第二講線性規(guī)劃與靈敏度分析

第二講線性規(guī)劃與靈敏度分析第一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一本章節(jié)內(nèi)容2.1線性規(guī)劃靈敏度分析2.2單個目標函數(shù)系數(shù)變動2.3多個目標函數(shù)系數(shù)同時變動2.4單個約束右端值變動2.5多個約束右端值同時變動2.6約束條件系數(shù)變化2.7增加一個新變量2.8增加一個約束條件2.9影子價格（ShadowPrice）第二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一本章主要內(nèi)容框架圖第三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.1線性規(guī)劃靈敏度分析在第1章的討論中，假定以下的線性規(guī)劃模型中的各個系數(shù)cj、bi、aij是確定的常數(shù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)解。第四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.1線性規(guī)劃靈敏度分析其實，系數(shù)cj、bi、aij都有可能變化，因此，需要進行進一步的分析，以決定是否需要調整決策。靈敏度分析研究的另一類問題是探討在原線性規(guī)劃模型的基礎上增加一個變量或者一個約束條件對最優(yōu)解的影響。第五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.1線性規(guī)劃靈敏度分析對例1.1進行靈敏度分析最優(yōu)解為（2，6），Maxz＝3600第六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.1線性規(guī)劃靈敏度分析問題1：如果門的單位利潤由原來的300元提升到500元，最優(yōu)解是否會改變？對總利潤又會產(chǎn)生怎樣的影響?問題2：如果門和窗的單位利潤都發(fā)生變化，最優(yōu)解會不會發(fā)生改變？對總利潤又會產(chǎn)生怎樣的影響?問題3：如果車間2的可用工時增加1個小時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?問題4：如果同時改變多個車間的可用工時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?問題5：如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗戶由原來的2小時下降到1.5小時,最優(yōu)解是否會發(fā)生改變？總利潤是否會發(fā)生變化？問題6：工廠考慮增加一種新產(chǎn)品，總利潤是否會發(fā)生變化？問題7：如果工廠新增加用電限制，是否會改變原來的最優(yōu)方案？第七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.2單個目標函數(shù)系數(shù)變動下面討論在假定只有一個系數(shù)cj改變，其他系數(shù)均保持不變的情況下，目標函數(shù)系數(shù)變動對最優(yōu)解的影響。如果當初對門的單位利潤估計不準確，如把它改成500元，是否會影響求得的最優(yōu)解呢？方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）方法2：運用“敏感性報告”尋找允許變化范圍第八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.2單個目標函數(shù)系數(shù)變動方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）可以借助電子表格互動地展開靈敏度分析。當模型參數(shù)發(fā)生改變時，只要改變電子表格模型中相應的參數(shù)，再通過重新運行Excel“規(guī)劃求解”工具，就可以看出改變參數(shù)對最優(yōu)解的影響。需要一個一個地進行嘗試，效率略顯低下第九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.2單個目標函數(shù)系數(shù)變動方法2：運用“敏感性報告”尋找允許變化范圍生成“敏感性報告”讀懂相應的信息第十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.2單個目標函數(shù)系數(shù)變動結果：最優(yōu)解沒有發(fā)生改變，仍然是（2，6）由于門的單位利潤增加了200元，因此總利潤增加了（500－300）×2＝400元。第十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.2單個目標函數(shù)系數(shù)變動圖解法（直觀）可以看到，

最優(yōu)解（2，6）保持不變

第十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.3多個目標函數(shù)系數(shù)同時變動假如，以前把門的單位利潤（300元）估計低了，現(xiàn)在把門的單位利潤定為450元；同時，以前把窗的單位利潤（500元）估計高了，現(xiàn)在定為400元。這樣的變動，是否會導致最優(yōu)解發(fā)生變化呢？方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）方法2：運用“敏感性報告”進行分析（百分之百法則）第十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.3多個目標函數(shù)系數(shù)同時變動方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）可以看到，最優(yōu)解并沒有發(fā)生變化，總利潤由于門和窗的單位利潤的改變相應地改變了(450－300)×2＋(400－500)×6＝－300第十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.3多個目標函數(shù)系數(shù)同時變動方法2：運用“敏感性報告”進行分析百分之百法則:如果目標函數(shù)系數(shù)同時變動，計算出每一系數(shù)變動量占該系數(shù)允許變動量（允許的增量或允許的減量）的百分比，而后，將各個系數(shù)的變動百分比相加，如果所得的和不超過100%，則最優(yōu)解不會改變；如果超過100%，則不能確定最優(yōu)解是否改變，只能通過重新運行“規(guī)劃求解”工具來判斷了第十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.3多個目標函數(shù)系數(shù)同時變動但是變動百分比之和超過100%并不一定表示最優(yōu)解會改變。例如，門和窗的單位利潤都減半變動百分比超過了100%，但從右圖看最優(yōu)解還是（2，6），沒有發(fā)生改變。這是由于這兩個單位利潤同比例變動，等利潤直線的斜率不變，因此最優(yōu)解就不變。第十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.4單個約束右端值變動單個約束右端值變動對目標值的影響如果車間2的可用工時增加1個小時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）方法2：從“敏感性報告”中獲得關鍵信息（影子價格，ShadowPrice）第十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.4單個約束右端值變動方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）總利潤為3750元，增加了：3750-3600=150元。由于總利潤增加了，而目標函數(shù)系數(shù)不變，所以最優(yōu)解一定會發(fā)生改變，從圖中可以看出，最優(yōu)解由原來的（2，6）變?yōu)椋?.667，6.5）

