數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法

什么是數(shù)字濾波器（DF）？所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。

數(shù)字濾波器和模擬濾波器相同，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。當(dāng)前第1頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)濾波器在許多技術(shù)領(lǐng)域中都被廣泛應(yīng)用。

模擬濾波器主要處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)；數(shù)字濾波器處理離散時(shí)間信號(hào)和數(shù)字信號(hào)。數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)點(diǎn)：

精度和穩(wěn)定性高；改變系統(tǒng)函數(shù)比較容易，比較靈活；不存在阻抗匹配問(wèn)題；便于大規(guī)模集成；可以實(shí)現(xiàn)多維濾波。當(dāng)前第2頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)數(shù)字濾波器的分類

1.從功能上分：低通、帶通、高通、帶阻。

2.從實(shí)現(xiàn)方法上分：FIR、IIR

3.從設(shè)計(jì)方法上來(lái)分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯），…

4.從處理信號(hào)來(lái)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器等。當(dāng)前第3頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)數(shù)字濾波器的理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性當(dāng)前第4頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)1.經(jīng)典濾波器一般的濾波器，特點(diǎn)是輸入信號(hào)中有用頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過(guò)一個(gè)合適的選頻濾波器達(dá)到濾波的目的。wc|H(ejw)||X(ejw)|wwc有用無(wú)用|Y(ejw)|wwc但是，如果信號(hào)的干擾和頻帶互相重疊，則不能完成對(duì)干擾的有效濾除。當(dāng)前第5頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)2.現(xiàn)代濾波器

這一類濾波器可按照隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的一些統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳地提取信號(hào)。現(xiàn)代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一類濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預(yù)測(cè)器、自適應(yīng)濾波器。當(dāng)前第6頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)自適應(yīng)濾波器原理框圖當(dāng)前第7頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)聲學(xué)回聲路徑當(dāng)前第8頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)聲學(xué)回聲抵消器(AEC)原理圖當(dāng)前第9頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)AEC系統(tǒng)的自適應(yīng)回聲抵消效果

當(dāng)前第10頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)當(dāng)前第11頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)研究DF實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)意義1.濾波器的基本特性（如有限沖激響應(yīng)FIR與無(wú)限沖激響應(yīng)IIR）決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點(diǎn)。2.不同結(jié)構(gòu)所需的存儲(chǔ)單元及乘法次數(shù)不同，前者影響復(fù)雜性，后者影響運(yùn)算速度。3.有限精度實(shí)現(xiàn)情況下，不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同。4.好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實(shí)現(xiàn)，便于時(shí)分復(fù)用。當(dāng)前第12頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實(shí)現(xiàn)：根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號(hào)流程圖，用數(shù)字硬件構(gòu)成專用的數(shù)字信號(hào)處理機(jī)。編寫(xiě)濾波器運(yùn)算程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。當(dāng)前第13頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.1概述數(shù)字濾波器可以用差分方程表示由上述兩個(gè)方程就可以得到若干數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)前第14頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器時(shí)，必須把輸入－輸出關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榭蓪?shí)現(xiàn)的算法。需要３種基本運(yùn)算單元：

加法器、單位延遲器和常數(shù)乘法器。方框圖表示流程圖表示這些單元有方框圖法和流程圖法兩種表示法。當(dāng)前第15頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

所以數(shù)字濾波器也有兩種表示法。例如，一個(gè)二階的IIR數(shù)字濾波器用差分方程表示為其方框圖和信號(hào)流程圖如下圖所示當(dāng)前第16頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

數(shù)字濾波器有無(wú)限沖激響應(yīng)（IIR）和有限沖激響應(yīng)（FIR）兩種。

一般從以下幾方面區(qū)分兩類系統(tǒng)：

1、IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)有極點(diǎn)有FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為所有系統(tǒng)只有零點(diǎn)當(dāng)前第17頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

2、IIR系統(tǒng)的差分方程為FIR系統(tǒng)的差分方程為

除了與當(dāng)前和過(guò)去的激勵(lì)有關(guān)，還與過(guò)去的輸出有關(guān)；

只與當(dāng)前和過(guò)去的激勵(lì)有關(guān)，與過(guò)去的輸出無(wú)關(guān)；當(dāng)前第18頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

3、IIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為無(wú)窮多項(xiàng)；FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)只有有限項(xiàng)；

