2023年第2章導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)

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1、極限的實(shí)質(zhì)是：動而不達(dá)

導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是：一個(gè)有邏輯商的極限。邏輯就是:

2、導(dǎo)數(shù)的多種變式定義：

lim丄一x)

f

°)是描述趨近隨意x時(shí)的斜率。而

x0

3、I

若x沒趨近到x0，那么除法得到的值是這段的平均斜率，假如趨近到了x0,得到

的就是這點(diǎn)的斜率一一導(dǎo)數(shù)。

4、可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系:

1基礎(chǔ)總結(jié)

lim-=lim

x0xx0f(xX)f(x)

x

limxxof(x)

f(xo)

Xo

叫號嚴(yán)可以刻畫趨近詳細(xì)

x0

時(shí)的斜率。

li

mo

要注重精心觀看發(fā)覺,

導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是定義在某點(diǎn)的左右極限。既然定義在了某點(diǎn)上，該點(diǎn)自然存在，而且還得等于左右極限。因此，可導(dǎo)一定是延續(xù)的。反之，假如延續(xù)，不一定可導(dǎo)。不多說。同理，假如不延續(xù)，絕對某點(diǎn)要么無定義，要么定義點(diǎn)跳動跑了，絕對極限有可能存在，但是導(dǎo)數(shù)絕不會存在。

同理要注重左右導(dǎo)數(shù)的問題。假如存在左或者右導(dǎo)數(shù)，那么在左側(cè)該點(diǎn)一定是存在的。如：

f(x)x,x0

這個(gè)函數(shù)，在0點(diǎn)就不存在左導(dǎo)數(shù)，只存在右導(dǎo)數(shù)。為什么嫩？看定義:

萬不要以為導(dǎo)數(shù)是一種容易的極限，極限是可以在某點(diǎn)無定義的，而導(dǎo)數(shù)卻是該點(diǎn)必需存在!由此引發(fā)了一些簡單誤判的血案:例如:

A旦主^謎I

CmF左電鼓pg總生戟乞

f(x)f(x)

-中的f(x))至u底是神馬。比如求上圖

lim

f(xx)f(x)

x0

x

lim

f(XX)f(0)

。

x0

定義里面需要用到f(0)?。∫虼?，千

中iim

f(x

)論)x1

xx0

,這個(gè)f(x0)千萬要等于2/3，而不是1！

定義解決時(shí)候一定要注重問。

XXo

由此也可以知道，f(x)

2

x3

,x1這個(gè)函數(shù)是不存在導(dǎo)數(shù)的，也不存在左導(dǎo)數(shù),

3

只存在右導(dǎo)數(shù)。

5、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系:

注重，求反函數(shù)時(shí)候不要換元。由于換了元雖然對自身來講函數(shù)形式不變,與原函數(shù)融合運(yùn)算時(shí)候就算是換了一個(gè)不是自己反函數(shù)的一個(gè)函數(shù)舉行運(yùn)算果明顯是錯(cuò)誤的。舉例子:求yex

的導(dǎo)數(shù)。明顯反函數(shù)(不要換元)是xiny反函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)是y=ex

，因此，(ye)

'

再如，求arcsin(x)的導(dǎo)數(shù)。

6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:

只要父函數(shù)和子函數(shù)隨時(shí)能有定義，就拆著求就可以了。

7、高階導(dǎo)數(shù):

假如f(x)在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必然具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù)。

sin(n)(x)sin(x—);cos(n)

(x)cos(x—);其余的也記不住，自己漸漸推導(dǎo)。

22

(uv)(n)u(n)v(n)

;

有這樣一條好玩的關(guān)系：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

=對應(yīng)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

f'(X)(f1

(y))'

但是反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是x

解：令函數(shù)為yarcsin(x)，則其反函數(shù)為siny，導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)為

―1

—(arcsinx)'。但是必需消去y。因此變形得cosy

一■_-(注重到在定義域內(nèi)

1-siny

cosy恒為正，因此舍掉負(fù)解)

1

_1

.1-siny2

.1-x2

n

nknkk

(uv)

Cuv二項(xiàng)式定理中有：n

;類似的，乘法的n階

導(dǎo)數(shù)也有:

8、隱函數(shù)，參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，相關(guān)變化率

建議隱函數(shù)，參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，以及求導(dǎo)數(shù)的相關(guān)變化率時(shí)使用惟獨(dú)這樣才干精確?????，平安，方

便。

舉例：求exye0（隱函數(shù)f（x,y）=O）中y對x的導(dǎo)數(shù)①dx解：兩邊求導(dǎo)，d@

xye）竺

dxdx

岐撿述y“（

t）x

'（t）y；（t）x”（t）。棘手嗎？根本不要記,dtdx

...

連參數(shù)方程的公式都不要記，自己漸漸算，算到哪里推導(dǎo)到哪里，容易

又便利。

相關(guān)變化率問題，是說字僉之間的關(guān)系

(u*v)(n)

k)

v(k)

這個(gè)是要嫻熟記憶的。

舟形式求解。

d(ey

xye

)dx

deydxyde)dey

dydxdydxdxy

dx

ey魚ydx型(eyx)魚y0魚

dxdxdx

dxdx

解完以后發(fā)覺效果還不錯(cuò)

ex

假如直接用什么y'神馬的凈是錯(cuò)誤，所以不要直接用口算，用dy/dx辦法求

解。復(fù)合隱

函數(shù)如何求導(dǎo)？

如，如何求

de

xy

dx

?容易，

dexy

dexy

d(xy)dxd(xy)dx

y

(1

乎）。怎么樣，就是層層剝香蕉的意思。

dx

參數(shù)方程同理，設(shè)

x(t

)，則容易,而且明顯有dy詈dx嘅，二階導(dǎo)dtdx

d(緡

dx

求dy時(shí)有一個(gè)技巧，假如函數(shù)含有幕指數(shù)，包括這一類(幕指數(shù)是-)dx2

般都是對方程兩邊先求對數(shù)，再求解，這樣求解起來應(yīng)當(dāng)會容易。

9、微分

微分用dy表示。dyy.微分的產(chǎn)生主要就是為了能便利容易的計(jì)算給定x后

對應(yīng)的近似的y。實(shí)際上，yf(xx)f(x)，若可以化簡成yf(Xox)f(xo)kx

o(x)形式，則稱f(x)在該點(diǎn)x0處可微記作

dy|xX。kx，這部分稱為線性部分。o(x)是x的高階無窮小，因此在計(jì)算時(shí)可以省去，這樣只計(jì)算線性部分就特殊容易的算出近似的y了。

y(kxo