第十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.4單個約束右端值變動方法2：從“敏感性報告”中獲得關鍵信息在給定線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解和相應的目標函數(shù)值的條件下，影子價格（ShadowPrice）是指約束右端值增加（或減少）一個單位，目標值增加（或減少）的數(shù)量第二個約束條件（車間2的工時約束）的影子價格是150，說明在允許的范圍[6，18]（即[12-6，12+6]）內(nèi)，再增加（或減少）一個單位的可用工時，總利潤將增加（或減少）150

第十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.4單個約束右端值變動圖解法（直觀）可以看到，

在這個范圍內(nèi)，每次車間的約束右端值增加（或減少）1，交點的移動就使利潤增長（或減少）影子價格的數(shù)量（150元）第二十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.5多個約束右端值同時變動多個約束右端值同時變動對目標值的影響將1個小時的工時從車間3移到車間2，對總利潤所產(chǎn)生的影響方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）方法2：運用“敏感性報告”進行分析（百分之百法則）第二十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.5多個約束右端值同時變動方法1：使用電子表格進行分析（重新運行“規(guī)劃求解”工具）總利潤增加了3650-3600=50（元），影子價格有效。第二十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.5多個約束右端值同時變動方法2：運用“敏感性報告”進行分析百分之百法則：如果約束右端值同時變動，計算每一變動占允許變動量（允許的增量或允許的減量）的百分比，如果所有的百分比之和不超過100%，那么，影子價格依然有效，如果所有的百分比之和超過100％，那就無法確定影子價格是否依然有效，只能通過重新運行“規(guī)劃求解”工具來判斷了第二十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.5多個約束右端值同時變動在影子價格有效范圍內(nèi)，總利潤的變化量可以直接通過影子價格來計算。比如將車間3的3個工時轉移給車間2，由于所以，總利潤的變化量為第二十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.6約束條件系數(shù)變化如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗戶由原來的2小時下降到1.5小時,最優(yōu)解是否會發(fā)生改變？總利潤是否會發(fā)生變化？使用電子表格進行分析(重新運行“規(guī)劃求解”工具)重新運行“規(guī)劃求解”工具后，最優(yōu)解發(fā)生了改變，變成了（2/3，8），總利潤也由3600元增加到了4200元?？梢?，車間2更新生產(chǎn)工藝后，為工廠增加了利潤。第二十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.7增加一個新變量例2.1如果工廠考慮增加一種新產(chǎn)品：防盜門，其單位利潤為400元。生產(chǎn)一個防盜門會占用車間1、車間2、車間3各2、1、1工時,總利潤是否會發(fā)生變化？使用電子表格進行分析(重新運行“規(guī)劃求解”工具)最優(yōu)解(2,5.5,1）,最大利潤是3750元?？梢娦庐a(chǎn)品為工廠增加了利潤第二十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.8增加一個約束條件比如工廠關心電力供應限制(例2.2假定生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品每件需要消耗電力分別為20kw、10kw，工廠總供電最多為90kw),最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?使用電子表格進行分析(重新運行“規(guī)劃求解”工具)可見電力約束的確限制了新產(chǎn)品門和窗的產(chǎn)量，最優(yōu)解變成(1.5,6),總利潤也相應的下降為3450元。第二十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格（1）影子價格是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻而做的估價。它是一種邊際價格，其值相當于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，資源（約束右端值）每增加一個單位時目標函數(shù)值的增加量；（2）影子價格的經(jīng)濟意義和應用第二十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格資源的影子價格實際上是一種機會成本。在純市場經(jīng)濟條件下，當資源的市場價格低于影子價格時，可以買進這種資源，反之，可以賣出。隨著資源的買進和賣出，它的影子價格也將隨之發(fā)生改變，一直到影子價格與市場價格保持同等水平，才處于平衡狀態(tài)。當資源的影子價格為0時，表明該種資源未得到充分利用。當資源的影子價格不為0時，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費完畢。