4、IIR系統(tǒng)因?yàn)榕c過(guò)去的輸出有關(guān)，所以網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有反饋之路，也稱為遞歸結(jié)構(gòu)；FIR系統(tǒng)只與激勵(lì)有關(guān)，因此沒(méi)有反饋之路，也稱為非遞歸結(jié)構(gòu)。當(dāng)前第19頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.２無(wú)限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的不同會(huì)影響系統(tǒng)運(yùn)算的精度、誤差、速度和經(jīng)濟(jì)性等指標(biāo)。對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，可以有多種不同的結(jié)構(gòu)。一般情況下，都要求使用盡可能少的常數(shù)乘法器和延遲器來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，并要求運(yùn)算誤差盡可能小。這些要求有時(shí)是相互矛盾的。例如，為了獲得具有較小運(yùn)算誤差的結(jié)構(gòu)，使用的乘法器和延遲器的數(shù)目往往不是最少的。當(dāng)前第20頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)IIRDF基本結(jié)構(gòu)IIRDF類型直接型級(jí)聯(lián)型并聯(lián)型直接I型直接II型當(dāng)前第21頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)1.直接I型由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)直接畫(huà)出IIRDF的方框圖和流程圖當(dāng)前第22頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)N階IIR系統(tǒng)的直接I型方框圖N階IIR系統(tǒng)的直接I型流程圖

第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的是系統(tǒng)函數(shù)的各零點(diǎn)；第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的是各極點(diǎn)。直接I型結(jié)構(gòu)需要２N個(gè)延遲器和２N個(gè)乘法器。當(dāng)前第23頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)2.直接II型直接I型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)可看作兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即對(duì)應(yīng)的差分方程對(duì)應(yīng)的差分方程當(dāng)前第24頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)假設(shè)IIRDF是線性非移變系統(tǒng)，那么交換和的次序不會(huì)影響系統(tǒng)的傳輸效果，即則直接I型結(jié)構(gòu)圖可畫(huà)成下圖所示形式：兩條延遲鏈都是對(duì)中間變量進(jìn)行延遲，因此可以進(jìn)行合并。當(dāng)前第25頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)IIR系統(tǒng)的直接II型流程圖與直接I型相比，直接II型的不同之處：首先實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的各極點(diǎn)，然后實(shí)現(xiàn)各零點(diǎn)；僅需要N個(gè)延遲單元。則：硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，直接II型少用寄存器；軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)，直接II型少占用存儲(chǔ)單元。

通常IIR的直接形式是指直接II型，也稱最少延遲網(wǎng)絡(luò)、典范形式、正準(zhǔn)型。當(dāng)前第26頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)３.級(jí)聯(lián)型如果將N階IIR系統(tǒng)函數(shù)分解成二階因式連乘積，則可得到級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，即這樣，整個(gè)系統(tǒng)將由M個(gè)二階系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成，如下圖所示當(dāng)前第27頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

具體地，將系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式都按照零、極點(diǎn)進(jìn)行因式分解，得到由于的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，所以的零點(diǎn)和極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或是共軛復(fù)數(shù)。當(dāng)前第28頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)將上式中每對(duì)共軛復(fù)數(shù)因子合并起來(lái)構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)因子，則寫(xiě)成如果把實(shí)數(shù)因子看作是二階實(shí)數(shù)因子的特例，即看作二次項(xiàng)系數(shù)和等于零的二階因子，那么可被看成全部由實(shí)系數(shù)二階因子連乘來(lái)構(gòu)成，即當(dāng)前第29頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)其中稱為濾波器的二階基本節(jié)。每個(gè)二階節(jié)都用直接II型結(jié)構(gòu)的級(jí)聯(lián)形式

