4第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)由③得,代入②,得;以,代入①,得,于是得方程組的解:第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一5第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．

2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．(與相互替換）（以替換）（以替換）第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一6第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一7第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)

因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．即(1)交換兩行;(2)某一行乘以常數(shù)k;(3)某一行乘以常數(shù)k加到另一行.第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一8第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)定義9下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:2、矩陣的初等變換第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一9第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)定義矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一10第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一11第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)用矩陣的初等行變換解方程組（1）：第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一12第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一13第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)由方程組()得到解的回代過程,也可用矩陣的初等變換來完成,即對應(yīng)方程組為第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一14第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一15第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．行階梯形矩陣還稱為行最簡形矩陣,即非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在的列的其他元素都是零.第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一16第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)例如，第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一17第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)特點(diǎn)：

所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡單的矩陣.第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一18第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)例2-16利用矩陣的初等行變換,將化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣.解第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一19第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)(行階梯形矩陣)第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一20第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)(在行最簡形矩陣基礎(chǔ)上繼續(xù)實(shí)施初等列變換可(行最簡形矩陣)將其化成標(biāo)準(zhǔn)形)(標(biāo)準(zhǔn)形)第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一21第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.二、初等矩陣的概念第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一22第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一23第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一24第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一25第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系設(shè)第行第行第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一26第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一27第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一28第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一29第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一30第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)注意:以右乘矩陣,其結(jié)果相當(dāng)與把的第列(不是列)乘加到第列(不是列)上.第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一31第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)

定理2設(shè)是一個(gè)矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一32第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一33第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)

定理2-3矩陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等方陣證充分性:設(shè)有初等矩陣使因初等矩陣是可逆矩陣,且可逆矩陣之積還是可逆矩陣,所以A可逆.必要性:設(shè)n階方陣A可逆,且A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為F,由于FA,F經(jīng)有限次初等變換可化為A,即有初等矩陣使第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一34第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)因?yàn)锳可逆,也都可逆,故標(biāo)準(zhǔn)形矩陣F可逆.假設(shè)中的r<n,則,與F可逆矛盾,因此必r=n,即F=E,從而證畢

第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一35第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)推論1方陣A可逆的充分必要條件是AE證因A可逆A為有限個(gè)初等矩陣的乘積,即亦即上式表示E經(jīng)有限次初等行變換可變?yōu)锳,即AE第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一36第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)推論2兩個(gè)矩陣A,B等價(jià)的充分必要矩陣Q,使PAQ=B是存在階可逆矩陣P及階可逆證必要性:A與B等價(jià)存在有限個(gè)階初等矩陣及有限個(gè)階初等矩陣使令由定理2-3知P是階可逆矩陣,Q為階可逆矩陣且PAQ=B第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一37第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)充分性:由PAQ=B知個(gè)初等矩陣說明,A可經(jīng)初等變換化成B證畢.使因P,Q可逆,由定理2-3知,存在有限

由證明可見:矩陣A經(jīng)初等行變換化成B的充分必要條件是存在可逆矩陣P使PA=B.矩陣A經(jīng)初等列變換化成B的充分必要條件是存在可逆矩陣Q使AQ=B.第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一38第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)三、初等變換法求逆矩陣方法是：第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一39第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)

解例2-17第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一40第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一41第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)即初等行變換第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一42第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)例２-18解第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一43第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一44第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一45第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)列變換列變換第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一46第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)例2-19求解矩陣方程AX=A+X,其中解把所給方程變形為(A-E)X=A.

第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一47第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)A-E~E,A-E可逆,且第四十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一48第二章矩陣的運(yùn)算線性代數(shù)四、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換第四十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期一49第