可以利用影子價格計算產(chǎn)品的隱含成本（單位資源消耗量×相應的影子價格后求和）。當產(chǎn)品產(chǎn)值大于隱含成本時，表明生產(chǎn)該產(chǎn)品有利，可計劃安排生產(chǎn)；否則用這些資源生產(chǎn)別的產(chǎn)品更為有利。第二十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格一般來說，對線性規(guī)劃問題的求解就是確定資源的最優(yōu)分配方案，所以對資源的估計直接涉及到資源的最有效利用。如在大公司內(nèi)部，可借助資源的影子價格確定一些內(nèi)部結算價格，以便控制有限資源的使用和考核企業(yè)經(jīng)營的好壞。又如在社會上可對一些最緊缺的資源，借助影子價格規(guī)定使用這種資源一個單位必須上交的利潤額，以使一些經(jīng)濟效益低的企業(yè)自覺地節(jié)約使用緊缺資源，使有限資源發(fā)揮更大的經(jīng)濟效益。第三十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格例2.3某文教用品廠利用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習本三種產(chǎn)品。該廠現(xiàn)有工人100人，每天白坯紙的供應量為30000千克。如果單獨生產(chǎn)各種產(chǎn)品時，每個工人每天可生產(chǎn)原稿紙30捆、或日記本30打，或練習本30箱。已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙10/3千克、每打日記本用白坯紙40/3千克，每箱練習本用白坯紙80/3千克。已知生產(chǎn)各種產(chǎn)品的盈利為：每捆原稿紙1元、每打日記本2元，每箱練習本3元。試討論在現(xiàn)有生產(chǎn)條件下使該廠盈利最大的方案。如白坯紙供應量不變，而工人數(shù)量不足時，可從市場上招收臨時工，臨時工費用為每人每天15元，問該廠是否招臨時工及招收多少人為宜。第三十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格設該廠每天生產(chǎn)原稿紙x1捆、日記本x2打、練習本x3箱第三十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格Excel求解結果為：生產(chǎn)原稿紙1000捆，日記本2000打，練習本不生產(chǎn)，此時的總利潤最大，為5000元第三十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格生成“敏感性報告”工人約束的影子價格為20元，與臨時工每人每天費用15元相比，影子價格要大，所以每招一名臨時工，能為工廠多盈利20-15=5（元），招收的人數(shù)在允許的增量200人范圍內(nèi)當工人數(shù)量不足時，可從市場上招收臨時工，最多招收200人為宜第三十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格（補充）補充某外貿(mào)公司準備購進兩種產(chǎn)品A1和A2。購進產(chǎn)品A1每件需要10元，占用5m3的空間，待每件A1賣出后，可獲純利潤3元；購進產(chǎn)品A2每件需要15元，占用3m3的空間，待每件A2賣出后，可獲純利潤4元。公司現(xiàn)有資金1400元，有430m3的倉庫空間存放產(chǎn)品。試討論在現(xiàn)有條件下使該公司盈利最大的方案?，F(xiàn)在公司有另外一筆資金585元，準備用于投資。這筆資金可以用來購買產(chǎn)品A1、A2，也可以用來增加倉庫的容量（假設增加1m3的倉庫空間需要0.8元）。問應如何進行投資使公司獲得更多的利潤。第三十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格（補充）－續(xù)設公司購進A1產(chǎn)品x1件、A2產(chǎn)品x2件第三十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格（補充）－續(xù)Excel求解結果為：最優(yōu)方案是購進A1產(chǎn)品50件、A2產(chǎn)品60件，此時的總利潤最大，為390元。第三十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一2.9影子價格（補充）－續(xù)生成“敏感性報告”資金約束的影子價格約為0.24元，而空間約束的影子價格約為0.11元（每1元資金投資空間的收益約為0.14元，0.11/0.8）。由于資金約束的影子價格大，所以這筆資金可以直接用來購買產(chǎn)品，585元在允許的增量750元范圍內(nèi)，可以增加利潤為：585×0.244=143元。購買方案為（11，125）第三十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一上機實驗二線性規(guī)劃靈敏度分析（一）實驗目的：掌握使用Excel軟件進行靈敏度分析的操作方法。（二）內(nèi)容和要求：用Excel軟件完成習題2.4、案例2（三）操作步驟：（1）建立電子表格模型；（2）使用Excel規(guī)劃求解工具求解問題并生成“敏感性報告”；（3）結果分析：哪些問題可以直接利用“敏感性報告”中的信息求解，哪些問題需要重新運行“規(guī)劃求解”工具，并對結果提出你的看法；（4）在Excel或Word文檔中寫實驗報告，包括線性規(guī)劃模型、電子表格模型、敏感性報告內(nèi)容和結果分析等。第三十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一案例2經(jīng)理會議建議的分析案例2