如果每個(gè)二階基本節(jié)都采用直接II型結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么整個(gè)濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)如下圖所示。每一級(jí)都可以單獨(dú)調(diào)整零極點(diǎn)的位置而不影響其它零極點(diǎn)。同時(shí)可以靈活調(diào)整二階基本節(jié)的次序。這是級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的常用形式。當(dāng)前第30頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)如果將系統(tǒng)函數(shù)化成部分分式之和，則可得到IIRDF的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，即上式表明，濾波器可由P個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)、Q個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)常數(shù)支路并聯(lián)構(gòu)成。4.并聯(lián)型當(dāng)前第31頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)其結(jié)構(gòu)如圖：IIR系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)當(dāng)前第32頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)置定理：將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路的方向加以反轉(zhuǎn)，并將輸入和輸出相互交換，則網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)不會(huì)改變。利用網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)置定理，可以將以上討論的各種結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)置處理，從而得到各種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。當(dāng)前第33頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)IIR系統(tǒng)的直接II型流程圖當(dāng)前第34頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)可以再改為輸入在左，輸出在右的習(xí)慣形式，如下圖。將圖4.10畫(huà)成輸入在左、輸出在右的習(xí)慣形式設(shè)計(jì)方法當(dāng)前第35頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.3有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR數(shù)字濾波器是一種非遞歸系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列，其系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為其特點(diǎn)是系統(tǒng)函數(shù)無(wú)極點(diǎn)，它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)沒(méi)有反饋支路。當(dāng)前第36頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)1.直接型FIR數(shù)字濾波器的差分方程為下圖為FIRDF的方框圖和流程圖。公式中表示的輸入和輸出信號(hào)之間的線性卷積關(guān)系，所以直接性結(jié)構(gòu)也稱為卷積型結(jié)構(gòu)，或橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu)。當(dāng)前第37頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)2.級(jí)聯(lián)型若將分解成二階因子的乘積，則得到FIR系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)為：對(duì)應(yīng)上式的流程圖如下圖中每一基本節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)。容易控制系統(tǒng)傳輸零點(diǎn)。級(jí)聯(lián)型所用的系數(shù)乘法次數(shù)較多，運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)。當(dāng)前第38頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)3.快速卷積型前面已經(jīng)知道，兩個(gè)長(zhǎng)度為N的序列的線性卷積，可以用2N-1點(diǎn)的循環(huán)卷積來(lái)代替。公式表示FIR濾波器的輸出是輸入和沖激響應(yīng)的線性卷積。因此，可以通過(guò)增添零取樣值方法將序列和延長(zhǎng)，然后計(jì)算它們的循環(huán)卷積，從而得到FIR系統(tǒng)的輸出。循環(huán)卷積的計(jì)算可以使用FFT，于是得到快速卷積型結(jié)構(gòu)。當(dāng)前第39頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)FIR系統(tǒng)的快速卷積結(jié)構(gòu)圖中輸出為當(dāng)前第40頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.線性相位型結(jié)構(gòu)

FIRDF最吸引人的特點(diǎn)之一就是將其設(shè)計(jì)成具有線性相位。右圖表示的是線性相位FIR系統(tǒng)的典型沖激響應(yīng)。

具有線性相位的因果FIRDF的沖激響應(yīng)具有偶對(duì)稱特性，即當(dāng)前第41頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)先分析具有這樣的沖激響應(yīng)的FIR系統(tǒng)的幅度和相位特點(diǎn)。將FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)重寫(xiě)為當(dāng)前第42頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)（1）當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，利用公式得下面分兩種情況討論：當(dāng)前第43頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)幅度響應(yīng)令，得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)經(jīng)推導(dǎo)，得到頻率響應(yīng)當(dāng)前第44頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)結(jié)論：當(dāng)時(shí)，；對(duì)呈奇對(duì)稱。相位特性是嚴(yán)格線性的。于是系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為當(dāng)前第45頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)（2）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，利用公式得經(jīng)推導(dǎo)，得到頻率響應(yīng)當(dāng)前第46頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)結(jié)論：對(duì)各點(diǎn)是偶對(duì)稱的。相位特性是嚴(yán)格線性的。于是系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為:當(dāng)前第47頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)h(n)為偶對(duì)稱的線性相位FIRDF的特性(a)(b)當(dāng)前第48頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)分別畫(huà)出N為偶數(shù)和奇數(shù)，線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)流程圖：具有線性相位的偶數(shù)N的FIR系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)具有線性相位的奇數(shù)N的FIR系統(tǒng)的直接結(jié)構(gòu)

線性相位N階FIR濾波器只需要N/2次（N為偶數(shù)）或（N+1）／2次（N為奇數(shù)）乘法。當(dāng)前第49頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)用上面的方法同樣可以證明，當(dāng)FIR系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為奇對(duì)稱，即時(shí)，系統(tǒng)同樣具有線性相位特性。偶對(duì)稱奇對(duì)稱為偶數(shù)為奇數(shù)小結(jié)：共有4種組合，則有4類線性相位FIR濾波器。當(dāng)前第50頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)由于線性相位FIR濾波器的沖激響應(yīng)必須滿足對(duì)稱條件，因此它的零點(diǎn)位置受到嚴(yán)格的限制。上式表明，和除相差（N-1)個(gè)樣本間隔外，沒(méi)有不同。

根據(jù)對(duì)稱條件，有

因此，是的零點(diǎn)，也是的零點(diǎn)。當(dāng)前第51頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)這就是說(shuō)，線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必互為倒數(shù)出現(xiàn)，在為實(shí)數(shù)情況下，的零點(diǎn)必然互為共軛出現(xiàn)。因此，線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對(duì)。1、零點(diǎn)不在實(shí)軸上，也不在單位圓上；2、零點(diǎn)在單位圓上；3、零點(diǎn)在實(shí)軸上，4、零點(diǎn)既在單位圓上，又在實(shí)軸上。線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)分布圖當(dāng)前第52頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)5.頻率取樣型

頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)會(huì)以采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓，如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長(zhǎng)度M，則不會(huì)引起信號(hào)失真。此時(shí)原序列的z變換與頻域采樣值滿足下面關(guān)系式：一個(gè)有限時(shí)寬的序列，其Z變換可以用單位圓上的N個(gè)等間隔取樣表示。當(dāng)前第53頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)上式為實(shí)現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結(jié)構(gòu)，是由兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)構(gòu)成的。其中當(dāng)前第54頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是由N節(jié)延遲線組成的梳狀濾波器。的零點(diǎn)和呈梳狀特性的頻率響應(yīng)：當(dāng)前第55頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)其中，每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上各有一個(gè)極點(diǎn)，這些極點(diǎn)為：這些極點(diǎn)正好與梳狀濾波器的零點(diǎn)相抵消，從而使在這些頻率上的響應(yīng)等于。

（4.24）第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)前第56頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)下圖所示的是FIR濾波器的頻率取樣型結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)是由一個(gè)簡(jiǎn)單的FIR系統(tǒng)和一個(gè)IIR系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成。優(yōu)點(diǎn)：并聯(lián)諧振網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)是FIR濾波器在處的響應(yīng)，因而可以直接控制濾波器的響應(yīng)。缺點(diǎn)：1、所有系數(shù)都是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算比較麻煩。2、所有諧振網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)都在單位圓上，容易出現(xiàn)誤差，系統(tǒng)不容易穩(wěn)定。當(dāng)前第57頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)克服以上缺點(diǎn)的方法有：1、使諧振網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)從單位圓上向內(nèi)收縮到半徑為r的圓上，這里r略小于1。2、用實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)復(fù)系數(shù)的一階網(wǎng)絡(luò)，從而使系數(shù)的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算變成實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算。設(shè)計(jì)方法當(dāng)前第58頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

4.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的一般設(shè)計(jì)步驟：1、根據(jù)任務(wù)，確定濾波器性能指標(biāo)（幅度特性、截止頻率等）；2、用一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)逼近這些指標(biāo)，具體的說(shuō)是由這些指標(biāo)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)；3、用有限精度運(yùn)算實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器（選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)、進(jìn)行誤差分析和選擇存儲(chǔ)單元的字長(zhǎng)等）。4、用適當(dāng)?shù)能浻布?shí)現(xiàn)。當(dāng)前第59頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)數(shù)字濾波器的技術(shù)要求通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)用下式表示：式中，稱為幅頻特性，稱為相頻特性。幅頻特性表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分衰減情況；相頻特性反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。當(dāng)前第60頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對(duì)相同的輸入，濾波器輸出的信號(hào)波形是不一樣的。一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求。但如果對(duì)輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如，語(yǔ)音合成、波形傳輸、圖像信號(hào)處理等。當(dāng)前第61頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)性能指標(biāo)