某公司生產(chǎn)三種產(chǎn)品A1、A2、A3，它們在B1、B2兩種設備上加工，并耗用C1、C2兩種原材料，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品耗用的工時和原材料以及設備和原材料的最多可使用量如表C-7所示。表C-7生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)資源產(chǎn)品A1產(chǎn)品A2產(chǎn)品A3每天最多可使用量設備B1（min）121430設備B2（min）302460原料C1（kg）140420原料C2（kg）111300每件利潤（元）302050第四十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一第3章線性規(guī)劃的建模與應用LinearProgrammingFormulationandApplications第四十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一本章內(nèi)容要點線性規(guī)劃問題的四種主要類型線性規(guī)劃的建模與應用第四十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一本章節(jié)內(nèi)容3.1資源分配問題3.2成本收益平衡問題3.3網(wǎng)絡配送問題3.4混合問題3.5線性規(guī)劃模型的應用第四十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一本章主要內(nèi)容框架圖第四十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.1資源分配問題資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規(guī)劃問題。這一類問題的共性是在線性規(guī)劃模型中每一個函數(shù)約束均為資源約束,并且每一種資源都可以表現(xiàn)為如下的形式：使用的資源數(shù)量可用的資源數(shù)量對任何資源分配問題，有三種數(shù)據(jù)必須收集：（1）每種資源的可供量；（2）每一種活動所需要的各種資源的數(shù)量,對于每一種資源與活動的組合,單位活動所消耗的資源量必須首先估計出來；（3）每一種活動對總的績效測度（如總利潤）的單位貢獻（如單位利潤）。第四十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.1資源分配問題例3.1

某公司是商務房地產(chǎn)開發(fā)項目的主要投資商。目前，該公司有機會在三個建設項目中投資： 項目1：建造高層辦公樓； 項目2：建造賓館； 項目3：建造購物中心。每個項目都要求投資者在四個不同的時期投資：在當前預付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3-1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。投資者可以按一定的比例進行投資和獲得相應比例的收益。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目0（現(xiàn)在）408090160805029080203107060凈現(xiàn)值457050公司目前有2500萬元資金可供投資，預計一年后，又可獲得2000萬元，兩年后獲得另外的2000萬元，三年后還有1500萬元以供投資。那么，該公司要在每個項目中投資多少比例，才能使其投資組合獲得最大的總凈現(xiàn)值？第四十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.1資源分配問題解：這是一個資源分配問題。(1)決策變量設：x1，x2，x3分別為在辦公樓項目、賓館項目、購物中心項目中的投資比例(2)目標函數(shù)本問題的目標是總凈現(xiàn)值最大第四十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.1資源分配問題(3)約束條件本題的約束條件是公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）。但要注意的是：前一期尚未使用的資金，可以在下一期使用（為了簡化問題，不考慮資金可獲得的利息）。因此，每一時點的資金限制就表現(xiàn)為累計的資金。表3-2顯示了累計的資金數(shù)據(jù)。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目可用資金0（現(xiàn)在）40809025110016014045219024016065320031022080凈現(xiàn)值457050第四十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.1資源分配問題數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第四十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.1資源分配問題電子表格模型第五十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一補充：例3.1的解法2例3.1還可用另外一種解法，引入剩余變量si。數(shù)學模型為：第五十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一補充：例3.1的解法2例3.1還可用另外一種解法，引入剩余變量si。電子表格模型為：注意：在“規(guī)劃求解”中，決策變量不連續(xù)時，用;隔開第五十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題與資源分配問題的形式完全不同，這種差異主要是因為兩種問題的管理目標不同而造成的。在資源分配問題中，各種資源是受限制的因素（包括財務資源），問題的目標是最有效地利用各種資源，使獲利最大。而對于成本收益平衡問題，管理層采取更為主動的姿態(tài)，他們指明哪些收益必須實現(xiàn)（不管如何使用資源），并且要以最低的成本實現(xiàn)所指明的收益。這樣，通過指明每種收益的最低可接受水平，以及實現(xiàn)這些收益的最小成本，管理層期望獲得成本和收益之間的適度平衡。因此，成本收益平衡問題是一類線性規(guī)劃問題，這類問題中，通過選擇各種活動水平的組合，從而以最小的成本來實現(xiàn)最低可接受的各種收益水平。第五十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題的共性是，所有的函數(shù)約束均為收益約束，并具有如下的形式：

完成的水平最低可接受的水平如果將收益的含義擴大，所有以“”表示的函數(shù)約束均為收益約束。在多數(shù)情況下，最低可接受的水平是作為一項政策由管理層制定的，但有時這一數(shù)據(jù)也可能是由其他條件決定。成本收益平衡問題需要的三種數(shù)據(jù)：（1）每種收益的最低可接受水平（管理決策）；（2）每一種活動對每一種收益的貢獻（單位活動的貢獻）；（3）每種活動的單位成本。第五十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.2成本收益平衡問題排班問題是成本收益平衡問題研究的最重要的應用領域之一。在這一領域中，管理層意識到在向顧客提供令人滿意的服務水平的同時必須進行成本控制，因此，必須尋找成本和收益之間的平衡。于是，研究如何規(guī)劃每個輪班人員才能以最小的成本提供令人滿意的服務。例3.2

某航空公司正準備增加其中心機場的往來航班，因此需要雇傭更多的服務人員。不同時段有最少需要服務人員數(shù)，有5種排班方式，每8小時為一班。第五十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.2成本收益平衡問題例3.2（續(xù)）5種排班方式排班1：6AM～2PM，即早上6點上班；排班2：8AM～4PM，即早上8點上班；排班3：中午～8PM，即中午12點上班；排班4：4PM～午夜，即下午4點上班；排班5：10PM～6M，即晚上10點上班。時段排班1排班2排班3排班4排班5最少需要人數(shù)6AM～8AM√488AM～10AM√√7910AM～中午√√65中午～2PM√√√872PM～4PM√√644PM～6PM√√736PM～8PM√√828PM～10PM√4310PM～午夜√√52午夜～6PM√15每人每天工資(元)170160175180195第五十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.2成本收益平衡問題解:這是一個純成本收益平衡問題。（1）決策變量本問題的決策是不同排班的人數(shù)。設：xi為排班i的人數(shù)(i＝1,2,,5)（2）目標函數(shù)本問題的目標是人員總費用（工資）最少，即（3）約束條件①每個時段的在崗人數(shù)必須不少于最低可接受水平（最少需要人數(shù)）②非負第五十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.2成本收益平衡問題數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第五十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.2成本收益平衡問題電子表格模型第五十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.3網(wǎng)絡配送問題通過配送網(wǎng)絡能以最小的成本完成貨物的配送，所以稱之為網(wǎng)絡配送問題。網(wǎng)絡配送問題將在第4章和第5章中重點介紹。與確定資源和收益一樣，在網(wǎng)絡配送問題中，必須確定需求以及相應地確定需求的約束條件。確定需求約束的形式如下：提供的數(shù)量＝需求的數(shù)量第六十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.3網(wǎng)絡配送問題例3.3

某公司網(wǎng)絡配送問題。某公司在兩個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品。現(xiàn)在收到三個顧客的下個月定單要購買這種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品會被單獨運送，表3-4顯示了從每個工廠到每個顧客的運送一個產(chǎn)品的成本。該表同樣表明了每個顧客的訂貨量和每個工廠的生產(chǎn)量?，F(xiàn)在公司的物流經(jīng)理要決定從每個工廠運送多少個產(chǎn)品到每個顧客那里才能使總成本最?。?/p>

單位運輸成本（元/個）產(chǎn)量（個）顧客1顧客2顧客3工廠170090080012工廠280090070015訂貨量(個)108927(產(chǎn)銷平衡)第六十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.3網(wǎng)絡配送問題解:由于“總產(chǎn)量（27）＝總訂貨量（27）”，所以本問題是一個平衡運輸問題。（1）決策變量本問題的決策為從每個工廠運送多少個產(chǎn)品到每個顧客那里。設：xi-j為從工廠i運輸?shù)筋櫩蚸的產(chǎn)品數(shù)量（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)（2）目標函數(shù)本問題的目標是使得公司總運輸成本最低.（3）約束條件①從工廠運送出去的產(chǎn)品數(shù)量等于其產(chǎn)量②顧客收到的產(chǎn)品數(shù)量等于其訂貨量③非負第六十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.3網(wǎng)絡配送問題數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第六十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.3網(wǎng)絡配送問題電子表格模型第六十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題前面討論了線性規(guī)劃問題的三種類型：資源分配問題、成本收益平衡問題以及網(wǎng)絡配送問題。如表3-5所總結的，每一類問題都是以一類約束條件為特色的。實際上，純資源分配問題的共性是它所有的函數(shù)約束均為資源約束（≤）而成本收益平衡問題的共性是它所有的函數(shù)約束均為收益約束（）網(wǎng)絡配送問題中，主要的函數(shù)約束為一特定類型的確定需求約束（＝）第六十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題但許多線性規(guī)劃問題并不能直接歸入三類中的某一類，一些問題勉強可以歸入一類，因其主要的函數(shù)約束與表3-5的相應函數(shù)約束大致相同。另一些問題卻沒有一類占主導地位的函數(shù)約束，不能歸入前三類中的某一類。因此，混合問題是第四類線性規(guī)劃問題，這一類型將包括所有未歸入前述三類中的線性規(guī)劃問題。一些混合問題僅包含兩類函數(shù)約束，而更多的是包含三類函數(shù)約束。第六十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題表3-5各類函數(shù)約束類型形式*解釋主要用于資源約束LHSRHS對于特定的資源使用的數(shù)量

可獲得的數(shù)量資源分配問題混合問題收益約束LHSRHS對于特定的收益到達的水平

最低可接受水平成本收益平衡問題混合問題確定需求約束LHS=RHS對于一些數(shù)量提供的數(shù)量=需求的數(shù)量網(wǎng)絡配送問題混合問題*LHS=左式（一個SUMPRODUCT函數(shù)）