在進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。因?yàn)槔硐霝V波器物理不可實(shí)現(xiàn)的。（由于從一個(gè)頻帶到另一個(gè)頻帶之間的突變）wc|H(ejw)|要物理可實(shí)現(xiàn)：應(yīng)從一個(gè)帶到另一個(gè)帶之間設(shè)置一個(gè)過(guò)渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為1或零。應(yīng)給以較小容限。必須設(shè)計(jì)一個(gè)因果可實(shí)現(xiàn)的濾波器去實(shí)現(xiàn)。當(dāng)前第62頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)一個(gè)濾波器的技術(shù)指標(biāo)，除了通帶和阻帶外，過(guò)渡帶是必不可少的。左圖中的曲線表示滿足預(yù)定技術(shù)指標(biāo)的頻率響應(yīng)，通帶內(nèi)的幅度必須以誤差逼近于1，即阻帶內(nèi)幅度以誤差逼近于零，即和分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。當(dāng)前第63頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)為了按照這種誤差要求逼近理想低通濾波器，必須有一個(gè)寬度不為零的過(guò)渡帶。過(guò)渡帶內(nèi)幅度響應(yīng)從通帶平滑地下降到阻帶。得到技術(shù)指標(biāo)之后，下一步就是尋找一個(gè)頻率響應(yīng)符合允許指標(biāo)的離散時(shí)間線性系統(tǒng)。對(duì)于IIR系統(tǒng)，可以用有理函數(shù)逼近希望的頻率響應(yīng)；對(duì)于FIR系統(tǒng)，可以用多項(xiàng)式逼近希望的頻率響應(yīng)。當(dāng)前第64頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器就是首先根據(jù)實(shí)際要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，然后再將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。

轉(zhuǎn)換設(shè)計(jì)方法又可分為沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法由于模擬網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，設(shè)計(jì)非常方便，所以應(yīng)用廣泛。有若干典型的模擬濾波器供我們選擇：巴特沃斯濾波器—具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器—在通帶或阻帶有波動(dòng)，可選擇；貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對(duì)前三種是最好的。當(dāng)前第65頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.4.1沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法遵循的準(zhǔn)則是：使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)與所參照的模擬濾波器的沖激響應(yīng)的取樣值完全一樣，即實(shí)際上，由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù)與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系。其中，T為取樣周期。當(dāng)前第66頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)若滿足要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)已知，它通常是有理函數(shù)形式，并且分母的階次高于分子的階次，僅含單極點(diǎn)，則可以表示成部分分式形式：拉氏反變換z變換于是完成了數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。當(dāng)前第67頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

具體的說(shuō)，從s平面到z平面的映射不是簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，而是s平面上每一條寬為的橫帶重復(fù)地映射成整個(gè)z平面。當(dāng)前第68頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)S平面Z平面模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)位于s平面的左半平面，這些極點(diǎn)全部映射到z平面單位圓內(nèi)，因此，數(shù)字濾波器也因果穩(wěn)定。

當(dāng)前第69頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)沖激響應(yīng)不變法的頻譜混疊失真示意圖混疊問(wèn)題：由數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)間的關(guān)系知：周期延拓當(dāng)前第70頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)那么數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)能夠重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)。如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)帶寬被限制在折疊頻率內(nèi)，即由于一般實(shí)際模擬濾波器都不是帶限的，所以混疊是必然的。即產(chǎn)生了失真。不適合設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。這是沖激響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點(diǎn)！這是沖激響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)！當(dāng)前第71頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)例4.1已知一模擬濾波器的傳遞函數(shù)為使用沖激響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解：將展開(kāi)成部分分式得于是極點(diǎn)，。直接使用式設(shè)T＝0.1667s，則得當(dāng)前第72頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)因此，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為(b)所示的是相應(yīng)的數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)。圖中可以看出，DF的幅度響應(yīng)在高頻段有較大的失真，而在低頻段很接近模擬濾波器的幅度響應(yīng)。左圖中(a)是模擬濾波器的頻率響應(yīng)當(dāng)前第73頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.4.2雙線性變換法得到由s平面到z平面的映射，定義為T常取1為了克服沖激響應(yīng)不變法的混疊，采用非線形頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸壓縮到之間，再用轉(zhuǎn)換到Z平面上，就能得到s平面到z平面。當(dāng)前第74頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法不同的是：它是一種從s平面到z平面的單值可逆映射。

因此當(dāng)前第75頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)將和代入式得由此看出，數(shù)字域頻率與模擬域頻率之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系，如下圖。當(dāng)從0變到時(shí)，從0變到。這意味著模擬濾波器的全部頻率特性，被壓縮成數(shù)字濾波器在頻率范圍內(nèi)的特性?；蜻@種非線性在高頻段較為嚴(yán)重，而在低頻段接近于線性，因此數(shù)字濾波器的頻率特性能夠逼近模擬濾波器的頻率特性。當(dāng)前第76頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)

設(shè)數(shù)字濾波器的通帶和阻帶的截止頻率分別為和，對(duì)應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率為和。雙線性變換頻率非線性畸變的補(bǔ)償方法：預(yù)畸變利用給定的數(shù)字濾波器的截止頻率和及上式計(jì)算出和當(dāng)前第77頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)再根據(jù)此設(shè)計(jì)出模擬濾波器。最后把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這時(shí)雙線性變換得到的數(shù)字濾波器具有所希望的截止頻率特性。當(dāng)前第78頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)由公式可以得到將代入上式得從上式可以看出，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；這說(shuō)明s平面的軸映射成z平面的單位圓周，左半平面映射成單位圓內(nèi)部，右半平面映射成單位圓外部。當(dāng)前第79頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)這種映射是簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，因此變換后的數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)沒(méi)有混疊失真。因此，如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，即的所有極點(diǎn)都在s平面的左半平面內(nèi)，那么經(jīng)雙線性變換映射后的極點(diǎn)都在z平面的單位圓內(nèi)，因此數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。當(dāng)前第80頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)雙線性變換導(dǎo)致頻率間的非線性關(guān)系是它的主要缺點(diǎn)，限制了它的應(yīng)用范圍。頻率響應(yīng)不平坦（起伏較大）的系統(tǒng)不宜采用該方法。希望具有嚴(yán)格線性相位的數(shù)字濾波器，也不能用雙線性變換設(shè)計(jì)方法。說(shuō)明：當(dāng)前第81頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.4.3數(shù)字巴特沃斯濾波器

巴特沃斯濾波器的幅度響應(yīng)在通帶內(nèi)具有最平坦的特性，且在通帶和阻帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)變化的。為角頻率，在處幅度響應(yīng)的平方為0.5，N為濾波器的階數(shù)。當(dāng)時(shí)幅度響應(yīng)為1。模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為當(dāng)前第82頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)上圖可以看出，隨著N的增大，幅度響應(yīng)曲線在截止頻率附近變得越來(lái)越陡峭，即在通帶內(nèi)有更大部分的幅度接近于1，在阻帶內(nèi)以更快的速度下降至零。當(dāng)前第83頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為的圓周上。是關(guān)于虛軸對(duì)稱的，虛軸上沒(méi)有極點(diǎn)。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有兩個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)。各極點(diǎn)間的角度距為。模擬巴特沃斯濾波器極點(diǎn)的分布特點(diǎn)：由此可得極點(diǎn)當(dāng)前第84頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)因此，可將極點(diǎn)重新分配上式中是s平面左半平面的極點(diǎn)，是右半平面的極點(diǎn)。因?yàn)榘吞匚炙篂V波器有2N個(gè)極點(diǎn)，且對(duì)稱于虛軸，所以可將左平面的極點(diǎn)分配給，以便得到一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。把右半平面的極點(diǎn)分給，可以作不再考慮。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以得到巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)方法。當(dāng)前第85頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定濾波器在數(shù)字截止頻率和處的衰減；由數(shù)字截止頻率和處的衰減計(jì)算模擬巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和頻率；設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯濾波器的步驟如下：當(dāng)前第86頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)求模擬巴特沃斯濾波器的極點(diǎn)，并由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成傳遞函數(shù)。左半平面極點(diǎn)：

傳遞函數(shù)：N為偶數(shù)N為奇數(shù)使用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)前第87頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.4.4數(shù)字切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)為式中，稱為紋波參數(shù)，它與通帶內(nèi)幅度響應(yīng)的紋波有關(guān)；為有效通帶截止頻率，N是濾波器的階數(shù)。

切比雪夫?yàn)V波器在通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)是等波紋的，而在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的；或者在通帶內(nèi)是單調(diào)下降的，而在阻帶內(nèi)是等波紋的。切比雪夫?yàn)V波器是由、和N共3個(gè)參數(shù)確定。當(dāng)前第88頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)可以看出，切比雪夫?yàn)V波器的幅度響應(yīng)在之間起伏變換，而在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，濾波器在處的幅度響應(yīng)為1。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，濾波器在處的幅度響應(yīng)為。當(dāng)前第89頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)參量、和N的確定：（1）、確定由允許的通帶波紋確定。如果在處允許的通帶衰減為，可以這樣確定不同的所對(duì)應(yīng)的值如下：因此當(dāng)前第90頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)（2）、的確定是切比雪夫有效通帶截止頻率，在有效通帶內(nèi)濾波器的幅度被限制在兩常數(shù)之間波動(dòng)，常常是給定的。（3）、濾波器階數(shù)N的確定切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)N是由阻帶允許的衰減確定的。設(shè)在阻帶截止頻率處的允許衰減為，即由此得到計(jì)算濾波器階數(shù)N的公式