RHS=右式（一般為常數(shù)）第六十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題配料問題。這類問題的一般提法是：由多種原料制成含有m種成分的產(chǎn)品，已知產(chǎn)品中所含各種成分的比例要求、各種原料的單位價格以及各原料所含成分的數(shù)量?？紤]的問題是：應如何配料，可使產(chǎn)品的總成本最低。例3.4配料問題。某公司計劃要用Ａ、Ｂ、C三種原料混合調制出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，產(chǎn)品的規(guī)格要求和單價、原料的供應量和單價等數(shù)據(jù)如表3-6所示。問：該公司應如何安排生產(chǎn)，可使總利潤最大？第六十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題表3-6混合配料數(shù)據(jù)表ABC產(chǎn)品單價（元/千克）甲50%35%不限90乙40%45%不限85丙30%50%20%65原料供應量（千克）200150100原料單價（元/千克）603530第六十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題解：（1）決策變量

本問題的難點在于給出的數(shù)據(jù)是非確定數(shù)值，而且各產(chǎn)品與原料的關系較為復雜。為了方便，設xij表示原料i（i=A，B，C）用于產(chǎn)品j（j=1為甲，j=2為乙，j=3為丙）的數(shù)量。（2）目標函數(shù) 本問題的目標是使總利潤最大總利潤＝產(chǎn)品收入－原料支出第七十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題（3）約束條件本題的約束條件：原料供應量限制3個、規(guī)格要求7個和決策變量非負。在例3.4中，有9個決策變量和10個函數(shù)約束條件，包括5個資源約束、2個收益約束和3個確定需求約束。第七十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.4混合問題電子表格模型第七十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用前面按照函數(shù)約束的分類，介紹了四種線性規(guī)劃問題：資源分配問題（,資源約束）成本收益平衡問題（，收益約束）網(wǎng)絡配送問題（=，確定需求約束）混合問題（包含兩種或三種類型的約束函數(shù)）本節(jié)按照應用方面介紹線性規(guī)劃在生產(chǎn)計劃問題、資金管理問題、市場調查問題和混合配料問題等方面的應用第七十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用建立線性規(guī)劃模型的過程可以分為四個步驟：設立決策變量；用決策變量的線性函數(shù)表示目標，并確定是求最大（Max）還是最?。∕in）；明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示；根據(jù)決策變量的物理性質研究變量是否有非負性。第七十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用生產(chǎn)計劃問題是企業(yè)生產(chǎn)過程中常常遇到的問題，其中最簡單的一種形式可以描述如下（資源分配問題）：

用若干種原材料（資源）生產(chǎn)某幾種產(chǎn)品，原材料（或某種資源）供應量有一定的限制，要求制定一個產(chǎn)品生產(chǎn)計劃，使其在給定的資源限制條件下能得到最大收益。第七十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.5

某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都要經(jīng)過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，也可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質量。有關情況的數(shù)據(jù)如表3-9所示。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應多少件？第七十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用表3-9自行生產(chǎn)或外包的有關數(shù)據(jù)產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品丙工時限制單件鑄造工時（小時）51078000單件機加工工時（小時）64812000單件裝配工時（小時）32210000自產(chǎn)鑄件成本（元/件）354外協(xié)鑄件成本（元/件）56－機加工成本（元/件）213裝配成本（元/件）322產(chǎn)品售價（元/件）231816第七十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量此問題的難度是由于產(chǎn)品甲和乙的鑄件既可以外包協(xié)作，也可以自行生產(chǎn)，從而使問題復雜化。如果只設甲、乙、丙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3，則由于產(chǎn)品甲和乙的鑄件來源不同造成單位利潤不同，因此目標函數(shù)中x1和x2的系數(shù)不是常數(shù)，目標函數(shù)成為非線性函數(shù)，但是如果把它們區(qū)分開來，另設兩個變量（采用第7章的可分離規(guī)劃技術），則可以較容易地建立問題的線性規(guī)劃模型。設x1、x2、x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)；

x4、x5分別為由外協(xié)鑄造再由本公司機加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。第七十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用（2）目標函數(shù)本問題的目標是使得公司獲得的總利潤最大。為了建立目標函數(shù)，首先計算各決策變量的單位利潤：單位利潤＝售價-成本（鑄造、機加工、裝配）（3）約束條件（3個資源約束、非負約束）①鑄造工時限制②機加工工時限制③裝配工時限制④非負第七十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第八十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用電子表格模型第八十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.6

某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，均需經(jīng)過兩道工序，每生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需要經(jīng)第一道工序加工2小時，第二道工序加工3小時；每生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需經(jīng)過第一道工序加工3小時，第二道工序加工4小時?？晒├玫牡谝坏拦ば蚬r為15小時，第二道工序工時為25小時。生產(chǎn)產(chǎn)品B的同時可產(chǎn)出副產(chǎn)品C，每生產(chǎn)1噸產(chǎn)品B，可同時得到2噸產(chǎn)品C而不需要外加任何費用。副產(chǎn)品C一部分可以盈利，但剩下的只能報廢，報廢需要有一定的費用。各項費用的情況為：出售產(chǎn)品A每噸能盈利400元；出售產(chǎn)品B每噸能盈利800元；每銷售1噸副產(chǎn)品C能盈利300元；當剩余的產(chǎn)品C報廢時，每噸損失費為200元。經(jīng)市場預測，在計劃期內(nèi)產(chǎn)品C的最大銷量為5噸。問：如何安排A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量可使工廠總的盈利為最大？第八十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量本問題的難度是由于副產(chǎn)品C的出現(xiàn)而使問題復雜化了。如果只設A、B、C產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3