當(dāng)前第91頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)數(shù)字切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)步驟（1）根據(jù)濾波器的指標(biāo)確定參數(shù)、和N。（2）計(jì)算常量、和，并求出極點(diǎn)。（3）由s平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成傳遞函數(shù)。（4）利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成。當(dāng)前第92頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.4.5IIR數(shù)字濾波器的頻率變換

方法1的缺點(diǎn)是，由于產(chǎn)生混疊失真，因此不能用沖激不變法來(lái)變換成高通、帶通或帶阻濾波器。高通、帶通、和帶阻濾波器的常用的兩種設(shè)計(jì)方法：當(dāng)前第93頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)頻帶變換原理設(shè)是數(shù)字原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，是所求的濾波器系統(tǒng)函數(shù)。從平面到平面的映射定義為其中為變換函數(shù)。如果是穩(wěn)定的因果低通濾波器的有理系統(tǒng)函數(shù)，經(jīng)變換后的也應(yīng)是穩(wěn)定因果的數(shù)字濾波器的有理函數(shù)。因此，所求的系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)前第94頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)為此，該變換應(yīng)滿足：

①必須是的有理函數(shù)；②平面的單位圓內(nèi)部映射到平面單位圓內(nèi)部；

③變換后的數(shù)字濾波器頻帶應(yīng)滿足要求。當(dāng)前第95頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)從低通濾波器得到高通、帶通或帶阻濾波器的其它形式:當(dāng)前第96頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)當(dāng)前第97頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法利用了模擬濾波器的研究成果，設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單有效，能得到較好的幅度特性，特別是雙線性變換方法沒(méi)有頻譜混疊，很受歡迎。但是，由于IIR數(shù)字濾波器的相位特性是非線性的，因而相位特性不好控制。當(dāng)前第98頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)FIR數(shù)字濾波器的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)是容易得到的嚴(yán)格的線性相位，此外，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的極點(diǎn)都位于原點(diǎn)，所以FIR濾波器總是穩(wěn)定的。FIR數(shù)字濾波器還可以用FFT來(lái)計(jì)算。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法、頻率取樣法等。當(dāng)前第99頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)可見(jiàn)它是一無(wú)限長(zhǎng)、非因果的系統(tǒng)?？梢宰C明不是絕對(duì)可和的，因而理想地濾波器是不穩(wěn)定的。4.6.1窗函數(shù)法理想濾波器的頻率響應(yīng)對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)當(dāng)前第100頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)可以將無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)序列截?cái)啵玫揭粋€(gè)有限長(zhǎng)序列，并用它逼近理想低通濾波器。設(shè)一理想低通濾波器的截止頻率為，時(shí)延為，即對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)為

——這是利用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本原理。當(dāng)前第101頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)顯然，是以為中心的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，如下圖(a)所示。尋找一有限長(zhǎng)因果序列來(lái)逼近理想沖激響應(yīng)，即