，則由于產(chǎn)品C的單位利潤不同（贏利300元或損失200元），因此目標函數(shù)中x3的系數(shù)不是常數(shù)，目標函數(shù)成為非線性函數(shù)，但是如果把產(chǎn)品C的銷售量和報廢量區(qū)分開來，設作兩個變量（采用第7章的可分離規(guī)劃技術），則可以容易地建立線性規(guī)劃模型。設A、B產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2；C產(chǎn)品的銷售量和報廢量分別為x3、x4。第八十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用（2）目標函數(shù)本問題的目標是使工廠的總盈利最大，即

（3）約束條件（3個資源約束、1個確定需求約束、非負約束） ①第一道工序 ②第二道工序 ③產(chǎn)品B與產(chǎn)品C ④產(chǎn)品C的最大銷量 ⑤非負

第八十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用線性規(guī)劃模型（數(shù)學模型）第八十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用電子表格模型第八十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.7

某公司根據(jù)訂單進行生產(chǎn)。已知半年內(nèi)對某產(chǎn)品的需求量、單位生產(chǎn)費用和單位存儲費用,還已知公司每月的生產(chǎn)能力為100，每月倉庫容量為50。問：如何確定產(chǎn)品未來半年內(nèi)每月最佳生產(chǎn)量和存儲量，以使總費用最少。月份123456需求量504050455530單位生產(chǎn)費用825775850850775825單位存儲費用403035204040第八十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（生產(chǎn)與庫存問題，更多請參見第9章，動態(tài)規(guī)劃）(1)決策變量本問題的決策為產(chǎn)品未來半年內(nèi)每月的最佳生產(chǎn)量和庫存量。設每月生產(chǎn)量為xi(i=1,2,,6)，每月月末庫存量為si(i=1,2,,6)。(2)目標函數(shù)本問題的目標是總費用最小

總費用＝生產(chǎn)總費用+存儲總費用第八十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用(3)約束條件①對于每個月上月庫存量＋本月生產(chǎn)量－市場需求＝本月月末庫存量

②公司每月的生產(chǎn)能力為100③每月倉庫容量為50④非負第八十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第九十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.7的電子表格模型第九十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用資金管理問題線性規(guī)劃在資金管理方面的應用主要包括投資組合優(yōu)化、連續(xù)投資、財務計劃、資本預算等。本小節(jié)將介紹線性規(guī)劃在投資組合優(yōu)化與連續(xù)投資方面的應用。更多的例子請見第9章。投資組合優(yōu)化問題研究如何選擇投資對象，例如，如何選擇不同的債券或股票，在滿足某些要求的前提下，使得利潤最大或風險最小。因此，其決策變量是對各種可能的投資對象的投資組合，其目標函數(shù)通常是期望回報最大化或風險最小化，而約束條件則可包括總投資額、公司政策、法律法規(guī)等。例3.8是期望回報額最大化，采用線性規(guī)劃模型。當考慮投資風險（成本）與收益之間的平衡時，更多的是采用非線性規(guī)劃模型，具體見第7章。第九十二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.8

投資組合優(yōu)化問題。某公司董事會決定將20萬現(xiàn)金進行債券投資。經(jīng)咨詢，現(xiàn)有五種債券是較好的投資對象，它們是：黃河汽車，長江汽車，華南電器，西南電器，縝山紙業(yè)。它們的投資回報率如表3-12所示。為減少風險，董事會要求，對汽車業(yè)的投資不得超過12萬，對電器業(yè)的投資不得超過8萬，其中對長江汽車的投資不得超過對汽車業(yè)投資的65%，對紙業(yè)的投資不得低于對汽車業(yè)投資的20%。該公司應如何投資，才能在滿足董事會要求的前提下使得總回報額最大？債券名稱黃河汽車長江汽車華南電器西南電器縝山紙業(yè)回報率6.5%9.2%4.5%5.5%4.2%第九十三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量本問題的決策變量是對五種投資對象的投資額。設：該公司對五種債券的投資額分別為x1，x2，x3，x4，x5（萬元）。（2）目標函數(shù)本問題的目標是使得公司總回報額最大第九十四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用（3）約束條件總投資額為20萬現(xiàn)金汽車業(yè)的投資不得超過12萬電器業(yè)的投資不得超過8萬對長江汽車的投資不得超過對汽車業(yè)投資的65%對紙業(yè)的投資不得低于對汽車業(yè)投資的20%非負第九十五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第九十六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.8的電子表格模型第九十七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.9