和

應(yīng)滿足FIR基本條件，即它是偶對(duì)稱或奇對(duì)稱的，以滿足線性相位的要求，還應(yīng)當(dāng)是因果的。當(dāng)前第102頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)可把看作是與一矩形序列相乘的結(jié)果，窗函數(shù)不一定是矩形窗函數(shù)，也可以是其它窗函數(shù)，因此一般可表示為其中即當(dāng)前第103頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)根據(jù)卷積的性質(zhì)，的頻譜函數(shù)可表示為采用不同的窗函數(shù)，對(duì)應(yīng)的有不同的形狀。矩形窗的頻譜為即FIR窗函數(shù)的頻譜函數(shù)是理想低通濾波器的頻譜函數(shù)與窗函數(shù)的卷積。其中當(dāng)前第104頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)從到之間的稱為窗函數(shù)頻譜的主瓣，主瓣兩側(cè)呈衰減振蕩的部分稱為旁瓣。主瓣旁瓣旁瓣矩形窗的頻譜如圖所示當(dāng)前第105頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)代入公式(4.79)，F(xiàn)IRDF的頻率響應(yīng)為理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可表示為其幅度響應(yīng)為因此，F(xiàn)IRDF的幅度響應(yīng)為當(dāng)前第106頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)上式表明，由理想低通濾波器的沖激響應(yīng)加窗得到的FIR濾波器，它的幅度響應(yīng)等于理想低通濾波器的幅度響應(yīng)與窗函數(shù)頻譜的幅度響應(yīng)的周期卷積。當(dāng)前第107頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)時(shí)，等于上圖中(a)和(b)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，即在到這一段的面積。時(shí)，正好與的一半重疊，卷積值正好是零頻響應(yīng)的一半。在通帶截止頻率以內(nèi)，的整個(gè)主瓣都在的通帶內(nèi)。因此卷積結(jié)果有最大值，頻率響應(yīng)出現(xiàn)正肩峰。當(dāng)前第108頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)的主瓣全部在的通帶外，在通帶內(nèi)旁瓣負(fù)的面積大于正的面積，因此卷積值達(dá)到最大負(fù)值，在這里出現(xiàn)負(fù)肩峰。當(dāng)進(jìn)一步增大時(shí)，卷積值也將隨著的旁瓣在通帶內(nèi)的面積的變化而變化，這樣就造成以零值為中心的上下起伏波動(dòng)。整個(gè)卷積結(jié)果如圖(f)所示。當(dāng)前第109頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)從以上分析看出，理想低通濾波器經(jīng)加窗處理后，主要受到兩方面的影響。一、濾波器的頻率響應(yīng)在不連續(xù)點(diǎn)處出現(xiàn)過(guò)渡帶，它主要是由窗函數(shù)頻譜的主瓣引起的，過(guò)渡帶的寬度取決于窗函數(shù)主瓣的寬度。矩形窗對(duì)應(yīng)的過(guò)渡帶的寬度。一般來(lái)說(shuō)，過(guò)渡帶的寬度與N成反比。當(dāng)前第110頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)二、濾波器在通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生波紋，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象，主要是由窗函數(shù)的頻譜的旁瓣造成的。當(dāng)前第111頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)不同的窗函數(shù)的頻譜的主瓣和旁瓣的形狀是不同的。這兩個(gè)要求是互相矛盾的，不可能同時(shí)滿足。具體的說(shuō)，降低旁瓣高度必然會(huì)使主瓣變寬；反之，壓窄主瓣寬度，不可避免地會(huì)使旁瓣變高。一般情況下，對(duì)窗函數(shù)的要求是：

旁瓣高度盡可能小，即盡可能讓能量集中于主瓣，以減少通帶和阻帶中的波紋；

主瓣寬度盡量窄，以獲得極可能陡的過(guò)渡帶。為了減小波紋幅度，一方面可以加大窗的長(zhǎng)度N，另一方面可采用不同的窗函數(shù)來(lái)改善不均勻收斂性。當(dāng)前第112頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)幾種常用的窗函數(shù)：當(dāng)前第113頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)1.矩形窗2.巴特利特窗（三角形窗）當(dāng)前第114頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)3.漢寧窗（升余弦窗）或當(dāng)時(shí)，上式可近似為當(dāng)前第115頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)可見(jiàn)漢寧窗的頻譜是由3部分相加組成，這樣使旁瓣大大抵消，從而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，代價(jià)是使主瓣的寬度加大了一倍。當(dāng)前第116頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)4.漢明(Hamming)窗5.布萊克曼(Blackman)窗當(dāng)前第117頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)漢寧窗(d)漢明窗(e)布萊克曼窗這5種窗函數(shù)的主瓣寬度依次加寬，旁瓣衰減依次增大。當(dāng)前第118頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)漢寧窗(d)漢明窗(e)布萊克曼窗矩形窗設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶最窄，但阻帶衰減最差，約－21dB。而用布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計(jì)的阻帶衰減最好，但過(guò)渡帶最寬,約－74dB。用不同窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIRDF

當(dāng)前第119頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)6.凱澤(Kaiser)窗其中，是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。凱澤窗是一族窗函數(shù)。是可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)值可以改變主瓣的寬度和旁瓣的幅度，的典型值在范圍內(nèi)。當(dāng)前第120頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)這6種窗的主要特性參數(shù)如下表：當(dāng)前第121頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟：將與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)；給出希望設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)；根據(jù)允許的過(guò)渡帶寬度及阻帶衰減，初步選定窗函數(shù)和N值；或計(jì)算一下積分，求出；當(dāng)前第122頁(yè)\共有133頁(yè)\編于星期四\18點(diǎn)計(jì)算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗(yàn)證是否達(dá)