連續(xù)投資問題。某部門在今后五年內(nèi)考慮給下列項目投資，已知：項目A：從第一年到第四年每年年初都可以投資，并于次年年末收回本利115%；項目B：第三年年初可以投資，到第五年年末能收回本利125%，但規(guī)定最大投資額不超過4萬元；項目C：第二年初可以投資，到第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不超過3萬元；項目D：五年內(nèi)每年初都可以購買公債，于當年末歸還，并加利息6%。該部門現(xiàn)有資金10萬元，問應如何確定這些項目的每年投資額，使得第五年年末擁有的資金的本利總額最大？第九十八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量本題是一個連續(xù)投資問題，由于需要考慮每年年初對不同項目的投資額，為了便于理解，建立雙下標決策變量。設xij為第i年初給項目j的投資額（萬元）根據(jù)給定條件，將決策變量列于表3-13中（P82）（2）約束條件

每年投資額＝可投資額（P82－83）最大投資額、非負第九十九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用（3）目標函數(shù)該問題要求在第五年末擁有的資金的本利總額最大目標也可以是投資的總回報額最大但不是用Excel求解即可明白第一百頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第一百零一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.9的電子表格模型第一百零二頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.9的靈敏度分析

從影子價格（“陰影價格”列）可知：第一年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.40萬元，目前第一年投資額為10萬元；第二年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.32萬元，目前第二年的投資金額來自第一年投資于項目D而收回的106％的本利3萬元（從“終值”列得知）；同樣可知第三年初、第四年初、第五年初增加或減少投資1萬元，將導致第五年末擁有資金的本利分別增加或減少1.22萬元、1.15萬元、1.06萬元。第一百零三頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.10

某市場調查公司受某廠的委托，調查消費者對某種新產(chǎn)品的了解和反應情況。該廠對市場調查公司提出了以下要求：（1）共對500個家庭進行調查；（2）在被調查家庭中，至少有200個是沒有孩子的家庭，同時至少有200個是有孩子的家庭；（3）至少對300個被調查家庭采用問卷式書面調查，其余家庭可采用口頭調查；（4）在有孩子的被調查家庭中，至少有50％的家庭采用問卷式書面調查；（5）在沒有孩子的被調查家庭中，至少有60％的家庭采用問卷式書面調查。

第一百零四頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用對不同家庭采用不同調查方式的費用如表3-16所示。問：市場調查公司應如何進行調查，使得在滿足廠方要求的條件下，使得總調查費用最少？表3-16市場調查費用表家庭類型調查費用（元）問卷式書面調查口頭調查有孩子的家庭5030沒有孩子的家庭4025第一百零五頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用解：（1）決策變量根據(jù)題意，本問題的決策變量如下：

x1：對有孩子的家庭采用問卷式書面調查的數(shù)目，

x2：對有孩子的家庭采用口頭調查的數(shù)目，

x3：對沒有孩子的家庭采用問卷式書面調查的數(shù)目，

x4：對沒有孩子的家庭采用口頭調查的數(shù)目。（2）目標函數(shù)本問題的目標是使得總調查費用最小第一百零六頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用（3）約束條件共對500個家庭進行調查； 至少有200個是沒有孩子的家庭； 至少有200個是有孩子的家庭； 至少有300個采用問卷式書面調查； 有孩子的家庭中，至少50％采用問卷式書面調查；沒有孩子的家庭中，至少60％采用問卷式書面調查；非負。第一百零七頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用數(shù)學模型（線性規(guī)劃模型）第一百零八頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.10的電子表格模型第一百零九頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用例3.11

某公司經(jīng)營一個回收中心，專門從事四種固體廢棄物的回收，并將回收物處理、混合成為可銷售的三種產(chǎn)品。根據(jù)混合時各種材料的比例（規(guī)格），可將產(chǎn)品分成三種不同等級:A、B和C，它們的混合成本和售價也不同，具體如表3-19所示。回收中心可以從一些渠道定期收集到所需的固體廢棄物，表3-20給出了中心每周可以收集到每種材料的數(shù)量以及處理成本。該公司是一家專門從事與環(huán)保有關的公司，公司的收益將全部用于環(huán)保事業(yè)，而公司每周可獲得3萬元的捐款，專門用于固體廢棄物的處理。公司決定在表3-19和表3-20所列的約束之內(nèi)，有效地將各種材料混合到各等級的產(chǎn)品中去，以實現(xiàn)每周的總利潤最大（總收入減總成本）。第一百一十頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用表3-19公司產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)產(chǎn)品等級規(guī)格說明混合成本（元/每公斤）售價（元/每公斤）A材料1:不超過總量的30%材料2:不少于總量的40%材料3:不超過總量的50%材料4:總量的20%38.5B材料1:不超過總量的50%材料2:不少于總量的10%材料4:總量的10%2.57C材料1:不超過總量的70%25.5第一百一十一頁，共一百一十七頁，編輯于2023年，星期一3.5線性規(guī)劃模型的應用表3-20公司固體廢棄物的有關數(shù)據(jù)材料每周可獲得的數(shù)量（公斤）處理成本（元/每公斤）附加約束1300031、對于每種材料，每周必須至少收集并處理一半以上數(shù)量2